12.00%
u = 3%
14.000%
MESURE DU RISQUE DE MARCHÉ ET THÉORIE DES VALEURS
EXTRæMES
9.00%
DJIA Return u
0 20 40 60 80
u = 3% Puissance (u = 3%)
100000%
Queue de distribution (log) u >
3%
Log
y = 1.3562ln(x) - 0.8559 R2 = 0.74542
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Extreme Enreg. (Extreme)
-10.8 -7.5 -4.2 -0.8 2.5 5.8 9.2
DJIA
12.000%
10.000%
6.00%
3.00%
0.00%
8.000%
6.000%
4.000%
2.000%
0.000%
5
4
3
2
1
0
10000%
1000%
100%
Distribution
y = 0.129x-0.353 R2 = 0.98599
II.II.3 VALUE-AT-RISK
La TVE appliquée à la Value-at-Risk permet
d'évaluer le degré de résistance des variations des
marchés, au méme titre que le degré de
solidité d'une voiture en phase de cra sh-test. Le comportement
stochastique des extremes issus d'un échantillon permet la mise en
place d'un cadre mathématique rigoureux. S'intéressant
directement à la queue de distribution, faisant appara»tre le
degré d'importance statistique des extremums, nous allons dans cette
section présenter, à partir des résultats obtenus
précédemment, une stratégie de gestion basée sur le
calcul de la Value-at-Risk. Notre étude va porter
sur la rentabilité ajustée du risque que peut proposer la VaR
déterminée à partir du quantile des extremes sur
le DJIA pendant la crise des Subprimes. En proposant une telle
stratégie, un investisseur pouvait-il éviter les pertes
liées à cette crise ? Pouvait-il bénéficier d'un
Tracking-Error avantageux en achetant lorsque la VaRt > Rt et en
vendant lorsque la VaRt < Rt au seuil de probabilité
fixé ? Nous allons 71
mettre en avant deux mesures liées à la VaR:
dans un premier temps, nous sélectionnerons un modèle
adéquate quant à la validité du modèle
présenté, puis dans un second temps, nous calculerons, à
partir des résultats obtenus, la performance que pouvait
développer une stratégie long-short du 13/06/2006 au
31/12/2010.
II.II.3.1 COUVERTURE CONDITIONNELLE
Afin d'étudier le risque que peuts dégager la VaR
basée sur la théorie des
Valeurs Extremes pour p?(95%), avec t = 1, nous allons
procéder à un
exercice de backtesting capable de montrer les occurrences de
violations50. Celui-ci consiste en réalité à
confronter d'une part, la VaR calculée à l'aide du quantile des
valeurs extrêmes et d'autre part, les pertes et profits réels.
Pour valider cette méthode de prévision, les pertes effectives ne
devraient pas dépasser la VaR de plus cas 51
de 5% des . Dans le cas contraire, nous
devrions remettre en cause ce modèle. Nous proposons
d'adapter la Value- at-Risk calculée de facon journalière sur
une fenêtre plus lointaine, permettant ainsi de lisser les
observations. Nous utilisons donc une fenétre
glissante x1,x2,...,x de taille F. Cette
méthode nous présente le
dépassement de la Value-at-Risk lorsqu'elle est
supérieure à x, la rentabilité réelle du DJIA en
t en valeur absolue. Soit IF, la série des violations
définie par la variable dichotomique suivante :
1 si Rt <VaRt
Dgt =
0 si Rt VaRt 1 si x
<VaRt
IF =
1 si Rt >VaRt 0
si x > VaRt
Ddt =
0 si Rt VaRt
5 0 Initialement développé par Campbell S. D, en
2005.
51 En d'autres termes, 95% des variations journalières
seront contrôlées avec seulement 5% d'erreur de
prévision
x est le rendement absolu sur la fenétre F compris
entre 1 et F, symbolisant la fin du backtesting. Dg, les valeurs
représentées par la distribution négative située
à gauche et Dd, celles positives de droite. Ces deux
dernières données sont présentées de facons
indicatives. Le modèle de Value-at-Risk reste fiable lorsque les
violations comprises sur la fenétre F
52
respectent la propriété du ratio de couverture
conditionnelle . Il permet une comparaison de la proportion p de
violat ion au niveau de risque 1 - p. Ce test est dit
négatif lorsque le nombre d'observations diffère largement de
p.
!!!! !
Ce ratio est donné par oü somme des VaR
dépassan t x
! 'F est la sur
!
la fenêtre. Il est à noter qu'un bon mo
dèle ne doit ni sous-estimer, ni-sur- estimer le risque. L'avantage de
cette technique réside dans le fait qu'elle permet de capturer les
caractéristiques de la dynamique temporelle de l'échantillon
à travers le temps. Nous avons sélectionné une
fenétre F = 50 jours dans notre étude. Nous avons
également choisi d'étendre nos observations de part et d'autre de
la crise des Subprimes pour montrer l'exigence de la VaR des valeurs extremes
par rapport à celle retenue par la loi normale. Nous aurons donc 1 147
observations.
TAB 11: Dépassement de VaR
|
|
|
|
VaR Loi Normale
|
VaR GPD
|
Nobs
|
1147
|
1147
|
Nombre de dépassement
|
112
|
12
|
Couverture conditionnelle
|
9,76%
|
1,05%
|
< 0,05
|
NON
|
OUI
|
|
5 2 Le ratio de couverture fut développé par
Kupiec en 1995. Il fut ensuite repris par Christoffersen en 1998
Le modèle lié à la loi normale se
révèle inadapté pour estimer le risque réel. Il
enregistre un taux de 9.91%, dépassant de 4.91 point le taux
d'échec accepté. Cet échec est attendu dans la
[Echelle logarithmique]
100 Dépassement de VaR (95%) mesure
oü ce modèle de mesure du
(F = 50) risque ne permet pas de prendre en
compte le caractère leptokurtique des rendements.
10
1
6/13/2006 6/13/2009
VaR N(|x|) F=50 VaR GPD(|x|) F=50
En période de crise, la VaR GPD ne laisse
appara»tre qu'une infinité de dépassements journaliers sur
F = 50. Le ratio de couverture conditionnelle nous indique qu'il
existe un taux de dépassement de 1,05% pour une Value-at-Risk acceptant
5% de risque. Ce modèle rempli donc les conditions pour un
dépassement qui ne sous-estime, ni ne surestime le risque de
marché. Ce modèle conditionnel fournit une quantification plus
flexible de la VaR, qui tient compte de la dynamique de la volatilité.
En effet, lorsque le taux de croissance dépasse le seuil u
fixé à 3%, la VaR conditionnelle Ç vibre È,
couvrant le risque de perte extreme (Cf. : graphique, éléments
fléchés ). Le graphique ci -dessous souligne la différence
qu'il peut exister entre la VaR classique et celle liée aux valeurs
extremes.
Backtesting: Occurences de violations de
VaR(95%)
12.00% 9.00% 6.00% 3.00% 0.00%
|
|
|
6/13/2006 6/13/2007 6/13/2008 6/13/2009 6/13/2010
|R| VaR N(|x|) VaR GPD(|x|)
En outre, nous retenons le modèle de VaR GPD
conditionnée à partir d'un seuil fixé à 3%. Nous
allons, dans la sous-section suivante, établir une stratégie
long-short à partir des résultats obtenus ci-dessus.
|