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Les fractals et leur géométrie

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par Abderrahmane & Abdessalem BELLAL & BENTERKI
Université Dr.Yahia Farès de Médéa Algérie - Master 2 en mathématiques 2011
  

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CHAPITRE 4

LA G'EOM'ETRIE DES FRACTALS

«The most beautiful thing we can experience is the
mysterious. It is the source of all true art and science.»
-Albert Einstein-

Benoit Mandelbrot (1982) a défini des objets spéciaux qui s'appelent des fractals par «A subset of Illn is a fractal if its topological dimension is less than its fractal dimension 1». Apr`es cette phrase, nous avons la définition suivante.

D'efinition 4.0.26 Un fractal est un objet dont la dimension de Hausdorff est strictement supérieure a` la dimension topologique.

Exemple 4.0.27 - Comme la dimension topologique du poussi`ere de Cantor de l'exemple

3.0.25 est 0 et sa dimension de Hausdorff est 1 (voir [9, p. 34]), alors la poussi`ere de Cantor est un objet fractal.

- Les objets d'efinis dans la section § 2.3 sont tous des fractals.

Remarque 4.0.28 Un fractal est un objet qui a les deux propriétés suivantes :

air Irrégulier a` toutes les échelles (i.e. si, même en le regardant de plus en plus pr`es (par exemple avec un zoom), il apparaàýt toujours irrégulier (non lisse))

air Auto-similaire (i.e. s'il se décompose en un nombre fini de parties, toutes ces parties sont similaires a` l'objet principale).

1. Elle signifie la dimension de Hausdorff, et malgrél'existence de plusieures dimensions (Minkowski, packing, ...), la dimension de Hausdorff possède les bonnes propriétés mathématiques et exprime le mieux possible la dimension fractale recherchée pour beaucoup de sous-ensembles intéressants.

Exemple 4.0.29

1

1. Le triangle de Sierpenski T contient trois copies similaires a` T avec un facteur 2.

2. La courbe de von Koch K contient quatre copies similaires a` K avec un facteur 1

3.

FiGuRE 4.1 - Exemple d'auto-similarit'e
On peut dire alors qu'un fractal est un objet dont chaque 'el'ement est aussi un objet fractal.

Section 4.1

Syst`eme de fonctions it'er'ees

Les systemes de fonctions it'er'ees (IFS) constituent une facon de construire des fractales. Leur principe repose sur le th'eoreme du point fixe dans les espaces m'etriques. Quelques rappels sur les espaces m'etriques sont maintenant donn'es.

D'efinition 4.1.1 Soit (E, d) un espace métrique. Une application S : E --+ E est dite contraction sur E s'il existe un nombre c avec 0 < c < 1, tel que :

d(S(x), S(y)) .<, c
· d(x, y), Vx, y E E (4.1)

Le nombre c est appeléfacteur de contraction de S. Une contraction est donc une application continue.

Si on a l'égalitéd(S(x), S(y)) = c
· d(x, y), Vx, y E E. Alors S transforme les ensembles en des ensembles similaires et est appellée une similarit'e.

Soit (xn)n?N une suite de points d'un espace metrique (E, d). Elle est dite suite de Cauchy

si

?å > 0, ?NE E N, ?n, m > NE : d(xn, xm) < å. (4.2)

Dans un espace metrique (E, d) toute suite convergente est une suite de Cauchy, mais la reciproque n'est pas vraie en general. Pour cela on definit un espace complet comme etant un espace metrique (E, d) tel que toute suite de Cauchy dans E est convergente dans E.

On definit maintenant une metrique sur les sous-ensembles de E. On note K(E) l'ensemble de tous les sous-ensembles compacts non vides de E. Pour a E E, et A, B E K(E), on definit la distance entre a et B par

d(a, B) := min{d(a, b) : b E B} (4.3)

et la distance entre A et B par

06 dist(A, B) =6 dist(B, A).

dist(A, B) := max{d(a, B) : a E A} (4.4)

Notons que dist ne definit pas une distance sur K(E). Dans la suite du document, on notera dist par d.

Lemme 4.1.2 Soient (A, B, C) E K3(E) alors

d(A U B,C) = max{d(A, C), d(B, C)} (4.5)

D'EMONSTRATION :

d(A U B, C) = max{d(x, C) : x EAU B}

= max{max{d(x, C) : x E A}, max{d(x, C) : x E B}} = max{d(A, C), d(B,C)}.

On appelle 8-voisinage d'un ensemble A E K(E) l'ensemble des points a` distance inferieure a` 8 > 0 de A, il est note

Vä(A) := {x E E : ?a E A, d(x, a) < 8} (4.6)

BELLAL i' LES FRACTALS ET LEUR G'EOM'ETRIE ' BENTERKI

D'efinition 4.1.3 On munit K(E) d'une structure d'espace metrique en definissant la distance de Hausdorff dH(A, B) de deux sous-ensembles A et B de K(E) comme etant le plus petit nombre 8 tel que le 8-voisinage de A contient B et vice-versa :

dH(A, B) := inf{8 > 0,A ? Vä(B) et B ? Vä(A)} (4.7)

On peut aisement verifier que

dH(A, B) := max{d(A, B), d(B, A)} (4.8)

La distance de Hausdorff dH verifie les proprietes suivantes. Pour tous A, B, C ? K(E), on a OO dH(A, B) > 0 avec egalitesi, et seulement si, A = B,

® dH(A, B) = dH(B, A),

(c) dH(A, B) 6 dH(A, C) + dH(C, B)

Lemme 4.1.4 Soient (A, B, C, D) ? K4(E) alors

dH(A U B,C U D) 6 max{dH(A,C), dH(B,D)}. (4.9)

D'EMONSTRATION :

dH(A U B,C U D) = max{d(A U B,C U D),d(C U D, A U B)}

= max{max{d(A, C U D), d(B,C U D)}, max{d(C, A U B), d(D, A U B)}} 6 max{max{d(A, C), d(B, D)}, max{d(C, A), d(D, B)}}

= max{dH(A, C), dH(B, D)}.

111

D'efinition 4.1.5 Soit S ? E un sous-ensemble de l'espace metrique (E, d). La partie S est dite precompacte si, pour tout å > 0, il existe un ensemble fini de points {yi}ni=1 ? S tel que, pour tout x ? S, on a d(x, yi) < å, pour un certain yi ? {yi}ni=1.

Th'eor`eme 4.1.6

Soit ? E o`u (E, d) est un espace metrique complet. Alors, a est compact si et seulement si a est fermeet precompact.

Lemme 4.1.7 Soit (E, d) un espace métrique, {An}8n=1 une suite de Cauchy de points de K(E), et soit {nj}8 j=1une suite d'entiers telle que ni < nj, ?i < j. S'il existe une suite de Cauchy {xnj ? Anj} dans (E, d), alors il existe une suite de Cauchy {exn ? An}8n=1 telle que xn = xnj, ?j ? N.

D'EMONSTRATION :

Construisons la suite {exn ? An}8n=1 de la facon suivante :

- Pour chaque n ? {1, ... ,n1}, prenons exn ? {x ? An : d(x, xn1) = d(xn1, An)}. Ce point existe car An est compact.

- De màeme, pour chaque j ? {1, 2, ...} et chaque n ? {nj + 1, ... ,nj+1}, prenons exn ? {x ? An : d(x, xnj+1) = d(xnj+1, An)}.

Montrons que cette suite a les proprietes souhaitees.

- Par construction, exn ? An.

- De plus, exnj = xnj. En effet, pour n1, on a choisi exn1 ? {x ? An1 : d(x,xn1) = d(xn1,An1)}. Mais, d(xn1,An1) = 0 car xn1 ? An1 et d(x,xn1) = 0 ? x = xn1. D'o`u exn1 =xn1 et de màeme exnj+1 = xnj+1.

Enfin, {exn ? An}8n=1 est une suite de Cauchy. En effet,

?å > 0, ?N1 : nj,nk > N1 d(xnk,xnj) < å/3

?å > 0, ?N2 : m, n > N2 dH(Am, An) < å/3

Soit N = max{N1, N2} et m,n > N avec nj < n < nj+1, N < nk < m < nk+1 alors

d(exn, exm) = d(exn, xnj+1) + d(xnj+1, xnk+1) +d(xnk+1, exm)

= d(xnj+1, An) + å/3 + d(xnk+1, Am)

= d(Anj+1, An) + å/3 + d(Ank+1, Am)

= dH(Anj+1, An) + å/3 + dH(Ank+1, Am)

= å 111

Proposition 4.1.8 Si (E, d) est un espace métrique complet, alors (K(E), dH) est aussi un espace métrique complet.

D'EMONSTRATION :

Soit {Xn} une suite de Cauchy dans K(E). Alors il existe une suite ån ? 0 et un entier N ? N tels que ?m, n > N, dH(Xm, Xn) < ån donc ?m, n > N, Xm ? Vån(Xn).

kv Prenant ån = 1/2n

On pose X = {x ? E : ?(xn) ? Xn et x est valeur d'adh'erence de (xn)}. Montrons que X ? K(E) i.e. que X est compact et non-vide.

On va commencer par montrer que X est ferm'e. Soient y ? X et (yn) une suite de X tendant vers y. Pour chaque entier m, ym est limite d'une suite (xn) tel que xn ? Xn. On choisit maintenant pour chaque ym un point xnm ? Xnm de la suite (xn) correspondante pour construire une sous-suite (xnm) telle que d(xnm, ym) ? 0 quand m ? Do. Pour satisfaire a` la d'efinition de X, on d'efinit une suite (xk) a` partir de la sous-suite (xnm) o`u l'on choisit xk quelconque dans Xk si k n'appartient pas a` l'ensemble des nm. Alors

dH(xnm, y) C dH(xnm, ym)

|
·Nor
· }

?0
m?8

+ dH(ym, y) | {z }

?0
m?8

.

Donc y est valeur d'adh'erence de (xk) donc y ? X . Ainsi X ? X donc X est ferm'e. De plus, comme X est ferm'e dans E qui est complet, X est complet.

Montrons que X est pr'ecompact. Soit å > 0. Il existe clairement N tel que X ? Vå(XN). Pour tout y ? X, il existe xn ? XN tel que d(y, xn) < å. Pour n > N, comme Xn est compact, on peut le recouvrir par un nombre fini de boules B(zi, å) de centres zi ? Xn et de rayons å. Les boules de centres zi et de rayons 2å recouvrent donc X. On supprime les zi inutiles, ceux pour lesquels B(zi, 2å) n X = Ø.

Il reste les zi pour, i ? {1, . . . , M}. On d'etermine alors, pour tout i ? {1, . . . , M}, un 'el'ement z0 i de X tel que d(zi, z0i) < 2å (car on a supprim'e les zi inutiles). Les boules B(z0i, 4å) forment alors un recouvrement fini de X qui est donc pr'ecompact.

Il convient de montrer que X est non-vide, ce qui sera fait en même temps que de montrer la convergence des Xn vers X au sens de la distance de Hausdorff. Il faut voir que pour tout å > 0 il existe un N tel que pour n > N, on ait X ? Vå(Xn) ce qui a d'ejà'et'e vu, et Xn ? Vå(X). Pour ce faire, on se fixe x ? Xn avec n tel que ån < å. On considère alors

n0 > n

t.q

ån0 < å/21

et

xn0 ? Xn0 : d(x,xn0) < å/21

n1 > n0

t.q

ån1 < å/22

et

xn1 ? Xn1 : d(x, xn1) < å/22

 

...

 
 
 

np > np-1

t.q

ånp < å/2p+1

et

xnp ? Xnp : d(x, xnp) < å/2p+1

...

La suite des xnp est de Cauchy dans (E, d) qu'il est complet donc elle converge vers un
certain y ? X car y est (la seule) valeur d'adh'erence de la suite (xnp) o`u xnp ? Xnp ; on

peut a` nouveau completer la suite des xn pour np 6 n 6 np+1, il suffit de prendre un point quelconque de Xn.

En sommant les distances, on obtient que d(x, y) < 6 donc x ? Vå(X), par suite on a l'inclusion Xn ? Vå(X). X est non vide, car pour tout 6 > 0, il existe Xn ? Vå(X). La suite de Cauchy {Xn} converge donc vers X ? K(E) au sens de Hausdorff, dH(Xn, X) ? 0 quand n ? 8, donc (K(E), dH) est complet.

111

Lemme 4.1.9 Soit S : E -? E une contraction sur l'espace m'etrique (E, d), alors S renvoie K(E) dans lui-màeme.

D'EMONSTRATION :

Soit F un sous-ensemble compact non-vide de E, alors F ? K(E). 'Evidemment, S(F) = {S(x) : x ? F} est non-vide. Montrons que S(F) est compact. Prenons une suite de points {yn = S(xn)}8n=1 infinie dans S(F). Alors, on a une suite de points {xn}8n=1 infinie dans F. Mais F est compact alors il existe une sous-suite {xnk}8k=1 convergeant vers un element disons x0 de F. Par continuitede la contraction, la sous-suite {ynk = S(xnk)}8k=1 devra converger vers S(x0) ? S(F).

111

Lemme 4.1.10 Soit S : E -? E une contraction de facteur c sur l'espace m'etrique (E, d), alors la transformation S : K(E) ? K(E) d'efinie par

S(B) = {S(x) : x ? B}, ?B ? K(E) (4.10)

est une contraction sur (K(E), dH) de facteur c.

D'EMONSTRATION :

Soit B, C ? K(E) alors,

dH(S(B), S(C)) = max{d(S(B), S(C)), d(S(C), S(B))} 6 max{c · d(B, C), c · d(C, B)}

6 c · max{d(B, C), d(C, B)}

= c · dH(B, C).

El

Lemme 4.1.11 Soit (E, d) un espace m'etrique et soit {Sn : n = 1, 2, ... , N} un ensemble de contractions sur (K(E), d7i) dont le facteur de contraction est cn pour chaque n. Si on d'efinit S : K(E) -? K(E) par

N

S(B) = U Sn(B) (4.11)

n=1

alors S est une contraction sur K(E) de facteur c = max{cn : n = 1, 2, ... , N}.

D'EMONSTRATION :

Demontrons le lemme pour N = 2. Soit B, C ? K(E) alors,

d7i(S(B), S(C)) = d7i(S1(B) ? S2(B), S1(C) ? S2(C))

6 max{d7i(S1(B), S1(C)), d7i(S2(B), S2(C))} 6 max{c1d7i(B, C), c2d7i(B, C)}

= c · d7i(B, C), c = max{c1, c2}

Le cas N > 2 se montre par induction.

III

Th'eor`eme 4.1.12 (Th'eor`eme de point fixe de Banach)

Soit (E, d) un espace m'etrique complet et soit S : E -? E une application contractante. Alors S a un unique point fixe xS ? E, c-`a-d : S(xS) = xS, et de plus, pour tout x ?

E, lim

n-+oo

Sn(x) = xS o`u Sn(x) = S(S(· · · S

-v.-

n fois

(x)), et on a

1

6

1 - c

d(x, S(x))

cn

d(Sn (x), xS) 6 1 - cd(S(x), x). (4.12)

D'EMONSTRATION :

Soit S contractante de facteur de contraction c. Soit x ? E. Soient n,m deux entiers. Alors

d(Sn(x), Sm(x)) 6 c · d(Sn-1(x), Sm-1(x)) 6 cmin{n,m}d(x, S|m-n|(x))

Or, d'apres l'inegalitetriangulaire,

d(x, Sk(x)) 6 d(x, S(x)) + d(S(x), S2(x)) + · · · + d(Sk-1(x), Sk(x)) 6 (1 + c + c2 + · · · + ck-1)d(x, S(x))

Il vient alors

d(Sn(x), Sm(x)) 6 cmin{n,m} 1 1- cd(x, S(x)) (4.13)

Le membre de droite de cette inegalitepeut àetre rendu aussi petit que l'on veut, a` condition de
choisir n,m suffisamment grands. La suite (Sn(x))n?N est donc de Cauchy. Comme l'espace

est complet, cette suite converge dans E vers un point xS = lim

n?8

contractante, elle est continue, de sorte que

Sn(x). Comme S est

S(xS) = S( lim Sn(x)) = lim n?8 n?8

Sn+1(x) = xS

De plus, xS est unique. En effet, si yS est un autre point fixe, alors d(xS, yS) = d(S(xS), S(yS)) 6 c · d(xS, yS), et donc d(xS, yS) 6 0 donc d(xS, yS) = 0 et par suite xS = yS

cn

- cd(S (x), x).

pour (4.13) avec m = 0 on trouve d(Sn(x), xS) 6

1

111

D'efinition 4.1.13 Un systeme de fonctions iterees ou IFS consiste en un espace metrique complet (E, d) et un ensemble fini de contractions Sn : E ? E de facteurs cn pour n = {1, 2, ... , N}. On note l'IFS par {Sn, n = 1, 2, ... , N} et son facteur de contraction est c = max{c1 , c2, . . . ,cN}.

Th'eor`eme 4.1.14 (Hutchinson)

Soit {Sn, n = 1, 2, ... , N} un IFS dans (E, d) d'un facteur de contraction c = max{c1, c2, . . . , cid -. La transformation S : K(E) ? K(E) definie par :

N

S(B) = U Sn(B), ?B ? K(E) (4.14)

n=1

est une contraction sur l'espace (K(E), 4.1) de facteur c. Son unique point fixe qui s'appelle l'attracteur A ? K(E) est

N

A = S(A) = U Sn(A) (4.15)

n=1

est donnepar

A = lim

k?8

Sk(B), ?B ? K(E) (4.16)

et

cn

dH(Sn(B), A) 6 1 cdH(S(B), B). (4.17)

En particulier, pour n = 0, on obtient

d7i(B, A) .<, 1 1 cd7i(S(B), B). (4.18)

D'EMONSTRATION :

La preuve de ce théorème est immédiate par le Lemme 4.1.11, et théorème de point fixe 4.1.12 et puisque K(E) est complet.

Exemple 4.1.15 Ensemble classique de Cantor :

Soit l'espace m'etrique (R,| · |). Consid'erons l'IFS {S1, S2} o`u

1 1 2

3

S1(x) = 3x, S2(x) = 3x + , ?x ? IR

1

1. V'erifions que c'est un IFS et que son facteur de contraction est c = 3 .

pour cela il faut avoir :

- Un espace m'etrique complet. On a IR est un espace m'etrique complet muni de la distance usuelle.

- Un nombre fini de contractions. Ici ce sont : 1

0 S1(x) = 3, Soient x, y ? IR, alors,

d(S1(x), S1(y)) = |x 3 - Y3|

=

1

3.

|x - y|

= 13.d(x, y)

1

1

® S2 = 3

2

et S1 est en effet une contraction de facteur c1 = 3.

x +

3, soient x, y ? IR alors

d(S2(x), S3(y))

=
=

 
 

2

23

|x3 + -

1

3. |x - y|

Y3

-

3|

= 13.d(x, y)

donc S2 est une contraction de facteur c2 = 3, alors un facteur de contraction

1

c = max{c1, c2} = max{1 3, 1 3} = 1 3

2. Soit C0 = [0, 1]. Calculons Ck = Sk(C0), k = 1, 2, ...

C1 = S(C0) = S1(C0) ? S2(C0)

= S1([0,1]) ? S2([0, 1])

= 13[0,1] ? 1 3[0,1] + 2 3

= [0,13]? [2 3,1]

C2 = S(C1) = S1(C1) ? S2(C1)

=

S1([0,

13]

? [2 3,

1])

? S2([0,

13]

?

[2 3,

1])

=

31[0, 13]

?

[23, 1]

?

31[0, 13] ?

[23,

1]

+

23

= [0, 19] ? [2 9, 13] ? [23, 79] ? [89, 1]

· · ·

Ck = S(Ck-1) = S1(Ck-1) ? S2(Ck-1)

= 1 3Ck-1? {13Ck-1 + 23}

Il s'ensuit que lorsque n tend vers l'infini, on retrouve l'ensemble classique de Cantor. L'attracteur (l'ensemble classique de Cantor) de cet IFS est :

A = lim

k?8

= lim

k?8

Sk(C0)

3Ck-1 ? {1

1 3Ck-1 + 2 3}

= 13A ? {13A + 2 3}

4.1.1 Dimensions des ensembles auto-similaires 2

L'un des avantages d'utilisation de l'IFS est que la dimension de l'attracteur est facilement calculable en termes de contractions. En prenant maintenant des similarites S1, . . . , SN : E ? E avec E un espace metrique complet, on peut utiliser le theoreme suivant dont la demonstration est dans [9, p. 130].

Th'eor`eme 4.1.16

Soient Si des similarites de rapports ci < 1, i = 1, . . . , N. S'il existe un ensemble non-vide ouvert et borneV tel que

V ? [N Si(V ) (4.19)

i=1

2. Que certains auteurs appellent «Dimension d'homothétie ».

2

et les Si(V ), i = 1, . . . ,N sont deux a` deux disjoints, alors pour l'attracteur F de l'IFS {S1, . . . , SN}v'erifiant

N

F= Si(F) (4.20)

i=1

on a dimH(F) = s o`u le nombre s est solution de l''equation

N

i=1 csi = 1 (4.21)

De plus, pour cette valeur de s, on a 0 < Hs(F) < 8.

 
 

Par exemple, pour l'ensemble triadique de Cantor, on prend V =]0, 1[. On a V ?

2

U

i=1

Si(V )

x +

avec S1 = 3

1
x et S2 = 1

3

C1)s 1 s log 2

2 3) log 3

3. On a alors dimHC = s avec s est solution de l''equation

N

Si F = U Si(F) avec l'union «presque disjointe», on a

i=1

Hs(F) =

N
i=1

Hs(Si(F)) =

N
i=1

csiHs(F)

Si nous savons que 0 < Hs(F) < 8 on trouve l''equation (4.21).

Pour r'esoudre l''equation (4.21), on utilise les m'ethodes num'eriques comme par exemple la m'ethode de Newton (voir [6, p. 885]) qui trouve le z'ero de la fonction g o`u

N

g(x) = i=1 cxi - 1 (4.22)

de d'eriv'e

g'(x) =

XN
i=1

log ci · cx (4.23)

i

Alors, on trouve s tel que

ENi=1 cixk - 1

x0 = 0, xk+1 = xk - N s = limx k.

Ei

log ci · cxk k--oo

i

Si on prend par exemple la courbe de Koch quadratique modifi'e Km (Figure 4.2) qui obtient par it'erations a` partir du segment [0, 1] en le partageant sur cinq segments et en joignant les points suivants cons'ecutivement :

11 Z'

FIGURE 4.2 - Premi`eres etapes de la construction du courbe de Koch quadratique modifie

1 1

Le fractal Km verifiel'equation (4.20) avec c1 = c3 = c5 = 3et c2 =c4 = 5. La methode

de Newton donne la solution de l'equation (4.21), qui est de la forme

1)8 1)8

3 (3 + 2 (5 = 1, (4.24)

alors on trouve s tel que

s = lim xk.

3 log (s)(3 1,)xk

+ 2log (5 1)
· (51)xk ,

x0 = 0, xk+1 = xk

3 Girk + 2 (5)xk _ 1

k-+oo

k

0

1

2

3

4

5

6

7

xk

0

0.6140

1.0563

1.2447

1.2714

1.2719

1.2719

1.2719

Donc, la valeur s = dimH(Km) 1.2719.

Si les transformations Si du Theor`eme 4.1.16 ne sont que des contractions on obtient egalement des variantes.

Proposition 4.1.17 Soient S1, . . . , SN des contractions avec ci < 1 pour chaque i. Suppo-

sons que F soit invariant pour les Si : F =

N

U

i=1

Si(F). Alors dimH(F) < s o`u

N
i=1

c8i = 1.

p1 p0 = (0, 0) = (1 0) p2 = (1 1)

21

3,5

p3 = (3, 5) p4 = (3, 0)

p5 = (1, 0).

puis en recommencant cette operation a` l'infini sur chaque segment de la figure obtenue.

4.1.2 Syst`eme de fonctions it'er'ees affines dans Ill2

Une application f : 1[82 ? 1[82 est dite affine si elle est de la forme

f(x) = Lx + b (4.25)

avec L une application lineaire, donnetoujours par des matrices, et b ? 1[82. Cette application est alors de la forme

l1,1 l1,2 x b1

f x y ) l2,1 l2,2 ) y ) + b2

Une rotation d'un angle è est donnepar la matrice orthogonale

O = cos è - sin è

sinè cosè

(4.26).

Th'eor`eme 4.1.19 (Th'eor`eme de collage)

Soient F ? K(E) et 6 > 0. Soit {Sn,n = 1,2, ... , N} un IFS de facteur de contractant c = max{cn,n = 1, ... N}, et soit S : K(E) -? K(E) d'efinie dans l''equation (4.11) tel que

d(F, S(F)) < 6 (4.27)

Alors A l'attracteur de IFS v'erifie :

di-t(F, A) .<, 1 6 c (4.28)

D'EMONSTRATION :

En prenant B = F dans l'equation (4.18), on obtient

1 1 c

di-t(F, A) .<, di-t(S(F),F)

6

1 - c

Si L = c · O alors f est une similaritede facteur c.

Th'eor`eme 4.1.18

Si l'application affine f dans (4.25) une contraction alors son point fixe est xf = (I - L)-1b.

BELLAL i' LES FRACTALS ET LEUR G'EOM'ETRIE ' BENTERKI

Le théoreme du collage porte donc bien son nom : pour approcher un objet par l'attracteur d'un IFS, il suffit que l'union des images de l'objet par les applications de l'IFS soit proche de l'objet.

Exemple 4.1.20 Poussi`ere de Cantor :

Considerons l'IFS {S1, S2, S3, S4} o`u

x 1 0 x

4 0

S1 4 ) 2

S2

x
y

) 1 ! ! 1

4 0 x

= + 4

0 1 y 0

4

!.

1 0 x 34

S4

(

x

1 ) y) + 4

41)

4

On verifie facilement que {S1, S2, S3, S4} est un IFS de facteur c = 1. Exemple 4.1.21 La courbe de von Koch :

4

U Si avec

i=1

La courbe de von Koch K (Figure 2.3.4) est obtient au moyen de fonction F = les Si sont des similarite de facteur 31 donne par

S1

1 0 x 0

! .

; 3 0 3y ) 0) .

S2 x

!= \6 16 ) 3

y

66

! 1 N/3 1

= 6 N/3 6) x + 2N/3 .

1

-6 6 y 6

S3 x

y

1 0 x

S4 x = 3 ) H .

y 0 3 ) 1 Y

3 0

La suite des iterees {Si : 1 .<, i .<, 4} forme un IFS de cette fractale.

x 4

1 0 2

X 1

S3 4 ) y) 34)

1 - N/3 x 1

0

BELLAL LEs FRAcTALs ET LEuR GgoMgTRiE BENTERKI

1

3,

Si on choisit B l'intervale d'unite sur l'axe des x, alors d(B,S(B)) = 4v dH(B, S(B)) = 1

d(S(B), B) = . Par la relation (4.17) on trouve dH(Sn(B), K)

2v3 3n(1 1 - 1/3)dH(S(B),B) =

1

4 · 3n-1v3.

M'ethodes de construction des attracteurs :

D'apres le Theoeme 4.1.14, il existe un unique attracteur. Mais comment le construire? ALGORITHME 1 :

Soient {S1, . . . , SN} un IFS dans E et A leur attracteur.

O Soit k = 0 et choisissons, arbitrairement, un compact non vide P0 de E.

N

® On calcul Pk+1 = S(Pk) = U

i=1

Si(Pk).

(c) Si k au-dessous un seuil donne, retour a` ®, sinon arràet.

Le seuil de l'algorithme dependre par le facteur de contraction c et la distance entre l'ensemble de depart P0 et l'attracteur A. On a

si k > log(å/dH (P0, A))

dH(Pk, A) < ckdH(P0, A) < å,

.

log c

Cependant, cet algorithme n'est pas tres efficace car il exige beaucoup de calculs. Pour remedier a` ce probleme, on procede un algorithme stochastique comme suivant : ALGORITHME 2 : (s'appele aussi «Chaos game»(voir [27, p. 22]))

Soit {S1, . . . , SN} un IFS et attachons a` chaque Si une probabilitepi de telle sorte que

N
i=1

pi = 1.

m Soit k = 1 et choisissons un point y0 de E.

® On choisit au hasard une des fonctions Si (la probabiliteque Si soit choisie est pi).

(c) On calcul yk = Si(yk-1).

CD Si k au-dessous un seuil donne, retour a` ®, sinon arràet.

D'efinition 4.1.22 Un IFS avec probabilites est un IFS {S1, . . . , SN} avec des probabilit'es p1, . . . , pN attach'ees aux fonctions S1, . . . , SN.

Exemple 4.1.23 Le triangle de Sierpinski :

1

L'IFS de ce fractal contient trois similarités affines Si de factaeur 2 o`u Si(x) = Lix + bi

avec

Attachons les probabilités 0.2, 0.3 et 0.5 a` S1, S2 et S3 respectivement. On obtient un IFS avec probabilités que l'on peut représenter sous forme de tableau.

)

0 b2 0.5 ) 14

0 , 0 b3 = N/3 .

4

L1 = L2 = L=

0 0.50.5 0

i

l1,1

l1,2

l2,1

l2,2

b1

b2

pi

1

0.5

0

0

0.5

0

0

0.2

2

0.5

0

0

0.5

0.5

0

0.3

3

0.5

0

0

0.5

1 4

43

0.5

 

Avec cette méthode, on arrive a` construire des fractals de la nature.

Exemple 4.1.24 La foug`ere de Barnsley :

L'IFS de cette fractale contient quatre contractions affines Si(1 < i < 4) at Si(x) = Lix +bi avec

,

,
,

L1 = 0 0 ) 0.5

=0 0.160 b1 0

0.849 0.037

0.

L2 =

-0.037 0.849 b2 0.183075

!

L3 = 0.197 -0.226

0.400

, b3 =

0.226 0.197 0.049

.

-0.15 0.283 0.575

0.260 0.237 ) b4 =

-0.084

L4 =

)

Attachons les probabilités 0.01, 0.85, 0.07 et 0.07 a` S1, S2, S3 et S4 respectivement. On obtient un IFS avec probabilités que l'on peut représenter sous forme de tableau.

i

l1,1

l1,2

l2,1

l2,2

b1

b2

pi

1

0

0

0

0.16

0.5

0

0.01

2

0.849

0.037

-0.037

0.849

0.075

0.183

0.85

3

0.197

-0.226

0.226

0.197

0.400

0.049

0.07

4

-0.15

0.283

0.260

0.237

0.575

-0.084

0.07

FiGuRE 4.3 - La fougère de Barnsley

Section 4.2

Syst`eme de fonctions it'er'ees complexes

Soit f : C -? C une fonction polynàomiale de degrén > 2, i.e.

f(z) =

Xn
i=0

aizi : ai ? C et an =6 0 (4.29)

et soit la suite des itérées (fk)k>0 avec fk est k-fois compositions de f, on dit que z est un point fixe de f si f(z) = z et fk(z) = z, ?k ? N. On dit que z est un point périodique de f s'il existe p > 2 tel que fp(z) = z et fpk(z) = z avec k ? N. On appelle le nombre p la période de z et l'ensemble {z, f(z), . . . , fp-1(z)} une orbite d'un point p-périodique. La suite (fk(z))kEN peut aussi converger vers un point fixe ou une orbite d'un point p-périodique.

Si f est une fonction analytique, soit w un point p-périodique de f. On pose A = (fp)'(w) et on dit que

- w est un point attractif si 0 6 |A| < 1.

- w est un point répulsif si |A| > 1.

De plus, w est un point neutre si |A| = 1.

4.2.1 Les ensembles de Julia

D'efinition 4.2.1 L'ensemble de Julia de f, noteJ(f) est l'adherence de l'ensemble des points periodiques repulsifs de f. Et on appelle le complement de J(f) noteF(f) = C\J(f) l'ensemble de Fatou.

Exemple 4.2.2 Soit f une fonction definie par f(z) = z2, ainsi fk(z) = z2k. Les points p-p eriodique de f verifient :

fp(z) = z ? z2p = z

? z2p-1 = 1

Alors z est de la forme z = e2ðiè et donc (e2Ðiè)2p-1 = 1. Alors è(2p - 1) ? N et donc

2iÐk

z ? {e2p-1, 0 = k = 2p - 2}

Ce sont des points repulsifs, car pour un tel z0 p-periodique, on pose zk = fk(z0) (0 .<.. k < p)

(fp)'(z0) = [f(fp-1)]0(z0) = f0(fp-1(z0))(fp-1),(z0)

f0(fk(z0))

=

p-1II
k=0

f0(zk)

=

p-1II
k=0

=

p-1II
k=0

2zk = 2p

p-1II
k=0

zk

|(fp)0(z0)| = 2p > 1

L'ensemble de Julia J(f) est donc le cercle unite|z| = 1.

D'efinition 4.2.3 Soit U un ouvert de C et soit gk : U ? C une famille de fonctions analytiques. La famille {gk} est dite normale sur U si, toute suite extraite de {gk} admet une sous-suite qui converge uniformement sur tout compact K ? U, soit vers une fonction analytique bornee, soit vers 8, i.e.

lim

k,l?8

sup

z?K

|gnk(z) - gnl(z)| = 0 ou lim

k?8

inf

z?K

|gnk(z)| = 8.

8 8

une famille normale, alors U gk(U) = C ou il existe un w ? C tel que U gk(U) = C\{w}.

k=1 k=1

La famille {gk} est normale au point w s'il existe un ouvert V de U contenant w tel que {gk} soit une famille normale sur V .

Th'eor`eme 4.2.4 (Montel)

Soit {gk} une famille de fonctions analytiques complexes sur un ouvert U. Si {gk} n'est pas

D'efinition 4.2.5 Soit f : U ? C une fonction complexe, on d'efinie :

J0(f) = {z ? C : la famille {fk}k?N n'est pas normale en z}.
F0(f) = {z ? C : la famille {fk}k?N est normale en z}.

On remarque que F0(f) est un ouvert, et donc J0(f) est fermédans C.

Lemme 4.2.6 Soit f un polynàome et soit r = max{1,

2 +v.n-1 1,, .1 Laj=0 I "'.7 I } Alors, pour tout |z| = |an|

r, on a |f(z)| = 2|z|. De plus, on a k?8 lim fk(z) = 8 et donc (fk)k?N converge uniform'ement dans V = {z ? C :|z| = r} = C\B(0,r).

D'EMONSTRATION : Si |z| = r, on a

|an||z| -

Xn- 1
j=0

|aj||z|j-n+1 = |an||z| -

Xn- 1
j=0

|aj| = 2.

Donc |f(x)| = |z|n-1(|an||z| -

n-1P
j=0

|aj||z|j-n+1) = 2|z|.

De plus, si |f(x)| = 2|z|, on trouve par récurrence que |fk(x)| = 2k|z| ? 8 et alors

lim

k?8

|fk(x)| ? 8.

Proposition 4.2.7 Soit f une fonction d'efinie comme (4.29) on a :

1. J0(f) =6 Ø.

2. J0(f) est compact.

3. J0 est invariant par f et f-1, c`a-d J0 = f(J0) = f-1(J0). D'EMONSTRATION :

1. Supposons que J0(f) = Ø. Alors, pour chaque r > 0, la famille {fk} est normale sur la boule ouvert B(0, r). Comme f est un polynàome, on peut choisir r assez grand pour que B(0, r) contienne un point z pour lequel |fk(z)| ? 8, et également un point fixe w pour f, avec fk(w) = w, ?k ? N. Une sous-suite de {fk} ne peut alors converger uniformément ni vers une fonction analytique bornée ni vers 8 sur tout compact de B(0, r) qui contient a` la fois z et w, ce qui contredit la normalitéde {fk}.

2. Comme le degréde f = 2, on peut trouver r (d'après le Lemme 4.2.6) tel que |f(z)| > 2|z| si |z| > r d'o`u |fk(z)| > 2kr si |z| > r.

Ainsi, fk(z) ? 8 uniformément sur l'ouvert V = {z ? C : |z| > r} = C\B(0, r). Par définition, {fk} est normale sur V , donc V ? C\J0(f). On obtient alors que J0(f) ? B(r, 0) donc il est borné, et par suite compact.

3. Il est équivalent de montrer que le complément F0(f) est invariant. Soit V un ouvert avec {fk} normale sur V . Comme f est continue, f-1(V ) est un ouvert. Soit (fk%) une sous-suite de {fk}. Alors (fk%+1) admet une sous-suite (fk0%+1) uniformément convergente sur les compacts de V . Si D est un compact de f-1(V ), alors (fk0%+1) converge uniformément sur f(D), donc (fk0%) converge uniformément sur D.

Ainsi, {fk} est normale sur f-1(V ), donc F0 ? f-1(F0) et f(F0) ? F0. Les deux autres inclusions s'obtiennent de la même manière, en utilisant que f est une application ouverte.

Proposition 4.2.8 J0(fm) = J0(f) ?m ? N.

D'EMONSTRATION :

Il suffit de montre F0(fm) = F0(f), Si chaque suite extraite de {fk} admet une sous-suite uniformément convergente sur un ensemble donné, c'est aussi vraie pour {fmk}k>1. Donc F0(f) ? F0(fm).

Si K est un compact et {gk} une famille convergeant uniformément sur K vers une fonction bornée ou vers 8, il en est de même pour {h ? gk} pour tout polynàome h.

Ainsi, si {fmk}k>1 est normale sur un ouvert V , la famille

{fmk+r}k>1 l'est aussi, pour r ? {0, . . . ,p - 1}. Mais toute suite extraite de {fk}k>1 contient une infinitéde termes de la suite (fmk+r)k>1 pour un entier r avec 0 = r = p-1, qui admet une sous-suite uniformément convergente sur les compacts de V .

Donc {fk} est normale, et F0(f) ? F0(fm).

Lemme 4.2.9 Soit f un polynàome de degrén et soit U un voisinage d'un point w ? J0(f). Alors

oo

W := fk(U) = C\{z0}

k=1

telle que z0 ? F0(f) et est indépendant de w et de U.

D'EMONSTRATION :

Par definition de J0, la famille {fk} n'est pas normale en w, la premi`ere partie decoule donc du Theor`eme de Montel 4.2.4, donc existe un point z0 ? C verifie que W = C\{z0}. Soit zi (1 < i < n) les racines de l'equation f(z)-z0 = 0. Si zi ? W pour tout i ? {1, ... ,n}, on a z0 = f(zi) ? f(W) ? W, impossible car z0 ?/ W donc zi ?/ W, Comme C\W est au plus un seul point z0, alors zi = z0 (1 = i = n) et f(z) - z0 = c.(z - z0)n.

Supposon que |z - z0| = r := (2|c|)-1/(n-1).on a

|f(z) - z0| = |c|.|z - z0|n |c|

2|c|.|z - z0| =1 -

2 z0|,

1 r

et |fk(z) - z0| = 2k 2k

< . On deduire que fk(z) est converge uniformement sur le

disque B(z0, r) qui contient z0, alors {fk}k=1 est normale en z0.

Th'eor`eme 4.2.10

Soit U un ouvert qui v'erifie U n J0 =6 Ø, et soit w ?

une infinit'e de valeurs de k. D'EMONSTRATION :

S8
k=1

fk(U), alors f-k(w) n U =6 Ø pour

Si W = S8 fk(U) =6 C, soit z0 qu'il definie dans Lemme 4.2.9, et k1 = min{k : w ?

k=1

fk(U)}, alors il existe z1 ? U tel que : fk1(z1) = w.

Dans le cas W = C\{z0}, on a z1 =6 z0 car fk1(z0) = z0 =6 w. Donc z1 ? W, par recurrence on
peut construiseune suite (kj)8j=0 croissant et autre suite (zj)8j=0 ? C verifie f-k(zj)n U =6 Ø.

Th'eor`eme 4.2.11

Pour tout w ? J0(f) alors :

[8

J0(f) =

k=1

f-k(w). (4.30)

D'EMONSTRATION :

Si w ? J0(f), alors f-k(w) ? J0(f) par la Proposition 4.2.7, donc

[8

k=1

f-k(w) ? J0

[8

k=1

f-k(w) ? J0

00

Soit U un ouvert rencontre J0 on a d'après le Lemme 4.2.9 w E U f-k(U) et donc

k=1

00 00

U f-k(w) n U =6 0 et J0 c U f-k(w).

k=1 k=1

 

Proposition 4.2.12 J0 est un ensemble parfait, i.e. ferm'e et sans points isol'es.

D'EMONSTRATION :

Soient w E J0(f) et U un voisinage de w. Il faut montrer que U contient d'autres points de J0(f). On considère trois cas separemment.

(a) w n'est pas un point periodique de f : Par le Theorème 4.2.11 on a U n J0(f) =6 0, k > 1, U n f-k(w) =6 0, donc U contient un point different de w car w n'est pas un point fixe ou periodique.

(b) f(w) = w point fixe de f : Si f-1(w) = w, alors comme dans la demonstration du Lemme 4.2.9, w E/ J0(f). Il existe donc un point v =6 w avec f(v) = w et contient dans J0 par invariance de f-1. Donc par la Proposition 4.2.7 (3), on trouve U n f-k(v) =6 0 pour un k > 1.

(c) fp(w) = w pour un p > 1 : Par la Proposition 4.2.8, J0(f) = J0(fp), donc en appliquant (b) a` fp, on voit que U contient d'autres points de J0(fp) = J0(f) different de w.

On deduire que J0 sans points isoles et comme il est ferme, il est parfait.

Th'eor`eme 4.2.13

Soit f une fonction polynàomiale de degr'e n > 2, alors J0(f) = J(f).

D'EMONSTRATION :

Soit w un point repulsif de f de periode p, donc w est un point fixe repulsif de g = fp. Supposons que Igkl est normale en w ; alors w possède un voisinage ouvert V sur lequel une sous-suite (gki) converge uniformement vers une fonction analytique finie g0 (elle ne peut pas converger vers Do car gk(w) = w Vk).

Comme g est analytique, la derivee converge egalement (gki)'(z) -+ g0'(z) si z E V . Or la
formule de derivation d'une composee donne que |(gki)'(w)| = |(g'(w))ki -+ Do car w est un

point fixe repulsif, |g'(w)| > 1. Ceci contredit la finitude de g00(w), donc {gk} ne peut àetre normale en w.

Ainsi w ? J0(g) = J0(fp) = J0(f) par la Proposition 4.2.8. De plus, J0(f) est ferme, donc J(f) ? J0(f).

Soit K = {w ? J0(f) tel qu'il existe z =6 w avec f(z) = w et f'(z) =6 0}. Supposons que w ? K. Gràace au Theoreme 4.2.14 ci-dessous Il existe alors un voisinage ouvert V de w sur lequel on peut trouver localement une inverse analytique f-1 : V ? C\V tel que f(f-1(z)) = z pour z ? V . Definissons une famille de fonctions analytiques {hk} sur V par

fk(z) - z

f-1(z) - z

.

hk(z) =

Soit U un voisinage ouvert de w avec U ? V . Comme w ? J0(f), la famille {fk} n'est pas normale et donc par definition, la famille {hk} n'est pas normale sur U. Par le Theoreme de Montel 4.2.4, hk(z) doit prendre la valeur 0 ou 1 pour un certain k et z ? U. Dans le premier cas, fk(z) = z pour un z ? U ; dans le second cas, fk(z) = f-1(z) donc fk+1(z) = z pour un z ? U. Donc U contient un point periodique de f, d'o`u w ? J(f). On a montreque

K ? J(f) et donc K ? J(f) = J(f).

De plus K contient tous les points de J0(f) sauf un nombre fini. Comme J0(f) ne contient pas de point isolepar la Proposition 4.2.12, donc J0(f) = K ? J(f).

Th'eor`eme 4.2.14

Soit f une fonction holomorphe sur un voisinage de point z0 ? C tel que f'(z0) =6 0. Il existe
un voisinage U de z0, et un voisinage V de w0 = f(z0) avec U n V = Ø et une application

holomorphe unique f sur V tel que

ef(w0) = z0 et

w = f(z) ? z = ef(w). ?z ? U

D'efinition 4.2.15 Soit w un point fixe attractive de f (tel que w ? C ou w = 8). On d'efinie l'ensemble

A(f,w) := {z ? C : k?8 lim fk(z) = w}

le bassin d'attraction de w.

On peut deduire que A(f, w) = f-k(A(f,w)).

Th'eor`eme 4.2.16

Si w un point fixe attractive de f, alors A(f,w) est un ouvert et A(f,w) ? F0.

Pour la preuve voir [11, p. 115].

Th'eor`eme 4.2.17

Si w est un point fixe attactive de f ou si w = 8 alors ?A(f,w) = J(f), o`u ?A(f, w) la fronti`ere de l'ensemble A(f, w).

D'EMONSTRATION :

(i) J(f) ? ?A(f,w)? : Soit z ? J(f). Par la Proposition 4.2.7 (3) on a fk(z) ? J(f) pour tout k ? N et ne converge pas vers un point fixe attractif w, donc z ?/ A(f, w) , et on a pour tout U est un voisinage de z, l'ensemble fk(U) contient des points de A(f, w) pour un certain k par le Lemme 4.2.9, donc U n f-k(A(f, w)) = U n A(f, w) =6 Ø, on d'eduire donc z ? ?A(f,w).

(ii) ?A(f,w) ? J(f)? : On suppose que z ? ?A(f,w)/J(f), alors il existe un ouvert voisinage U de z et la suite {fk}k?N admet une sous-suite convergente soit vers une fonction analytique, soit vers w = 8. Cette sous-suite converge vers w sur V nA(f, w), donc elle est converge w dans V qui contient z, alors z ? A(f, w) ce qui contredit z ? ?A(f,w).

4.2.2 L'ensemble de Mandelbrot

On va etudier les ensembles de Julia des polynàomes de la forme

fc(z) = z2 + c

En choisissant bien á et â et en posant h(z) = áz + â avec á =6 0, on peut obtenir n'importe quelle fonction quadratique f en conjuguant fc avec h tel que

á

á2z2 + 2áâz + â2 + c - f(z) = h-1(fc(h(z))) = â

Comme h est une similitude, l'ensemble de Julia de toute fonction quadratique f presente la màeme structure que celui de fc pour un certain c ? C.

Si on calcul l'inverse de fonction fc pour z =6 c, on obtient les valeurs #177;(z - c)1/2 sont appelees les deux branches de f c -1(z).

On rappel qu'un lacet est une courbe fermee, de classe C1 et simple (i.e., sans point d'auto-intersection), et le terme huit est pour une courbe ferm'ee de classe C1 avec un unique point d'auto-intersection.

D'efinition 4.2.18 On définit l'ensemble de Mandelbrot comme l'ensemble des param`etres

c pour lesquels l'ensemble de Julia de fc est connexe

M = {c ? C, J(fc) est connexe}.

FIGURE 4.4 - Ensemble de Mandelbrot

Cette definition n'est pas pratique, on obtient une autre en utilisant le lemme suivant. Lemme 4.2.19 Soit C un lacet dans le plan complexe.

(i) Si c est a` l'intérieur de C, alors f c -1(C) est un lacet, avec l'intérieur de fc -1(C) est l'image réciproque de l'intérieur de C.

(ii) Si c est un point de C, alors fc -1(C) est un huit, et l'image réciproque de l'intérieur de C est l'intérieur des deux lacets.

D'EMONSTRATION :

On a f-1

c (z) = #177;(z - c)1/2 et (fc -1)'(z) = #177;21(z - c)-1/2 qui est non-nul si z =6 c. Ainsi, si on choisit une des branches de f-1

c , l'ensemble fc -1(C) est localement une courbe de classe

C1.

(i) Supposons que c soit a` l'interieur de C. Prenons un point initial w sur C et choisissons l'une des deux valeurs f-1

c (w). En faisant varier continàument f-1

c (z) quand z decrit C, le point fc -1(z) trace une courbe de classe C1. Quand z retourne en w, f c -1(w) prend sa seconde valeur. Si z traverse C encore une fois, f-1

c (z) continue a` decrire une courbe C1, qui se referme quand z retourne en w pour la seconde fois.

Comme c ?/ C, on a 0 ?/ fc -1(C), donc f'c(z) =6 0 sur f c -1(C). L'application fc est donc localement une bijection de classe C1, au voisinage des points de f-1 c(C). En particulier, z ? fc -1(C) ne peut àetre un point d'auto-intersection de fc -1(C), sinon fc(z) serait un point d'auto-intersection de C.

Comme fc est une application continue qui envoie le lacet f-1

c (C), et aucun autre point, sur le lacet C, le polynàome fc doit aussi envoyer respectivement l'interieur et l'exterieur de f-1

c (C) sur l'interieur et l'exterieur de C. Les deux branches de f-1 csont donc correspondre l'interieur de C avec l'interieur de f-1

c (C).

(ii) On le prouve d'une mani`ere similaire a` (i), en remarquant que si C0 est un arc de courbe de classe C1 passant par c, alors f-1

c (C0) consiste en deux arc de courbes passant par 0, qui s'intersectent, ce qui donne le point d'auto-intersection et le huit.

Th'eor`eme 4.2.20

L'ensemble de Mandelbrot est un ensemble des param`etres c pour lesquels l'orbite {fk(0)}8k=1 est born'e, i.e. M = {c ? C, {fkc (0)}k=1 est born'e }.

D'EMONSTRATION :

On montre d'abord que si {fkc (0)} est borne, alors J(fc) est connexe. Soit C un cercle dans C centrea` l'origine, assez grand pour que tous les points {fkc (0)} soient a` l'interieur de C, pour que fc -1(C) soit dans l'interieur C , et fkc (z) ? 8 pour tout z dans l'exterieur de C. Comme c = fc(0) est a` l'interieur C, d'apr`es le Lemme 4.2.19 (i) fc -1(C) est un lacet contenu dans l'interieur C. De màeme, fc(c) = f2c (0) est a` l'interieur C de C et f-1 cenvoie l'exterieur de C sur l'exterieur de fc -1(C), donc c est a` l'interieur de fc -1(C). Donc fc -2(C) est un lacet contenu dans l'interieur de fc -1(C). Ainsi de suite {fc -k(C)} consiste en une suite de lacets, chacun contenant le suivant dans son interieur.

Soit K l'ensemble fermedes points qui sont a` l'interieur ou sur les lacets fc -k(C) pour tout k. Si z ? C\K, un certain iterefkc (z) sera a` l'exterieur de C et donc fkc (z) ? 8. On a A(f, 8) = {z ? C : lim fk c (z) ? 8} = C\K.

k?8

D'apr`es le Theor`eme 4.2.17, J(fc) est la fronti`ere de C\K, qui est bien sir aussi la fronti`ere de K. Mais K est l'intersection d'une suite decroissante de fermes simplement connexes, donc K est simplement connexe et sa fronti`ere est donc aussi connexe. Donc J(fc) est connexe.

On montre que si J(fc) connexe alors {fkc (0)} est borne. Il est equivalent de montrer que J(fc) n'est pas connexe si {fkc (0)} n'est pas borne. Soit C un cercle assez grand pour que fc -1(C) soit a` l'interieur de C, que tous les points z a` l'exterieur de C tel que fk(z) ? cc et tel que pour un certain p, le point fp-1

c (c) = fpc (0) ? C avec fc k(0) a` l'interieur ou a` l'exterieur de C, selon que k est plus petit ou plus grand que p. Comme dans la premi`ere partie, on construit une suite d'ensembles {fc -k(C)}, chacun contenant le suivant dans son interieur.

Toutefois, l'argument ne tient plus quand on arrive au lacet fc 1-p(C), car c ? fc 1-p(C) et le Lemme 4.2.19 (i) ne s'applique pas, Par le Lemme 4.2.19 (ii), on obtient que H := fc -p(C) est un huit a` l'interieur du lacet fc 1-p(C), avec fc envoyant l'interieur de chaque partie de H dans l'interieur de fc 1-p(C). L'ensemble de Julia J(fc) doit àetre a` l'interieur des lacets de H, car les autres points sont iteres vers cc. Comme J(fc) est invariant par fc -1 , des parties de J(fc) doivent àetre contenues dans chaque lacet de H. Ainsi, le huit H rend J(fc) non connexe.

Th'eor`eme 4.2.21

Soit |c| > 41(5 + 2v6), alors J(fc) est totalement discontinu, et est attracteur (au sens de (4.15)) par les contractions donn'ees par les deux branches de f c -1 (z) = #177;(z - c)1/2 pour z proche de J(fc). De plus si c grand

2 log 2

dimH(J(fc)) '-'

log 4|c|.

Th'eor`eme 4.2.22

Si |c| < 41 alors J(fc) est une courbe ferm'ee simple.

4 1 1

Il faudrait ensuite etudier les cas oii. < |c| < 4(5 + 2v6), mais ils sont plus difficiles car fc

a plusieurs points periodiques et nous ne les traiterons pas.

Les cas les plus d'elicats sont quand c est sur la fronti`ere de l'ensemble de Mandelbrot, on a d'apr`es [23, 24, 25] qui sont assurent que dimH(Jc) = 2 . De plus, signalons cependant qu'il existe un resultat affirmant que la fronti`ere de l'ensemble de Mandelbrot est un fractal avec dimH?M = 2.

Syst`eme de fonctions it'er'ees sur lAction 43'

multifonctions

Dans cette section, on introduit la methode de l'IFS sur l'espace des fonctions a` valeurs ensemblistes ou multifunctions.

Rappellons qu'une multifonction F : X Y est une fonction de X vers P(Y ) ou 2Y . On appelle graphe de F l'ensemble

graph F := {(x, y) E X × Y : y E F(x)}. (4.31)

Si F(x) est un ferme, compact ou convexe on dit que F est ferme, compact ou convexe respectivement. Notons F : X ? K(Y ) les multifonctions a` valeur compact.

Soit (X, B, au) un espace mesurefini; une multifonction F : X Y est dite mesurable si

pour tout ouvert O ? Y on a

F-1(O) := {x E X : F(x) n O =6 Ø} E B. (4.32)

Une fonction f : X ? Y est une selection de F si f(x) E F(x), ?x E X. Dans la suite on suppose que Y est compact et F(x) est compact pour tout x E X. On definit

F(X,Y ) := {F : X ? K(Y )}. (4.33)

On definit deux metriques dans F(X, Y ); la premiere est

d8(F, G) := sup

x?X

dH(F (x), G(x)) (4.34)

et la deuxieme avec au une mesure finie et p > 1 par

? f 1/p

dp(F, G) :=

dH(F (x), G(x))pdau(x) . (4.35)

X

Proposition 4.3.1 L'espace (F(X,Y ),d8) est un espace metrique complet.

D'EMONSTRATION :

Il est evidament claire que d8(F, G) = 0 ssi F = G et d8(F, G) = d8(G, F). De plus, pour F, G, H ? F(X, Y ) on a

d8(F, G) = sup

x?X

dH(F(x), G(x))

6 sup

x?X

(dH(F(x), L(x)) + dH(L(x), G(x)))

6 sup

x?X

dH(F(x),L(x)) + sup

x?X

d(L(x), G(x))

= d8(F, L) + d8(L, G).

Pour montrer qui l'est complet, soit Fn une suite de Cauchy de F(X, Y ) alors pour å > 0 il existe n0(å) tel que pour m,n > n0(å) on a d8(Fn, Fm) < å. Alors pour tout x ? X on a dH(Fn(x), Fm(x)) 6 å et la suite Fn(x) est de Cauchy dans K(Y ). Comme elle est complet il exist A(x) tel que dH (Fn(x), A(x)) ? 0 quand n ? +8. Alors pour tout x ? X et pour tout n,m > n0(å) on trouve dH(Fn(x), Fm(x)) 6 å, et pour m ? +8 on a dH(Fn(x), A(x)) 6 å et donc d8(Fn, A) 6 å.

111

Proposition 4.3.2 dp est un (pseudo-) m'etrique dans F(X,Y ).

DEMONSTRATION :

Elle est clair que dp(F, G) = 0 si et seulement si dH(F(x), G(x)) = 0 pour u-presque partout, alors si et seulement si F(x) = G(x) pour presque tout x ? X. De plus, que dp est symetrique. Pour l'inegalite triangulaire, soit F, G, H ? F(X, Y ) on a (`a, l'aide de l'inegalite de Minkowski : 11f + gIlLp 6 11 f 11Lp + 11g11Lp (voir [13]))

? 1/p

?

? dp(F,G) =

X

?

6 ?

I ? dH(F (x), G(x))pdu(x)

I [dH(F(x), H(x)) + dH(H(x), G(x))]pdu(x)

) 1/p

X

?

6 ?

I 1/p

d7.1(F (x), H (x))P diu(x)) + I dHi(H (x), G(x))p du(x)

= dp(F, H) + dp(H , G).

X

X) 1/p

On trouve que dp est un pseudo-metrique pour des fonctions differentes sur un ensemble u-negligeable qui sont de distance nulle.

Proposition 4.3.3 Soit Y un intervale compact de IR et supposons que F(x) soit convexe pour tout x ? X et pour tout F ? F(X,Y ). Supposons que tout F ? F(X, Y ) soit mesurable. Alors (F(X,Y ),dp) est complet.

D'EMONSTRATION :

Pour montrer qu'il est complet, soit Fn une suite de Cauchy d'elements de F(X, Y ), alors, pour tout E > 0, il existe n0(E) > 0 tel que, pour tout m, n > n0(E), on ait dp(Fn, Fm) < E. Comme Fn(x) est compact et convexe, alors Fn(x) = [min Fn(x), max Fn(x)]. Les fonctions ö*n(x) = min Fn(x) et ö**n (x) = max Fn(x) sont mesurables et

*n(x) ? ö*m(x)1L, C dp(Fn, Fm) 1ö**n (x) ? ö**m(x)1L, C dp(Fn, Fm)

et donc ö*n et ö**n sont de Cauchy dans Lp(X). Alors il existe ö* et ö** tel que ö*n ? ö* et ö**n ? ö** avec la metrique usuel dans Lp. Si on construit F(x) = [ö*(x), ö**(x)] alors

? Z

dp(Fn, F ) = ? dH(Fn(x), F(x))pdu(x)

?1/p

= (Imax{|ö;1(x) ? ö*(x)|p, |ö**n(x) ? ö**(x)|pu

}d(x)

?

?1/p

?

?1/p1/p

1|ö,(x) ? ö,(x)|pdu(x) 1|ö,7(x) ? ö**n(x)|pdu(x)

X X

?
?

?

Dans la suite, on definit deux types d'operateurs de l'IFS sur F(X, Y ).

L'op'erateur «Union» :

Soient Si : X ? X sont des fonctions de X dans X et öi : K(Y ) ? K(Y ) sont des contractions au sens de la distance de Hausdorff de facteurs ci < 1 avec i ? {1,. . . , N}. On

définit T : F(X,Y ) ? F(X, Y ) par

N

T(F)(x) := öi(F(S11(x))). (4.36)

i=1

Proposition 4.3.4 Si c = max{ci : 1 6 i 6 N} < 1. Alors T est une contraction sur l'espace (F(X, Y ), d8)

D'EMONSTRATION : Soient F, G ? F(X,Y )

6 sup

x?X

max

16i6N

dH(öi(F(S-i

1(x))), öi(G(Si1(x))))

6 sup

x?X

max

16i6N

ci dH(F(S-i

1(x)), G(S-1

i (x)))

6 c sup

z?X

dH(F(z), G(z))

= c d8(F,G).

~

d8(T(F), T(G)) = sup

x?X

dH

[ N
i=1

öi(F(Si1

(x))),

N
i=1

öi(G(Si1(x))))

Proposition 4.3.5 Supposons que du(Si(x)) 6 si du(x) avec si > 0. Alors

dp(T(F),T(G)) 6 E

16i6N

!1/p

cp i si dp(F,G).

D'EMONSTRATION : Soient F, G ? F(X,Y )

)

dp(T(F),T(G)) = (.1 U öi(F(ST1(x))), U öi(G(ST1(x))) ) du(x)

16i6N 16i6N

X

Z max d (öi(F(Si1 (x))),öi(G(Si1(x))))p du(x)

X

?

6 ?

?1/p

?

?1/p

?

? Z

6 ?1maxN cP dH(F(Si1(x)), G(Si1(x)))p du(x)

X

Soit Mi c Si(X) defini par

Mi = {x E X : dH(F (S-1

i (x)), G(S-1

i (x))) dH(F (S-1

j (x)), G(S-1 j(x))) Vj}

L'ensemble Mi contient tous les points pour lesquels la i`eme image donne la plus grande distance de Hausdorff. Alors

?1/p

?

? dp(T(F),T (G)) 6 E cYidH (F (x)), G(S11(x)))p du(x)

16i6N Mi

Z

X cp dH ~F (S-1

i (x)), G(ST1(x)))p du(x)

i

16i6NSi(X)

?1/p

??

?

?

6 ?

?

6 ?

ZX cp i si dH(F(z), G(z))p du(z)

16i6N X

?1/p

?

E=

16i6N

!1/p

cp i si dp(F,G).

~

L'op'erateur «Somme» :

Avec les màemes donnees que dans l'operateur «Union». On definit T : T(X,Y ) -+ T(X, Y ) par

T(F)(x) := E

pi(x)öi(F(Si1 (x))) (4.37)

16i6N

avec la somme dependant de x o`u x E Si(X) et E

16i6N

pi(x) = 1.

Proposition 4.3.6 d8(T(F),T(G)) 6 sup E pi(x) ci) d8(F,G).

x?X 1`i`N

D'EMONSTRATION : Soient F, G E T(X, Y )

d8(T(F), T(G)) = sup

x?X

EdH

16i6N

X

pi(x)öi(F(Si1 (x))),

16i6N

pi(x)öi(G(Si1 (x))))

sup > pi(x) cidH(F (S-1

i (x)), G(S-1

i (x)))

x?X 16i6N

sup E pi(x) ci) d8(F, G).

~

x?X16i6N

Lemme 4.3.7 Soit ai E ,i = 1, . . . , N. Alors

~~~~~

X
16i6N

ai

~~~~~

6C(N)p E

16i6N

|ai| ,

avec C(N) = N(p-1)/p.

Proposition 4.3.8 Soient pi = supx pi(Si(x)) et si > 0 tel que du(Si(x)) 6 sidu(x). Alors

dp(T(F), T(G)) 6 C(N) E

i

!1/p

cp i sp i pp dp(F, G).

i

Pour la preuve voir [16].

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"Des chercheurs qui cherchent on en trouve, des chercheurs qui trouvent, on en cherche !"   Charles de Gaulle