Codage et transmission des données dans un réseau

I.2.2. Les systèmes de numération

Les systèmes de numération sont importants parce qu'ils permettent de préciser le domaine de définition dans lequel on travaille et de convertir une base donnée en une base dont le calcul est aisé à réaliser.

A. Addition binaire

Le tableau ci-dessous présente le bit somme et le bit de retenue dans l'addition binaire.

+		0 0		1 1
0
1	1		0(1)

Dans le tableau ci-haut, 0(1) représente la retenue 1 à reporter. En considérant une addition binaire comme la somme à effectuer sur deux mémoires à un bit, nous observons dans l'addition binaire les différentes configurations des bits concernés (notés a et b).

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Nous aurons comme résultat un bit de somme et un bit de retenue.

Bit a		Bit b		Bit somme	Bit de retenue
1	+	1	=	0	1
1	+	0	=	1	0
0	+	1	=	1	0
0	+	0	=	0	0

Si l'on compare avec les tables d'opérateurs booléens rencontrées précédemment, on s'aperçoit que l'opérateur ? (Xor) fournit en sortie les mêmes configurations que le bit somme, et que l'opérateur . (ET) délivre en sortie les mêmes configurations que le bit de retenue.

B. Conversion d'une base quelconque en base décimale

Pour convertir un nombre en base b avec b>1 en sa représentation décimale et réciproquement, il convient de respecter les méthodes générales suivantes :

Soit (xnxn-1...x0) b un nombre écrit en base b. Pour le convertir en décimal (base 10), il faut :

Convertir chaque symbole xk en son équivalent ak en base 10. On obtient ainsi la suite de chiffres : a_n a .

,...,

0

Réécrire le nombre comme une somme :

n n

k k

(xnxn-1...x0)b Î ? ? ?

x b a b

k k

k = 0 k = 0

Effectuer tous les calculs en base 10 (somme, produit, puissance).

Comme illustration, nous nous proposons de convertir (2AB8)13 en base 10.

Dans notre exemple, b = 13. Nous aurons donc l'expression suivante :

(2AB8)13 = 2.13³ + 10.13² + 11.13¹ + 8.13⁰ [avec A=10 et B =11]

= 4394 + 1690 + 143 + 8

= (6235)10

Le nombre (2AB8)13 donne (6235)10 en base 10.

Soit « a » un nombre écrit en décimal. Représenter le nombre a en base b :

La méthode utilisée est un algorithme fondé sur la division euclidienne.

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Si a < b, il n'a pas besoin d'être converti.

Si a = b, on peut diviser a par b et l'on divise successivement les différents quotients qk obtenues par la base b.

De manière générale, on aura :

k k - 1

a = b r b r

. + . + .... + . + ( Où ri est le reste de la division de a par b).
b r r

k k - 1 1 0

En remplaçant chaque ri par son symbole équivalent p i en base b, nous

obtenons :

a p p - p p = ( ... ) b. Cet algorithme permet d'obtenir une k k 1 1 0

représentation de a dans la base b.

On a par exemple que (89)10 = (1011001)2. En effet, pour transformer (89)10 en binaire, on peut utiliser la méthode des divisions successives par 2 : on divise successivement par 2 jusqu'à un résultat de 0, les restes successifs (de bas en haut) forment le nombre binaire.

89 : 2 = 44 reste 1

44 : 2 = 22 reste 0

22 : 2 = 11 reste 0

11 : 2 = 5 reste 1

5 : 2 = 2 reste 1

2 : 2 = 1 reste 0

1 : 2 = 0 reste 1

D'où (89)10 = (1011001)2

A l'inverse, (1011001)2 représente (89)10. En effet, on aura :

1x2⁶ + 0x2⁵ + 1x2⁴ + 1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1x2⁰

= 1x64 + 0x32 + 1x16 + 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1

= 64 + 16 + 8 + 1

= (89)10.

Les informaticiens, pour des raisons de commodité (manipulations minimales de symboles), préfèrent utiliser l'hexadécimal plutôt que le binaire. L'humain, contrairement à la machine, a quelques difficultés à fonctionner sur des suites importantes de 1 et de 0. Ainsi l'hexadécimal (sa base b =2⁴ étant une puissance de 2) permet de diviser, en moyenne le nombre de symboles par un peu moins de 4, par rapport au même nombre écrit en binaire. C'est l'unique raison pratique qui justifie son utilisation.

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