Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

2.4 Construction de la grille

Dans cette section, on présente un critère de choix pour la construction de la grrille _MN présentée dans la section précédente. Ce critère consiste à représenter les quantiles des variables prix sous-jacent et volatilité à l'aide de la simulation de Monte Carlo.

On rappelle que le modèle GARCH pour l'évaluation des options s'écrit comme suit :

St+1 ^lnSt

= r-

1 2

pHt+1 + Ht+1Et+1

Ht+1 = /3₀+/3₁Ht+/3₂Ht(Et-À-O)², (2.22)

Q

Et+1 j 1t ~ A/(0,1).

On remarque que les variables St et _Ht+1 dépendent respectivement des termes d'erreur Et

et _Et+1. Donc pour une trajectoire donnée n 2 {1, ..., N}, si on génèrer un échantillon de T
valeurs E1, ..., ET, On obtient un échantillon de valeurs de S1,
·
·
·ST et H2, ..., _HT+1 Donc, pour
un nombre de trajectoires assez grand, on peut représenter les quantiles des variables St et

Ht+1.

En d'autres termes, nous allons représenter le nombre de points St et _Ht+1 générés par la simulation pour chaque intervalle. Ainsi, nous pouvons distinguer les intervalles de prix et de volatilités selon leur fréquence.

FIG. 2.1: Distribution des prix de l'actif sous-jacent St

FIG. 2.2: Distribution des volatilités Ht+1

Dans les deux figures précédentes, on remarque que la distribution de ln(St) est celle d'une distribution normale et que la distribution de _Ht+1 suit celle d'une Khi deux. Ce résultat est prévisible puisque dans le modèle Garch, St dépend du terme d'erreur Et et _Ht+1 dépend du terme E 2 t avec Et suit la loi normale centrée réduite.

Le but de cette représentation est d'identifier les points {a0, a1, ..., aM} des prix et {d0, d1, ..., dN} des volatilités de la grille _MN présentée dans la section précédente.

En analysant la figure 2.1, on constate qu'on a une concentration de points au milieu plus qu'aux extrémités. De même, pour la figure 2.2, on note une concentration de points dans des parties plus que d'autres. Donc, choisir un pas constant pour les points de la grille ne serait pas un choix judicieux. En effet, plusieurs points importants seraient négligés et d'autres moins importants seraient retenus.

Ainsi, pour tenir compte des ces constatations, nous avons opté pour une grille logarithmique pour les deux distributions. En effet, avec une telle grille, nous aurons un pas assez petit dans la partie où il y a un maximum de points et un pas plus grand dans la partie où il y a moins de points. Le choix de cette grille conduit à un algorithme plus efficace et à une convergence plus rapide.