Ç Les influences qui déterminent les
mouvements de la Bourse sont innombrables, des événements
passés, actuels ou même escomptables, ne présentant souvent
aucun rapport apparent avec ses variations, se répercutent sur son
cours. [ÉJ Mais il est possible d'étudier mathématiquement
l'état statique du marché à un instant donné, c'est
-à-dire d'établir la loi de probabilité des variations de
cours qu'admet à cet instant le marché. Si le marché, en
effet, ne prévoit pas les mouvements, il les considère comme
étant plus ou moins probables, et cette probabilité peut
s'évaluer mathématiquement È
Louis bachelier
Ç Théorie de la spéculation È.
Annales scientifiques de l'E.N.S. 3ème série, tome 17 (1900), p
21-86
La finance moderne met en avant les statistiques. Ceux-ci
rationalisent le mouvement de prix des marchés financiers. Le risque en
est par conséquent mesurable et gérable. Les travaux en ce
domaine ont débuté selon la connaissance générale
en 1900, quand un jeune mathématicien, Louis Bachelier, eut la
curiosité d'étudier la fluctuation des cours des marchés
financiers dans sa thèse : Ç Théorie de la
spéculation È. Inspiré par Pascal et Fermat, qui
avait initié le concept de probabilité, L. Bachelier
étudia dans sa thèse les bons du trésor francais.
Considéré comme le précurseur de la théorie moderne
du portefeuille et des mathématiques financières, L. Bachelier
met en avant un concept nouveau : les prix montent et desce ndent avec des
probabilités égales. Pour ainsi dire, si le nombre de
données augmente à un rythme élevé, les
échanges boursiers se fondent en un bruit stationnaire. Le risque de
marché matérialise l'espérance de pertes auxquelles les
investisseurs sont impliqués. Pour le gérer , il faut donc
l'évaluer de manière pr écise. A ce titre, parmi ces
outils, existe:
· Les mesures de sensibilité
· Les mesures de variance
Une première mesure du risque est en fonction de la
sensibilité que représente un actif par rapport à son
indice de référence. Cette première mesure s'assimile
à la sensibilité relative d'un actif détenu par rapport
aux facteurs de risque de marché. Elle mesure la variance de la
rentabilité implicite du marché par un coefficient de
régression à des facteurs de risque, tel le marché dans
son ensemble. Formellement, nous avons:
cov(Rp, Rm)
=
var(Rm)
16
Oü Rp est le taux de
rentabilité de l'action et Rm , celui du
marché .
Cependant, le <<risk manager È a besoin
d'une mesure pragmatique du risque d'exposition. En effet, lorsqu'un nombre
important d'instruments très différents compose le portefeuille,
il est difficile d'imbriquer de facon cohérente l'ensemble des
covariances pouvant exister. C'est pour cette raison qu'il est décisif
de capturer le risque à partir de profils différents : La
dispersion des pertes et profits des actifs.
Nous pouvons mettre en exergue deux mesures de risque venant
de la distribution des rentabilités des actifs : la volatilité et
la Value-at-Risk (VaR). Ces mesures ne se concentrent pas sur les mémes
paramètres:
· La volatilité mesure les variations d'un
actif autour de la tendance centrale. En effet son expression en fonction du
vecteur des taux de rentabilités R est17 :
= E (RE(R))2
1 6 Le modèle de marché, vu dans la sous-section
précédente, n'est qu'une relation statistique utilisant la
môme notification <<bôta È,
17 Regnault nous enseigne en 1863 qu'il existe une
loi mathématique qui règle les variations
et l'écart
moyen des cours de la Bourse: L'écart des cours est en raison directe de
la racine
carrée du temps. Cette écart se définit
dans la pratique par: t. , oü t représente la
fenôtre de temps pour laquelle la volatilité Ç
historique È est calculée.
Cette mesure accorde le même poids aux gains
espérés qu'aux pertes potentielles. Or la notion de risque est
directement liée aux pertes émanant d'un actif détenu,
lequel implique un revenu aléatoire. Une mesure asymétrique
pouvant juger du risque de perte est nécessaire. La volatilité
prend donc en compte toutes les rentabilités, positives ou non,
extrêmes ou non.
· la Value-at-Risk peut se définir comme le
quantile déterminant la plus grande perte que peut subir un portefeuille
avec une probabilité d'occurrence donné sur un horizon
déterminé à l'avance : nous sommes en présence d'un
indicateur pouvant estimer le risque extrême.
Ces deux indicateurs donnent une information
différente. D'une part, la volatilité peut enregistrer un taux
élevé et seulement capturer des risques moyens, certes
significatifs, mais pas extrêmes. Tout l'enjeu d'une mesure du risque
synthétique pertinente est d'estimer convenablement la perte
éventuelle que peut subir un actif. Or un titre ' a È
peut avoir une volatilité de 10% mais ne pas observer d'extremum
très important, avec un maximum de 5% de perte sur une journée
par exemple . Au contraire, un actif ' b È comptant une
volatilité de 5%, peut conna»tre des pertes, certes rares, de plus
de 20%. Le titre ' b È nous semble donc plus risqué,
même si ses risques Ç moyens È s'avèrent
être moins importants que ceux du p remier. D'autre part,
déterminer moment 18
le risque par le d'ordre 2, la volatilité,
19 20
présu ppose que les moments suivants, le skewness et
le kurtosis , ne nécessitent pas d'être ajoutés dans une
mesure de risque viable. La théorie sous- jacente en est la
normalité des rentabilités. La loi Normale est en effet
caractérisée par les deux premiers moments. Utiliser la
Value-at-Risk permet de passer outre ces difficultés dans le sens
oü le quantile de la distribution ne représente pas un
équilibre moyen mais prend en compte les pertes extrêmes. En
outre, nous pouvons souligner le fait que la volatilité n'est
assurément pas la meilleure mesure de risque extrême. Nous
allons
1 8 Pour tout n ? N d'une variable aléatoire
réelle X est défini par mn =ö
E(Xn)
19 Le coefficient d'asymétrie (Skewness)
correspond à une mesure la distribution d'une variable aléatoire
réelle. En termes généraux, l'asymétrie d'une
distribution est positive si la queue de droite est plus longue ou
épaisse, et négative si la queue de gauche est plus longue ou
dense.
20 Le coefficient d'aplatissement ou coefficient de
Pearson (kurtosis) correspond à une mesure leptokurtique de la
distribution d'une variable aléatoire réelle.
dans cette partie étudier plus en détail cette
mesure de risque en utilisant la théorie des valeurs extremes.