Peut-on éviter les crises? mesure du risque de marché et théorie des valeurs extrêmes : une vision quantitative du risque extrême appliquée à la crise des subprimes

I.II.3 MESURE DU RISQUE EXTRæME

I.II.3.1 THÉORéME DE FISHER-TIPPET

Théorème Fisher-Tippet: Si pour une distribution G non connue, l'échantillon des maxima normalisés converge en loi vers une distribution non dégénérée, alors il est équivalent de dire que G est dans le MDA de la GEV Hî

A partir des données de prix traitées de façon journalière lors de la crise de Subprimes, nous supposons avoir une suite première d'observations X1, X2, É , X_n issue d'une fonction de distribution inconnue F²⁷. Cet échantillon peut être séparé en k blocs²⁸ disjoints de même longueur s. Les données

X₁⁽¹⁾,X₂⁽¹⁾,...,X_!⁽¹⁾, i = 1, É, k sont de natures indépendantes et

identiquement identifiées avec comme fonction de distribution F. Nous nous attachons à conna»tre les maxima de ces k blocs comme:

Y S = max(X₁ , X₂ ,..., X_s )
Qui agence la base de ce qui sera notre échantillon de données supposées

indépendante Y_!^!,Y_!^!,...,Y,^!. La loi fondamentale à la modélisation des

maxima est la Generalized Extreme Value (GEV) définie par la fonction de répartition suivante:

!1

)

si

0

!

exp( (1+ x)

H ! (x) =

si

= 0

exp( e ^x)

²⁷ A ce stade, aucune hypothèse n'est présupposée

33

²⁸ Un bloc peut correspondre à un mois, un an, etc.

Oü x est tel que 1+ x > 0. est le paramètre de forme. La GEV rassemble

trois distributions particulières:

§? Si >0, la loi de Fréchet (Type I):

(x) = G1 k

x 1 ( 1

0 x 0 ) = exp( x ^k) x > 0

k

!

§? Si <0, la loi de Weibull (Type II):

(x) = G 1 k

x 1 ( 1+

exp( x ^k) x 0 ) = 1 k > 0

k

			§? Si =0, la loi de Gumbel (Type III): (x)= G0(x)= exp( e ^x^)

Ainsi, nous avons exposé sur les graphiques correspondant à chaque
itération deux paramètres²⁹ : Le paramètre de localisation 4u et celui de

x u

dispersion o>0. La GEV prend alors la forme de : H ! (x) = H ! ( )

,u,

La démonstration fondamentale de la modélisation des maximas est celui de
Fisher-Tippet³⁰. Supposons que nous ayons deux suites d'entiers réels tel

que a >0 et b
· tel que :

!

a_i ¹(Y_i^s b_i) H P { a_i ¹(Y b_i) y}= F^s(a_iy+b_i) H(y)

Avec H, une loi non dégénérée. a_i ¹(Y_i^s b_i), et Pour s?8, les k maxima

normalisés. Alors, F est dans le Çmaximum domain of attraction È (MDA)

de H, que nous pouvons écrire plus formellement par F?MDA(H).

Fisher-Tippet montre alors que F?MDA(H) si, et seulement si, H est du

type de H ! . La GEV est donc la seule distribution limite non dégénérée

²⁹ Les paramètres .i et a peuvent également s'écrire respectivement et

³⁰ Démontré en 1928

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pour un échantillon de maxima normalisé. Nous obtenons alors une méthode simple de sélection de forme F. Le tableau ci-joint souligne quelles distributions sont associées aux lois de la GEV.

TAB: MDA

Gumbel Fréchet Weibull

Normale Cauchy Uniforme

Exponentielle Pareto Beta

Lognormale Student

Gamma