I.I.2.2 ÉVALUATION DES PARAMéTRES
En ce qui concerne le modèle de moyenne, nous devons
calculer un simple paramètre donné par la rentabilité
moyenne 4u de l'action i sur N, la période pour
laquelle nous tirons nos taux de rentabilités normales. Le modèle
de marché quant à lui requière l'intervention de deux
paramètres distincts, à
savoir a et f.? de i sur les mêmes
périodes.
Pour ce faire, nous pouvons estimer l'ensemble des
paramètres liés à chaque modèle à l'aide
d'une représentation matricielle de la période N. A ce
titre, nous pouvons consulter les études de John Y. Campbell, Andrew W.
Lo et Craig MacKinlay, publiées en 199714.
Deux composantes sont à calculer. Soit Ri, le
vecteur composer des N taux de rentabilité et Xi :
· Un vecteur de N lignes égales à 1
pour le modèle de moyenne
· Une matrice à deux colonnes et N
lignes dans le cas du modèle de marché dans laquelle les
lignes de la première colonne sont égales à 1 et celles de
la deuxième colonne prennent pour valeur le taux de rentabilité
du marché en N.
1 4 Ouvrage: Ç The econometrics of financial markets
È, Princeton University Press, Chapitre 4.
· Enfin, nous avons un vecteur 8
· de
paramètre agrégé au modèle utilisé,
soit ji. pour le modèle de moyenne, soit (a1,f3!) pour
le modèle de
marché.
Cette représentation donne formellement l'équation
suivante:
Ri = Xi +
i i
Pour chaque modèle, l'appréciation des
paramètres peut aussi s'effectuer par le calcul des moindres
carrés ordinaires (MCO). On peut observer à présent
l'expression des différents estimateurs comme suit:
ö = i
1Xi'Ri
(Xi'Xi)
1
ö 2( i) = (N k ö
i' ö i )
ö i
2( i)
= Ri Xi i
1
2( i) =
(Xi'Xi)
Oü k désigne le nombre de paramètres
du modèle utilisé.
· k = 1 pour le modèle de moyenne
·
15
k = 2 pour le modèle de marché
I.I.3 RENTABILITÉS ANORMALES
Énoncées précédemment, les
rentabilités anormales sont obtenues par
différence entre les
rentabilités étudiées en Ai et les
rentabilités dévoilées
par le modèle en
Ni. Estimé à partir d'une reproduction matricielle
des
données, le vecteur ö des A
rentabilités anormales estimées est décrite par
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la relation:
ö i = Ri
Xi ö i
Dans lequel R!! et
X!4 sont les corollaires de R et X respectivement. Le
vecteur des taux anormaux sur Ai peut s'analyser de
telle sorte qu'il existe une ' erreur È commise dans la
prévision de la rentabilité du titre i.
Mathématiquement, cette ' perturbation È réelle
s'exprime comme:
L'espérance mathématique des taux de
rentabilités anormales, liés aux valeurs Xj!,
elles-mémes tirées des variables explicatives sur la
période de crise, est donnée par:
E ö i
Avec 8L, calculé précédemment,
l'équation donnée par !L - !! =
(X!!X1 ) ! 'X!! . Celle-ci montre une
espérance nulle dans la mesure oü la
perturbation est
supposée indépendante et identiquement identifiée sur
Ni et Ai.
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