Modélisation et simulation d'un robot mobile sur roues avec le logiciel Matlab/Simulink

ANNEXES

Annexes1 : Les différents scripts

Annexes 2 : Théorèmes généraux appliqués au robot dans la base fixe

1. Théorème de la résultante cinétique

Roue 1

Ce théorème, appliqué à la roue 1, avec l'expression (5), donne :

d ? ?

? [ ] ? [ ] ?

m . . (cos . 1 sin . 1 ) (

R è^& á x + á y R R

= + ) sin (

á - + ) cos . 1 (

R R á x R R

- + ) sin (

á + R R

+ ) cos . 1 (

á y R R m g z

+ + - . ) . 1 (169)

1 2 5 1 4 1 4 2 5 3 6

dt

Soit, en le projetant sur différents axes:

m R

. . ( 1 . cos

è & & á è & á & á

- 1 . . sin ) sin ( 2 5) cos ( 1 4)

= á R R

+ - á R R

+ (170)

m R

. . ( 1 . sin

è & & á è & á & á

+ 1 . . cos ) sin ( 1 4) cos ( 2 5)

= - á R R

+ - á R R

+ (171)

R 3 + R6=m.g (172)

Châssis

Appliqué au châssis, il donne :

M R

.

2
M R

.

2

. ( . cos

[ è á è á á è á è á á

& & - & &

. . sin ) ( . cos

+ & & - & &

. . sin ) ] cos (

= á R R

- ) sin (

+ á R R

- ) (173)

1 1 3 3 4 9 10 5

. ( . sin

[ è á è á á è á è á á

& & + & &

. . cos ) ( . sin

+ & & + & &

. . cos ) ] sin (

= á R R

- ) cos (

+ á R R

- ) (174)

1 1 3 3 4 9 5 10

R ₁₁ + R₁₄ -R₆ =M.g (175)

Roue 3

d

Appliqué à la roue 3, il donne :

? ?

? [ ] ? [

. . (cos . 1 sin . 1 ) ] ?

m è&

R á x + á y = - R sin (

á + R R ) cos . 1 (

- á x R R

+ - ) sin á + R cos . 1 (

á y R R m g z

+ - - . ) . 1 (176)

3 1 1 10 9 15 9 15 10 16 11

dt

Et sur les différents axes, on a :

(177)

m R

. . ( . cos

è & & á è & á & á

- . . sin ) = - R . sin cos (

á + á R R

- )

3 3 10 9 15

m R

. . ( . sin

è á è á á

& & + & &

. . cos ) sin (

= á R R

- ) . cos

+ R

3 3 9 15 10

á (178)

R 16 - R₁₁ =m.g (179)

1. Théorème du moment cinétique

Roue 1

? ? mR

2

? ?

Et :

d

.

dt

MC G 1 = 4 (-2 è ₁ sin á . 1 x+ 2è ₁ cos á .1y+ (1.1 z ) (180)

MC O 1 = - mR ² [

2( 01 sin á + 01 .ci . cos á) .1 x+ 2( è ₁ cos á - è1.a. sin á) .1 y+ 4.1 91 (181)

4

Le moment des forces extérieures, dans la base fixe (x, y, z), est :

?

?

?

??

(182)

? 0 ? ? R á R á ? - R -

2 . sin - ?- ? . sin ? . cos á

1 . cos á ? r R

. sin ? á - R . cos á C . sin á

5 4 7 1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Mext = 0 ? - R . sin á - R . cos á + r . cos á ? - R á - R á + C á - á

1 ? ? ? 1 2 ? ? ? ? 5 . cos 4 . sin ? ? 1 . cos R ₇ . sin

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? - R ? ? R 3 ? ? 0 ? ? R 6 ? R8

Soit :

?

? ? ? ??

Mext

1

=

)

? ? ? ? ?

(x, y ,

z

)

(183)

-

sin

á(R1 .R + C1) + cos á(R6

. r - R2. R - R7

sin

)

á( .

R r R R R

- - á

6 2 . 7 ) cos ( .

+ +

R R C

1 1

R₄ .r + R₈

Partant des expressions (87) et (89), le théorème du moment cinétique, projeté sur différents axes, s'écrit :

mR 2

(ei sin a +O1 ti cosa)= sin a(R R+C)+ cosá(R ₇ + R₂ .R - R₆ .r) (184)

1 - - 1^- 1

2

mR

(o1 . cosá - d1. ci. sin á)= sin á(R₆ .r - R₂ .R - R₇ ) + cos á(R₁ .R + C₁) (185)

2

2

mR

4 ift = R ₈ + R₄.r (186)

2

Chassis

Pour le châssis :

d ? M(c ^2 + d2) ? ei.1 . dt MCG 2 = 12

z (187)

Le moment des forces extérieures appliquées au châssis dans la base fixe (x, y, z), sera :

? ? ?

? ?

? ^fsin á

2 e. cos á r

COSa R₅

. sinal / 0 1

. - f sin á

2 e .cosá^?

R 4

á - R₁₂ ) . cos á

Mext 2 r [R14 b?R 11 R10 .sin

₂ = - COS a - e.sin a A [R₄ . sin a + R₅.cosa+ 0 ? 0 + cos á - e .sin á ? [ - R 10

2

- R 6 - b

2?

₁₀.cos á - R 9

.sin á + (R R - R₈

- R₁₂ ) . sin á

b

?? f R9 . COS a 1 (R_1:

i ? ?2 ??

Ou bien :

sin á.

?
??

á.

+

?
??

+ cos

l. R14

( R₆

? ? ? ? ? ? ? ? ?

?
??

?
??

(189)

2

b +(R 11 - R₆ ). e-R14

b

(R 10 - R5). 2 + R₇ -

.l

( R 4 - R₉ ).

R12

^f+

2

).

R11

? b

- + .( - ) +

6 11 9 4

?? e R R

. ( ) R R

2

.

?
??

? ?? f b ?

Mext = ? sin . (

á + + ( - ). + - + á

2 cos

6 11 10 5 7 12

?? R R R R

). R R

2 2 ??

?

( ). e + (R ₉ + R₄).

R 13 - R₈

^f+

2

R 10 - R ₅

Partant des expressions (187) et (189), le théorème du moment cinétique fournit les équations suivantes, après projection sur différents axes :

sin á .P. (R 6 - R₁₁ ) + b 2 .(R 9 - R ₄ ) + LR14 ^-1¹, + cosá .[(R ₆ + R ₁₁ ).^f + (R 10 - R₅ ).^b + R 7 - R 12^-1¹.= 0 (190)

J 2 2

cos á .Le . (R 11 - R₆ ) + b 2 .(R 4 - R ₉ ) - l.R14 1+ sin á . (R ₆ + R ₁₁ ).^f + (R 10 - R₅ ).^b + R 7 - R 12^-1¹,= 0 (191)

2 2 J

M ( c ^2 + d2) á&& = 2 f 12 (R 4 + R 9) + e.(R 10 - R 5) + R 13 -R

8 (192)

Roue 3

Comme pour la roue 1, on aura :

? 0 ? ? - R . cos á ? ? r . sin á ? ? - R á R á ? ? - 10 . sin + á C á 15 12 . cos 3 . sin 9 . cos R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Mext 3 = 0 ? - R . sin á + - r . cos á ? R á + R á + C á + R ? ? ? 15 ? ? ? ? 10 . cos 9 . sin ? ? 3 . cos 12 . sin á ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? R - ? ? R ? ? 0 ? ? - R ? - R 16 11 13				? ? ? ??
Et :	mR	2

(193)

(è

. sin á + è^&

h. cos á) = - sin á ( R

₃

₃

₁₅

₃

12

2

.R + C

) + cos á(R + R₁₁ .r) (194)

mR

03 . cos á - è^&₁ .(i . sin á) = sin _á(R11 .r + R₁₂ ) + cos á( R₁₅ .R + C₃) (195)

2

2

mR 2

4

á&& = R₉. r - R₁₃ (196)

Et le système S2 obtenu dans la base fixe, d'équations :

m . R. ( è1 . cosá - è^&1 . ci. sin á)= sin á(R 2 + R5) - cosá(R 1 + R4) (197)

m . R. ( è^&&1 . sin á + è^&1 . et . cos á) = - sin á (R 1 + R4) - cos á(R 2 + R5) (198)

R 3 + R6 = m.g (199)

M .R
2

M .R
2

.[ ( è ₁ . cosá - d₁ rit. sin á )+( è ₃ . cosá -d₃ .6t. sin á)] = cosá(R 4 - R₉ ) + sin á(R 10 - R₅)

(200)

IA . sin á + d₁ rit. cos á )+ ( è ₃ . sin á +d₃ .6t. cos á)] = sin á(R 4 - R₉ ) + cos á(R 5 - R10)

(201) R ₁₁ + R₁₄ - R₆ = M.g (202)

m . R. ( è₃ . cosá - è^&₃ h. sin á)=- R₁₀ . sin á + cosá(R 9 - R₁₅) (203)

m . R. ( ij ₃ . sin á + d3 .d. cos á)= sin á(R 9 - R₁₅ ) + R ₁₀ . cos á (204)

R 16 - R₁₁ = m.g (205)

mR 2

è^&&

in á

è^&

.ci. cos á)= sin á (

+

)+ cosá (

2

₍

₁ . s

+

₁

R₁

.

R

C ₁

R ₇

R₂ .

R

R₆

+

-

.r) (206)

mR

è^&&1 . cos á - th. ci. sin á)= sin á(R₆ .r - R₂ .R - R₇ ) + cos á(R₁ .R +C)₁ (207)

2

2

(

mR

ii = R ₈ + R ₄.r (208)

4

2

sin á.Le . (R 6 - R₁₁ )+^b .(R 9 - R ₄ ) + l.R14 ?,+ cosá .[(R ₆ + R ₁₁ ). 2 f + (R 10 - R₅ ). b 2 + R 7 - R 12 ? L_I= 0 2 J

(209)

? ?

cos á.p. (R 11 - R₆ ) + b .(R 4 - R ₉ ) - l.R14 l_i+ sin á .[(R ₆ + R ₁₁ ). 2 f + (R 10 - R₅ ). 2 b + R 7 - R _12??= 0

2 J

(210)

M ( c ^2 + d2) && = 2 f 12 á - (4 + R 9) + e.(R 10 - R 5) + R 13 -R

8 (211)

mR 2

(è^&&

. sin á + è

.á&. cos á) =- sin á( R

. R+ C

)+ cosá(R

₃

₃

₁₅

₃

₁₂

₁₁

2

+ R

.r) (212)

mR 2

(

è

cos á - è^&

h. sin á)= sin _á(R

₃

₁

₁₁

12 15

2

.r + R ) + cos á( R. R+ C₃ ) (213)

mR 2

4

á& & = R r R

- (214)

9 . 13

On peut constater que les deux systèmes, projetés sur les axes fixes sont équivalents, mais celui exprimé dans les axes mobiles est plus simple.