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Mesure du risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

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par Jean MEILHOC
INSEEC - Master II 2012
  

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ANNEXES

A. Graphiques : Sélection de seuil 86

B. Stratégie : Synthèse générale 87

C. Graphiques : VaR 88

D. Stratégie 89

E. Visual Basic Application : Loi de valeurs extremes 91

F. Visual Basic Application : Loi de probabilité 93

G. Origines macroéconomiques de la crise des subprimes 97

85

A. GRAPHIQUES : SÉLECTION DE SEUIL

u > 3%

5

y = 1.3562ln(x) - 0.8559
R2 = 0.74542

4

3

2

1

0

u > 4%

5

y = 1.268ln(x) - 0.7444
R2 = 0.77269

4

3

2

1

0

Extreme Enreg. (Extreme)

Extreme Enreg. (Extreme)

u > 5%

u > 6%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

5

4

3

y = 1.0948ln(x) - 0.5358
R2 = 0.80069

y = 0.8955ln(x) - 0.3101
R2 = 0.80966

5

4

3

2

1

0

2

1

0

Extreme Enreg. (Extreme)

Extreme Enreg. (Extreme)

86

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Si VaR (q) >

t Rt

Long

B. STRATÉGIE : SYNTHéSE GÉNÉRALE

Sélectionner un actif

Déterminer un période T

Choisir la fréquence des taux de rentabilités

Calculer les taux de rentabilités Rt

 

Sélectionner un seuil extreme u

L'hypothèse est
rejetée

Etablir un test d'ajustement sur les valeurs réelles
observées correspondant au seuil 1 - q

Calculer la VaR en fonction du quantile q sur une
période t

Estimé les paramètres !!,(3!

asymptotique à partir du rendement u

de la distribution

L'hypothèse est
acceptée

Calculer la VaR pondérée par le prix de l'actif en t

Si VaR (q) <

t Rt

Short

87

125 115 105 95 85 75 65 55

C. GRAPHIQUES : VAR

DJIA

6/14/2006 6/14/2008 6/14/2010

Price

SVaR classique

125

115 105 95 85 75 65

 

55

6/14/2006 6/14/2008 6/14/2010

Normale

SVaR GPD

125

115

105

95

85

75

65

55

6/14/2006 6/14/2008 6/14/2010

88

GPD

D. STRATÉGIE

Nous vous présentons ici une stratégie basée sur plusieurs actifs différents. Il s'agit, comme dans l'exemple vu précédemment, d'une stratégie long-short basée sur l'achat de call et de put. Soit R1, R2,É,Rn, une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, calculées par ln(Pt/Pt-1), oü P est le prix de l'actif en t. Pour

Pt.(1+VaRt(q)) si Rt > 0

MVaR =

Pt si Rt < 0

(1+VaRt(q))

MVaR est la pondération de la VaR à l'actif, et la VaR est donnée par

VaRq = uö +

ö fl

(

ö Nu

ö

(1 q) ) 1. Lorsque la VaR (q = 95%) =R2, alors le

risque est dit faible. Inversement, le risque est dit élevé. Nous avons donc

· L'achat d'un Call lorsque la VaR = cours

· L'achat d'un Put lorsque la VaR < cours.

DJIA; BOfA; IBM; Exxon

350

300

250

200

150

100

50

0

6/13/06 6/13/07 6/13/08 6/13/09

400

140

130

120

110

100

90

80

Call
ITM

Put

ITM

6/13/06 6/13/07 6/13/08 6/13/09

70

60

Cette étude nous permet de constater qu'il existe, sur les marchés financiers,
une volatilité plus importante en phase de baisse des cours. Il existe aussi

89

des effets "clusters" oü la corrélation des actifs se concentre en une période t, impliquant un risque de non-diversification statistique (risque de marché).

40.00%

Performance

50.00%

30.00%

20.00%

10.00%

0.00%

Call/Put

Enreg. (Call/Put)

100Moy. mobile sur per. (Call/ Put)

Nous enregistrons une performance de 40,1% en prés de 2 ans et 6 mois de gestion, avec un maximum de 47,18%. Cette stratégie met en avant le risque probabiliste pour en dégager une rentabilité. Le risque extrême "Black Swan" est également pris en compte.

Cependant, Un test "Out-of-Sample"
doit être établi pour confirmer cette
hypothèse. Les Calls et les Puts sont

ici hors premium. Il serait nécessaire de minorer l'effet de cette prime sur la performance de la stratégie.

Resultats

Données

Call

Put

Nobs

906

 
 

Moyenne

32.11%

122

90

Ecart-type

10.9%

8.80

10.88

Maximum

47.18%

140

100

Minimum

0.00%

100

65

Skewness

-0.94

-0.09

-0.59

Kurtosis

0.02

-0.77

-1.21

Jarque Bera

4.69

21.53

28.84

Performance

40.10%

20%

20%

90

E. VISUAL BASIC APPLICATION : LOI DE VALEURS EXTRæMES

'Indicateur de Hill (Pour Fréchet uniquement)

Function Hill(rank As Double, Nb As Double) As Double

medianrank = (1 / (1 - ((rank - 0.44) / (Nb + 0.12))))

Hill = WorksheetFunction.Ln(WorksheetFunction.Ln(medi anrank))

End Function 'Gumbel

Function Gumbel(x As Double, a As Double, b As Double) As Double

If b <= 0 Then

Call MsgBox("b doit tre strictement positif", vbExclamation, "Paramtre incorrect")

Exit Function End If

Gumbel = Exp(-(x - a) / b) * Exp(-Exp(-(x - a) / b)) / b

End Function 'Fréchet

Function Fréchet(x As Double, a As Double, b As Double) As Double

If x <= 0 Then

FrÉchet = 0 Exit Function End If

91

If b <= 0 Then

Call MsgBox("b doit être strictement positif", vbExclamation, "Parametre incorrect")

Exit Function End If

Fréchet = a / b * (b / x) ^ (a + 1) * Exp(-(b / x) ^ a)

End Function 'Weibull

Function Weibull(x As Double, a As Double, b As Double) As Double

If x <= 0 Then

Weibull = 0 Exit Function End If

Weibull = a / b ^ a * x ^ (a - 1) * Exp(-(x / b) ^ a)

End Function

92

F. VISUAL BASIC APPLICATION : LOI DE PROBABILITÉ

Option Explicit

'ETAPE 1: COPIER ET TRIER

'Dans cette section, nous allons copier le nombre de série pour les trier, dans le but de dessiner la fonction de distribution cumulée

' La variable "Total" nous donne le nombre de donnÉe existante

Public Sub Copy_and_Sort()

Dim Total As Integer

Let Total = Range("Total").Value

' Copier dans un tableau reconfiguré de Total lignes et de 1 colonne

Let Range("Y1").Resize(Total, 1) =

Range("Selection").Resize(Total, 1).Value

' Trier les données copiées

Call Range("Y1").Resize(Total, 1).Sort(Key1:=Range("Y1").Resize(Total, 1), Order1:=xlAscending, Header:=xlGuess, OrderCustom:=1, MatchCase:=False, Orientation:=xlTopToBottom, DataOption1:=xlSortTextAsNumbers)

End Sub

'ETAPE 2: DEFINIR L'INTERVAL DE DISTRIBUTION

'Dans cette section, l'intervalle est défini afin que celui-ci soit le plus large possible en aberrant les cases vides

'La variable "Interval" est donnée 10 quand la borne inférieure "borneinf" est Égale 0

'La fenêtre "step" est Égale à 0,1

93

'La variable "case_vide" est ici exprimée "as boolean", c'est ö dire soit "Vrai" Il n'y a pas de case vide, soit "Faux" il y a des cases vides

Public Sub Intervallecorrespondant ()

Const Interval = 10 Const borne_inf = 0 Const Step = 0.1

Dim intervalleconfiance As Double

Let intervalleconfiance = Interval

Dim case_vide As Boolean

' Montre la dimension de l'intervalle du plus grand au plus petit

' S'arrête lorsque l'ensemble des cases de sont pas vides, ou, par sécurité, lorsque la taille de l'intervalle est Égale ö 0

Do

Let Range("Intervalleconfiance").Value = intervalleconfiance

Call Application.Calculate

Dim minimum As Integer

Let minimum = Application.WorksheetFunction.Min(Ra

nge("Distributions"))

Let case_vide = (minimum > 0) ' Vrai si le minimum >= 1

Let intervalleconfiance = intervalleconfiance - Step '
Boucle

Loop Until case_vide Or

intervalleconfiance <= borne_inf

94

End Sub

'ETAPE 3: FONCTION DE DISTRIBUTION

'Dans cette section, nous allons créer une fonction afin de faciliter les calculs de fonction de distribution

' Somme des returns (Ln(t) / Ln(t-1))

' Les champs doivent être vertical avec le meme nombre de ligne

Public Function SumAbsLn(ByRef valeurscourrantes As Range, ByRef DJIA As Range) As Double

Dim size As Integer

Let size = valeurscourrantes .Rows.Count

If size <> DJIA.Rows.Count Then

Call MsgBox("La taille des séries ne corresponde pas !")

End If

Dim resultat As Double Let resultat = 0

Const petitesvaleurs = 0.01 Dim i As Integer

For i = 1 To size

Dim Borne As Double

' Si les données sont égales à 0, prendre la plus petite value

Let Borne = Application.WorksheetFunction.Max(v a l e u r s c o u r r a n t e s (i, 1).Value, petitesvaleurs)

' increment result with the absolute value of the log of the ratio between actual and model data

95

Let resultat = resultat + Abs(Log(Borne / DJIA(i, 1).Value))

Next i

96

Let SumAbsLn = resultat End Function

G. ORIGINES MACROÉCONOMIQUES DE LA CRISE DES SUBPRIMES

Comité de
B%ole

Ratio:
Cooke,
McDonough

 

Hausse des
besoins en

fonds
propres

 
 

Recherche
de rentabilité

Exigence de
rentabilité

Baisse de la
prime de

risque

Etats

Confiance
Ç Paradoxe de
la
tranquillité »

Credibilité
des banques
centrales

Innovation
financiere

Concurrence

Baisse de
lÕinflation

Baisse des
taux long
terme

Rel%ochement
des critéres

Excédent commerciaux des pays émergents

Titrisation

Hausse de la
liquidité

Hausse de lÕépargne dans les pays émergents

Expansion
du credit

Hausse de lÕinflation

Investissement

Hausse de la
consommation

Anticipation
des profits

Croissance

Hausse du
prix des
actifs

Choc de
productivité

Optimisme

Source : P. Artus, J-P Betbeze, C. Boissieu et G. Capelle-Blancard, «La crise des subprimes», Conseil d'analyse Cconomique, la documentation frangaise, 2008, p 60

97 UNE VISION QUANTITATIVE DU RISQUE EXTRæME APPLIQUÉE Ë LA CRISE DES

SUBPRIMES

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"Il faudrait pour le bonheur des états que les philosophes fussent roi ou que les rois fussent philosophes"   Platon