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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH


par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
Dans la categorie: Economie et Finance
   
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Chapitre 3

Résultats numériques

Dans cette partie, nous allons présenter les résultats des prix des options à barrière obtenus pour les deux approximations polynomiales présentées précédemment. Afin de montrer la convergence et l'efficacité de notre algorithme, on compare nos résultats avec d'autres établis avec l'approximation constante par morceaux et des intervalles de confiance construits à l'aide d'une simulation des méthodes Monte-Carlo de 200 000 trajectoires. On présente ainsi différents types de tableaux selon la nature de l'option à barrière (Call - Put, Européenne - Américaine, Knock In - Knock out, Down - Up)

3.1 Contexte informatique

Les résultats présentés dans les sections suivantes ont été réalisés sur un ordinateur cadencé à 3.8 GHz et dont la mémoire vive est de 1 Go de RAM sous le système d'exploitation Windows. Les algorithmes ont été écrits sous le langage C en utilisant la librairie GSL. Les codes ont été compilés à l'aide du logiciel GCC.

3.2 Données et hypothèses

Dans cette section, toutes les données et les hypothèses pour aboutir aux résultats sont regroupées. Les caractéristiques des options à barrière tarifiées par la programmation dynamique et présentées dans les tableaux suivants sont principalement :

- option d'achat (Call) et option de vente (Put);

- option européenne et américaine;

- sous-jacent : action;

- approximations:

- constante - constante avec volatilité de type NGARCH(1,1); - quadratique - linéaire avec volatilité de type NGARCH(1,1); - linéaire - linéaire avec volatilité de type HNGARCH(1,1).

A côté de la programmation dynamique, nous avons effectué une simulation Monte-Carlo pour la validation de nos résultats. Les principales caractéristiques de cette simulation sont principalement :

- nombre de trajectoires = 200 000;

- intervalles de confiance à 95% (I95%).

3.3 Résultats de l'approximation quadratique-linéaire

Dans cette section, nous allons présenter les résultats dans le modèle NGARCH, puisque le calcul de toutes les matrices de transition pour cette approximation a été fait dans ce modèle. Les paramètres du modèle NGARCH sont : 0 = 0.00001, /fJ 1 = 0.8, /2 = 0.1, O = 0.3, À = 0.2.

Les paramètres de l'option à barrière sont : r = 0.1 (annuel), K = 100 dollars et H1 = 1.0989 x 104. On assume le nombre de jours par année = 250.

Dans ces tableaux, on présente les résultats obtenus par l'approximation quadratique-linéaire dans la colonne (Quad - Lin). Nos résultats sont comparés dans la plupart des cas avec les valeurs obtenues de l'approximation constante - constante (Cste - Cste) et de la simulation des méthodes Monte Carlo.

Afin de justifier la rapidité et la précision de la convergence de notre méthode, deux critères sont présentés dans tous les tableaux :

- le CPU en secondes qui est le temps de calcul moyen de la valeur de l'option pour toutes les barrières à une grille de points bien déterminée;

- X2 MXN qui est le carré de la différence entre deux valeurs d'options obtenues pour deux grilles M x N consécutives pour l'approximation quadratique-linéaire. Les valeurs calculées pour X2 MXN sont données dans les tableaux à l'ordre de 105.

Les valeurs soulignées dans ces tableaux montrent bien la convergence des résultats. En effet, à chaque fois qu'on augmente les points M x N de la grille MN, on remarque bien que les prix donnés pas l'approximation quadratique-linéaire convergent plus rapidement vers l'inervalle de la simulation que les prix donnés par l'approximation constante-constante.

Les tableaux 3.1-3.6 regroupent les valeurs des options à barrière de type Knock-out. Une propriété des options désactivantes se retrouve dans ces tableaux. En effet, on remarque bien que la valeur de l'option Knock-out diminue à chaque fois que le prix de la barrière s'approche du prix de l'actif sous-jacent initial 80. Ce résultat est prévisible puisque dans le cas où le niveau de la barrière est loin du prix 80, la probabilité pour que l'option s'annule est petite ainsi elle coûte plus cher.

TAB. 3.1: Call Européen Down & Out

Barrière

85

93

M x N

Quad - Lin

Cste - Cste

X2 MXN

Quad - Lin

Cste - Cste

Xj.,IXN

CPU

25 * 25

4.2116

4.8610

****

4.0868

4.6439

****

1

31 * 31

4.2130

4.7395

0.196

4.0927

4.5399

3.481

2

35 * 35

4.2131

4.6409

0.001

4.0944

4.5058

0.289

3

41 * 41

4.2124

4.5267

0.049

4.0972

4.3811

0.784

5

45 * 45

4.2120

4.4866

0.016

4.0986

4.3936

0.196

7

51 * 51

4.2132

4.4272

0.144

4.1002

4.3082

0.256

9

75 * 25

4.2120

4.3252

0.144

4.1027

4.2142

0.625

8

93 * 31

4.2124

4.2910

0.016

4.1047

4.1846

0.4

15

105 * 35

4.2126

4.2618

0.004

4.1055

4.1539

0.064

21

123 * 41

4.2128

4.2539

0.004

4.1064

4.1470

0.081

32

135 * 45

4.2128

4.2501

0

4.1070

4.1466

0.036

40

153 * 51

4.2128

4.2343

0

4.1075

4.1296

0.025

46

 

Simulation

[4.1935 4.2389]

[4.0844 4.1300] 39

Dans le tableau 3.1 sont présentés les prix obtenus pour un Call européen de type Down & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 85 et 93: Les douze premiers CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la simulation.

Dans le tableau précédent, on remarque bien comment les prix obtenus par l'approximation quadratique-liéaire convergent rapidement. Cette conclusion est tirée à partir des critères suivants:

- comparaison avec l'approximation constante-constante et la simulation Monte-Carlo; - obtention d'un prix convergent à partir d'une petite discrétisation de la grille M x N; - obtention d'un résultat convergent en une seconde;

- convergence des prix vers une valeur exacte à chaque fois qu'on augmente la grille (diminution du X2 MXN).

TAB. 3.2: Call Européen Up & Out

Barrière

135

155

 

M x N

Quad - Lin

Cste - Cste

X2 MXN

Quad - Lin

Cste - Cste

X2 I,JXN

CPU

25 * 25

12.1177

11.8833

****

12.3676

12.6777

****

1

31 * 31

12.0727

12.0393

202.5

12.3671

12.6191

0.025

1

35 * 35

12.0745

11.8839

0.324

12.3644

12.5695

0.729

2

41 * 41

12.1014

11.9697

72.361

12.3676

12.5076

1.024

3

45 * 45

12.1002

12.0576

0.144

12.3641

12.4851

1.225

4

51 * 51

12.0870

12.0024

17.424

12.3677

12.4563

1.296

6

75 * 25

12.0992

12.0289

14.884

12.3675

12.3986

0.004

5

93 * 31

12.1050

12.0639

3.364

12.3673

12.3875

0.004

9

105 * 35

12.1032

12.0751

0.324

12.3672

12.3740

0.001

13

123 * 41

12.1077

12.0772

2.025

12.3671

12.3709

0.001

20

135 * 45

12.1057

12.0776

0.4

12.3667

12.3684

0.016

21

153 * 51

12.1044

12.0806

0.169

12.3667

12.3617

0

29

 

Simulation

[12.0592 12.1269]

[12.3314 12.4009]

36

Dans le tableau 3.2 sont présentés les prix obtenus pour un Call européen de type Up & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 110 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 135 et 155: Les douze premiers CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la simulation.

TAB. 3.3: Call Européen Double Knock Out

Barrière Haute

110

125

 

Barrière Basse

95

95

 

M x N

Quad - Lin

Cste - Cste

X2 MXN

Quad - Lin

Cste - Cste

X2 IXN

CPU

25 * 25

0.2202

1.3868

****

3.5464

3.5555

****

2

31 * 31

0.2163

0.3072

1.521

3.5533

3.5733

4.761

3

35 * 35

0.2159

0.5160

0.016

3.5433

2.0538

10

4

41 * 41

0.2153

0.0708

0.036

3.5514

2.4147

6.561

7

45 * 45

0.2145

0.3743

0.064

3.5579

2.6560

4.225

9

51 * 51

0.2123

0.1883

0.484

3.5639

4.1806

3.6

13

75 * 25

0.2108

0.2071

0.225

3.5908

3.0914

72.361

10

93 * 31

0.2074

0.1600

1.156

3.5844

3.2927

4.096

18

105 * 35

0.2062

0.2077

0.144

3.5881

3.4217

1.369

27

123 * 41

0.2059

0.1852

0.009

3.5949

3.4909

4.624

42

135 * 45

0.2057

0.1928

0.004

3.5932

3.4437

0.289

54

153 * 51

0.2056

0.1835

0.001

3.5930

3.4887

0.004

60

 

Simulation

[0.1983 0.2175]

[3.5423 3.6055]

80

Dans le tableau 3.3 sont présentés les prix obtenus pour un Call européen de type Double Knock out. En d'autres termes, cette option est conditionnée par deux barrières limites. Ainsi, si le prix du sous-jacent franchit l'une de ces barrières à la hausse ou à la baisse, l'option s'annule. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 125 jours. On prend pour cette évaluation le niveau bas de la barrière toujours égal à 95 et pour le niveau supérieur, on prend deux valeurs de barrières 110 et 125: Les douze premiers CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la simulation.

TAB. 3.4: Put Européen Down & Out

Barrière

85

93

97

 

M x N

Quad - Lin

X2 MXN

Quad - Lin

X2 MXN

Quad - Lin

X2 MXN

CPU

25 * 25

1.5616

 

****

0.3631

 

****

0.0293

 

****

1

31 * 31

1.5780

 

26.896

0.3682

 

2.601

0.0303

 

0.1

2

35 * 35

1.5783

 

0.009

0.3677

 

0.025

0.0311

 

0.064

2

41 * 41

1.5802

 

0.361

0.3773

 

9.216

0.0318

 

0.049

3

45 * 45

1.5876

 

5.476

0.3805

 

1.024

0.0321

 

0.009

4

51 * 51

1.5978

 

10.404

0.3839

 

1.156

0.0334

 

0.169

7

75 * 25

1.6006

 

0.784

0.3917

 

6.084

0.0338

 

0.016

5

93 * 31

1.6093

 

7.569

0.3958

 

1.681

0.0340

 

0.004

10

105 * 35

1.6144

 

2.601

0.3962

 

0.016

0.0350

 

0.1

14

123 * 41

1.6163

 

0.361

0.3987

 

0.625

0.0355

 

0.025

21

135 * 45

1.6177

 

0.196

0.3985

 

0.004

0.0353

 

0.004

27

153 * 51

1.6187

 

0.1

0.3989

 

0.016

0.0359

 

0.036

27

 
 
 
 

Simulation

[1.5549

1.6213]

[0.3600

0.4102]

[0.0300

0.0378]

35

Dans le tableau 3.4 sont présentés les prix obtenus pour un Put européen de type Down & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour trois valeurs de barrières 85; 93 et 97: Les douze premiers CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier est celui de la simulation.

TAB. 3.5: Put Américain Down & Out

Barrière

85

93

 

M x N

Quad - Lin

Cste - Cste

X2 MXN

Quad - Lin

Cste - Cste

X2 MXN

CPU

25 * 25

3.4328

4.1086

****

3.0089

3.4670

****

1

31 * 31

3.4328

4.6099

0

2.9952

3.4738

18.769

3

35 * 35

3.4327

4.5704

0.001

2.9850

3.2675

10.404

4

41 * 41

3.4326

4.3984

0.001

2.9705

3.4076

21.025

6

45 * 45

3.4323

4.3169

0.009

2.9617

3.3579

7.744

7

51 * 51

3.4325

4.1571

0.004

2.9484

3.2511

17.689

11

75 * 25

3.4310

3.7887

0.225

2.9288

3.0914

38.416

8

93 * 31

3.4310

3.7013

0

2.9223

3.0428

4.225

18

105 * 35

3.4309

3.6421

0.001

2.9165

3.0247

3.364

25

123 * 41

3.4307

3.5721

0.004

2.9149

2.9876

0.256

41

135 * 45

3.4305

3.5362

0.004

2.9139

2.9674

0.1

53

153 * 51

3.4304

3.5116

0.001

2.9136

2.9496

0.009

65

Dans le tableau 3.5 sont présentés les prix obtenus pour un Put américain de type Down & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 125 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 85 et 93: Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. On ne présente pas de simuation dans ce tableau. En effet, la simulation des options américaines avec les méthodes Monte-Carlo présente quelques difficultés.

TAB. 3.6: Put Européen Up & Out

Barrière

115

135

 

M x N

Quad - Lin

X2 MXN

Quad - Lin

X2 MXN

CPU

25 * 25

0.3497

****

0.3885

****

1

31 * 31

0.3585

7.744

0.3887

0.004

2

35 * 35

0.3567

0.324

0.3881

0.036

3

41 * 41

0.3570

0.009

0.3875

0.036

5

45 * 45

0.3568

0.004

0.3879

0.016

6

51 * 51

0.3551

0.289

0.3880

0.001

9

75 * 25

0.3557

0.036

0.3881

0.001

7

93 * 31

0.3560

0.009

0.3873

0.064

14

105 * 35

0.3558

0.004

0.3877

0.016

20

123 * 41

0.3558

0

0.3876

0.001

33

135 * 45

0.3559

0.001

0.3876

0

38

153 * 51

0.3559

0

0.3874

0.004

41

 

Simulation

[0.3491 0.3643]

[0.3814 0.3973]

36

Dans le tableau 3.6 sont présentés les prix obtenus pour un Put européen de type Up & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 110 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 115 et 135: Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de la simulation.

Dans les tableaux suivants, on reporte les prix calculés des options à barrière de type Knockin. Contrairement aux options de type Knock-out, on constate que le prix de l'option activante est plus cher quand la barrière est proche de 80. Ceci vient du fait que la probabilité pour que l'option à barrière Down&In ou Up&In soit activée est plus élevée quand le prix de la barrière est voisin de 80.

Un autre cas particulier qu'on doit remarquer est que si à la date t = 0, le prix 80 franchit déjà la barrière, l'option Knock-in est alors activée et sa valeur est la plus élevée et est égale à la valeur d'une option vanille.

TAB. 3.7: Put Européen Down & In

Barrière

90

95

110

 

M x N

Quad - Lin

X2 MXN

Quad - Lin

X2 MXN

Quad - Lin

X2 MXN

CPU

25 * 25

1.0802

****

1.9906

 

****

2.2342

 

****

1

31 * 31

1.0541

68.121

1.9697

 

43.681

2.2356

 

0.196

2

35 * 35

0.9940

361.201

1.9730

 

1.089

2.2356

 

0

4

41 * 41

0.9873

4.489

1.9526

 

41.616

2.2348

 

0.064

5

45 * 45

0.9838

1.225

1.9495

 

0.961

2.2344

 

0.016

7

51 * 51

0.9797

1.681

1.9464

 

0.961

2.2355

 

0.121

12

75 * 25

0.9690

11.449

1.9358

 

11.236

2.2342

 

0.169

10

93 * 31

0.9652

1.444

1.9299

 

3.481

2.2346

 

0.016

16

105 * 35

0.9648

0.016

1.9293

 

0.036

2.2347

 

0.001

24

123 * 41

0.9639

0.081

1.9285

 

0.064

2.2349

 

0.004

36

135 * 45

0.9635

0.016

1.9283

 

0.004

2.2349

 

0

50

153 * 51

0.9631

0.016

1.9277

 

0.036

2.2349

 

0

62

 
 
 

Simulation

[0.9448 1.0156]

[1.9113

1.9854]

[2.2214

2.2574]

32

Dans le tableau 3.7 sont présentés les prix obtenus pour un Put européen de type Down & In. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour trois valeurs de barrières. deux valeurs 90 et 95 en-dessous du prix initial de l'action et une valeur égale à 110 au-dessus de 80. Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de la simulation.

TAB. 3.8: Call Européen Up & In

Barrière

95

105

110

 

M x N

Quad - Lin

X2 MXN

Quad - Lin

 

X2 MXN

Quad - Lin

X2 MXN

CPU

25 * 25

4.2144

 

****

3.5462

 

****

2.1706

 

****

1

31 * 31

4.2157

 

0.169

3.6135

 

452.929

2.1502

 

41.616

4

35 * 35

4.2158

 

0.001

3.6280

 

21.025

2.1022

 

230.4

5

41 * 41

4.2149

 

0.081

3.5824

 

207.936

2.1452

 

184.9

7

45 * 45

4.2145

 

0.016

3.6038

 

45.796

2.1437

 

0.225

9

51 * 51

4.2156

 

0.121

3.6230

 

36.864

2.1225

 

44.944

14

75 * 25

4.2143

 

0.169

3.5857

 

139.129

2.1167

 

3.364

12

93 * 31

4.2147

 

0.016

3.5788

 

4.761

2.1070

 

9.409

21

105 * 35

4.2148

 

0.001

3.5866

 

6.084

2.1308

 

56.644

30

123 * 41

4.2150

 

0.004

3.6066

 

40

2.1296

 

0.144

47

135 * 45

4.2150

 

0

3.6094

 

0.784

2.1239

 

3.249

63

153 * 51

4.2150

 

0

3.6030

 

4.096

2.1211

 

0.784

80

 
 
 
 

Simulation

[4.1923

4.2377]

[3.5748

3.6316]

[2.0934

2.1518]

34

Dans le tableau 3.8 sont présentés les prix obtenus pour un Call européen de type Up & In. Le prix initial de l'action est 80 = 100 et la maturité de l'option est T = 50 jours. On évalue cette option pour trois valeurs de barrières. deux valeurs 105 et 110 au-dessus du prix initial de l'action et une valeur égale à 95 en-dessous de 80. Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation quadratique-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de la simulation.

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