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Mesure du risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

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par Jean MEILHOC
INSEEC - Master II 2012
  

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II.II.1.2 MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE

Supposons que notre échantillon des excès X=(X1,X2,...,XN!) est

indépendante et identiquement identifiée avec comme fonction de distribution la GPD. Nous obtenons les équations de maximisation à partir desquelles nous calculons les estimateurs du maximum de vraisemblance. Nous avons donc la log-vraisemblance de chaque loi estimée à partir de la distribution réelle. Ces données sont présentées dans le tableau suivant:

TAB 8: MDA

NORMALE STUDENT PARETO LAPLACE

DJIA 41,85 75,77 86,54 82,83

Le maximum de vraisemblance le plus proche est celui de la loi de Pareto avec 86.54. Le domaine d'attraction maximum est donc celui de la loi de Fréchet.

II.II.2 MODéLE DE SÉLECTION DE MAXIMA

II.II.2.1 RÉALITÉ ERRATIQUE

La théorie de la normalité des marchés financiers est spécifiquement remise en cause avec la théorie des valeurs extremes. Particulièrement en haute fréquence oü la stationnarité des cours est plus erratique. L'étude menée précédemment nous a permis de com prendre que le développement de la gestion du risque dans un univers gaussien, introduit par la normalité des rendements, est inadapté à l'appréhension des comportements extremes.

44

L' << homme moyen >> de A. Queteletn'existe pas en finance. Dans ce préambule sur les extremes de marché, nous étudions les variations du DJIA sur la période de test. Cette étude comprend 1 148 données de prix, du 13/06/2006 au 31/12/2010. Nous avons choisi d'illustrer nos propos en sélectionnant le maximum |Dt| des variations Intra-Day45 en valeur absolue en t, à partir d'un seuil s prédéfini.

Placé sur une fenétre glissante D1,D2,...,D! de taille F, lorsque le seuil s
est supérieure à |Dt|, la rentabilité réelle du DJIA en t en valeur absolue est donnée par:

+

Pt

b

1

1

;

Pt

1

1

Pt

+

Pt

?? Pt

= 1; c=

Pt

D = max a =

t

44 A. Quetelet est un mathématicien, astronome, naturaliste et statisticien belge du XIXème siècle. Il présenta dans son ouvrage: << Sur l'homme et le développement de ses facultés, essai d'une physique social>> la notion d'homme moyen. << L'homme moyen d'une population est un individu dont les caractéristiques physiologiques sont chacune égale à la moyenne des autres caractéristiques physiologiques de la population>>

45 Ensemble des variations comprises dans une journée boursière.

Oü et !!! est le plus haut du jour, P!! est le plus bas et P!_1 est le cours de

clTMture du jour précédent. Nous indiquons le dépassement relatif.

0.00% 5.00% 10.00% 15.00%

6/13/2006

2/13/2007 10/13/2007 6/13/2008 2/13/2009 10/13/2009 6/13/2010

True Range

Soit IF, la fenétre de test, dont la série des violations définie par la variable dichotomique est la suivante:

1 siD > s

IF =

0 si D < s

s est le seuil appartenant à la fenétre F compris entre 1 et F. Fest un
nombre > 1, pour lequel le nombre de donnée |D| est inférieure au nombre

t

total de données compris dans l'échantillon. Soit F < Dt Il s'agit de

2

déterminer jusqu'à quel point les variations du marché se sont rendues en Çintraday È. A ce stade, nous choisissons une fenêtre de 50 jours. Cette taille permet de lisser les variations erratiques sans biaiser les informations d'une part, tout en laissant appara»tre une légere variance d'autre part. Nous avons également choisi d'étudier plusieurs seuils s distincts. Nous avons donc :

TAB 9 : Seuil

S = 2% 3% 5% 8% 10% 12%

Nous donnons ci-après deux représentations graphiques qui permettent de visualiser les valeurs ayant dépassées s. Nous avons préféré les présenter à partir d'une échelle logarithmique, plutôt que sur échelle linéaire simple. Lorsque l'on exprime un nombre en logarithme, on effectue une mise à l'échelle ce qui permet, plutôt que de se concentrer sur la valeur absolue du nombre comme on le fait couramment, de le comparer aux autres nombres qui l'entourent. Ainsi, nous pourrons juger de la pertinence de chaque seuil sur la fenétre F = 50.

LN(Dt) > S

10

 
 
 
 

1

 
 
 
 

6/13/2006

2/13/2007

10/13/2007

6/13/2008

2/13/2009

10/13/2009

6/13/2010

2%

3%

5%

8%

10%

12%

 

Les résultats sont évocateurs. Les variations laissent appara»tre une majorité

LN(Dt) > S

10

1

1/17/2008 9/17/2008 5/17/2009

2% 3% 5%

8% 10% 12%

des variations journalières supérieures ou égales à 3%. Celles-ci se concentrent sur une période de 615 jours, du 17/01/2008 au 23/09/2009. Cela représente 53.57% des données de l'étude46. Le DJIA, pendant la crise des Subprimes, a donc connu statistiquement une distribution des cours formant des queues de distribution épaisses en valeur absolue.

46 615

Le calcul est le suivant: .100=53.57, soit 53.57%

1148

Nous pouvons aussi émettre l'idée qu'il y a eu un effet <<Clustering>> et un effet <<Momentum47 >> sur la période ventrale.

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"Je ne pense pas qu'un écrivain puisse avoir de profondes assises s'il n'a pas ressenti avec amertume les injustices de la société ou il vit"   Thomas Lanier dit Tennessie Williams