Modélisation spatiale hiérarchique bayésienne de l'apparentement génétique et de l'héritabilité en milieu naturel à l'aide de marqueurs moléculaires

1.3 Modèle lorsque plus de deux génotypes sont observés

Considérons maintenant que n génotypes sont observés et que les fréquences alléliques dans la population sont connues. Nous avons ⁿ⁽⁷¹⁾ couples de génotypes. Dans la suite du chapitre, l'unité statistique, très fréquemment utilisé, sera le couple et c = 1, . . . , C désignera l'indice du couple parmis les n(n - 1)/2 = C couples disponibles. Ainsi si c = 1 le couple considéré est le couple (1, 2) si c = C le couple considéré est le couple (n - 1, n).

Considérons tout d'abord le cas où les observations portent sur le génotype à un locus. Soient IBS_c le mode d'IBS en un locus du couple c, IBD_c le mode d'IBD du couple, Ä_c le vecteur des probabilités d'IBD du couple c. Nous avons déjà vu que

9

L (Äc; IBSc) =			X i=1		P (IBSj,c|IBDi,c) Äi,c, où j ? {1, . . . , 9}.
L(Ä; IBS) =	11^C c=1	11^L l=1		9 X i=1		P (IBS^lj,c|IBDi,c) Äi,c où j ? {1, . . . , 9}.

En notant, A le vecteur des probabilité d'IBD entre tous les couples, une généralisation directe consisterait à considérer l'ensemble des couples simultanément. Mais cela conduirait à évaluer la probabilité suivante

P (IBS1, IBS2, . . . , IBSC|IBD) (1.2)

où IBD est le vecteur des modes d'identité par descendance de l'ensemble des couples. Mais la difficulté réside dans le fait que cette probabilité n'a généralement pas une expression connue. D'autres solutions doivent être envisagées. Ainsi, en notant IBS^l_c le mode d'IBS au locus l du couple c; le modèle de Milligan pour C = n(n - 1)/2 couples est donné par

sont indépendants. Le problème posé par ce modèle vient du fait que les couples de génotypes ne sont pas indépendants et donc la vraisemblance de Ä ne correspond pas simplement au produit des vraisemblances de ses composantes Ä_c, c = 1, . . . , C. Mais cette solution qui consiste à employer le modèle de Milligan pour C couples et à considérer le produit des vraisemblances des vecteurs des probabilités d'IBD des allèles de chacun des couples d'individus s'insère, comme nous le verrons dans la suite, dans le cadre théorique du modèle de la vraisemblance composite par paires.

1.3.1 La vraisemblance composite

Les méthodes par vraisemblance sont largement utilisées en inférence statistique paramétrique en raison des bonnes propriétés asymptotiques de l'estimateur du maximum de vraisemblance. Cependant, dans certains cas, il est difficile d'écrire ou de calculer la vraisemblance. En effet, dans certaines applications, la fonction de vraisemblance ne peut être calculée à cause de la présence d'un important volume de données corrélées ou d'un modèle statistique avec une structure fortement hiérarchique. Une manière de contourner ces difficultés est de remplacer la vraisemblance par une fonction paramétrique plus facile à déterminer et c'est l'objet de la vraisemblance composite qui permet de réduire la complexité numérique des procédures d'optimisation même en présence de données fortement corrélées ou d'un modèle à structure hiérarchique (Varin et Vidoni, 2005). La méthode de la vraisemblance composite qui appartient à une classe plus large de modèles, qui est celle de la pseudo-vraisemblance, consiste à calculer l'expression d'une combinaison de vraisemblances relatives à une petite partie des données (Lindsay, 1988). Le terme de pseudo-vraisemblance a été initialement introduit par Besag (1974) et Lindsay (1988) a préféré plutôt employer le terme vraisemblance composite en justifiant son choix par le fait que ce nom décrit mieux la méthode de construction considérée. L'idée de la vraisemblance composite est de ne s'intéresser qu'à une partie de la vraisemblance complète. En effet, nous pouvons décomposer, pour un modèle paramétrique, la vraisemblance complète en un produit de vraisemblances et ne considérer pour l'inférence statistique qu'une partie de ces vraisemblances qui est relativement plus simple à calculer. La définition générale de la vraisemblance composite est donnée par Varin et Vidoni (2005).

Definition 2 Soit {f(Y ; ö), Y E 3), ö E Ö} un modèle statistique paramé-
trique avec 3) c Rⁿ, Ö c R^d, n = 1 et d = 1. Considérons un ensemble
d'événements {A : A E F, i E I} of F est une u-algèbre de 3) et I c N.

Une vraisemblance composite est définie par:

Lcl( ; Y ) = _fi f(Y E Ai; )^w%,

i?I

avec f(Y E Ai;è) = f({Yj E Y : Yj E Ai}; ), où Y = (Y1,Y2,...,Y_n) et {wi,i E I} est un ensemble de pondérations appropriées. La log-vraisemblance composite associée est £cl( ; Y ) = log Lcl( ; Y ).

Une vraisemblance composite est un produit pondéré de vraisemblances relatives à un ensemble d'événements mesurables. La densité f(Y ; ) considérée dans cette définition peut, en effet, être vu comme une densité conditionnelle ou une densité marginale et chaque composante de la vraisemblance composite est proportionnelle à une densité conditionnelle ou marginale. En particulier, le modèle de la vraisemblance standard peut être vue comme un cas particulier du modèle de la vraisemblance composite : en effet, pour un ensemble d'événements indépendants, l'expression de la vraisemblance standard est exactement égale à celle de la vraisemblance composite avec des poids égaux à 1

Nous noterons, par la suite la fonction, de densité de probabilité d'une variable aléatoire Y par fY (Y ; ) où un vecteur de paramètres. Supposons que Y s'écrive comme Y = (Y1, Y2) ainsi que = ( 1, 2). La vraisemblance complète est égale à :

L( ; Y ) = fY1(Y1; )fY2|Y1(Y2; |Y1), (1.3)

et la log-vraisemblance complète £( ; y) = log{fY (Y ; )} est donnée par :
	£( ; Y ) =	log{fY2|Y1(Y2; |Y1)} + log{fY1(Y1;	)}	(1.4)
	=	£C( ;Y1) + £M( ;Y2)		(1.5)
où £C(	; Y1) est dénommée log-vraisemblance conditionnelle et £M(			; Y2) log-

vraisemblance marginale.

Les méthodes d'estimation par maximum de vraisemblance composite peuvent être réparties en 2 classes différentes : les méthodes de vraisemblance composite par omission et celles de la vraisemblance composite par sélection.

La vraisemblance composite par omission Elle consiste à négliger les termes qui rendent délicat le calcul de la vraisemblance complète. La vraisemblance composite par omission revient à négliger la vraisemblance marginale dans l'expression de la vraisemblance complète (équation 1.3). Ainsi, il s'agit içi d'omettre certaines composantes de la vraisemblance complète, en l'occurrence les vraisemblances marginales, pour ne retenir que les vraisemblances

conditionnelles. Nous pouvons citer parmi les modèles de vraisemblance composite obtenus par omission :

- le modèle de la pseudo-vraisemblance de Besag (1974) appliqué à l'analyse de données spatiales (produit des distributions conditionnelles d'un vecteur aléatoire Yi sachant tous les autres points voisins)

L_cl(ö; y) = ₁₁ⁿ fYi|Y(-i)(Yi; ö|Y(-i))^ùi,

i=1

oil _Y(-i) est le vecteur des observations sans sa i^ème composante et ùi = 0 ;

- la vraisemblance partielle de Cox (1975) ; considérons un vecteur aléatoire Y transformé en une séquence

(X1, S1,. . . , X_m, S_m), la vraisemblance peut s'écrire :

m m

L_cl(ö;Y ) = ₁₁ fXi|X(ⁱ-¹),S(ⁱ-¹)(Xi; ö|X(i-1), S(i-1)) ₁₁ fSi|X(ⁱ),S(ⁱ-¹)(Sj; ö|X(i), S(i-1))

i=1 i=1

oil X⁽ⁱ⁾ = (X1, . . . , Xi), S⁽ⁱ⁾ = (S1, . . . , Si) et m un réel ; le second membre du produit est appelé la vraisemblance partielle basée sur S dans la séquence {Xi, Si} ;

- la vraisemblance d'ordre m de (Azzalini, 1983) donnée par

Lcl(ö; Y ) = fY1(Y1; ö)

11^n i=2

fYi|Y i-1 i-1 (Yi; ö|Y i-1 i-m),

oil Y i-1

i-m= (Yi-m, . . . , Yi-1) et m ? {1, . . . , n - 1}; la log-vraisemblance

est dans ce cas approchée par une somme de log-vraisemblances conditionnelles aux m dernières observations.

Ces différents exemples ont en commun le fait de considérer les lois conditionnelles afin d'éliminer le facteur à l'origine de la complexité des expressions de la vraisemblance. La vraisemblance partielle de Cox (1975) est très utile lorsque son expression est beaucoup plus simple que celle de la vraisemblance complète, ce qui est le cas par exemple quand elle n'est fonction que du paramètre d'intérêt et non du paramètre de nuisance.

La vraisemblance composite par sélection La vraisemblance compo-
site par sélection consiste à construire les lois marginales d'un sous-ensemble

d'observations. Il peut s'agir par exemple d'écrire le produit des lois marginales (la vraisemblance simple, singlewise likelihood), le produit des lois jointes des couples (vraisemblance par paires, pairwise likelihood) ou le produit des lois des triplets d'observations (vraisemblance par triplet, tripletwise likelihood) qui sont basées respectivement sur les événements marginaux, des couples et des triplets d'observations. Nous aurons ainsi pour n observations

y1,...,y_n :

- la vraisemblance par paires L_cl(ö; Y ) = ₁₁ⁿ fYi,Yj(Yi, Yj; ö)^ùij

i>j=1

- la vraisemblance par triplet Lcl(ö;Y) = 11 i>j>k=1

fYi,Yj,Yk(Yi,Yj,Yk;ö)^ùijk

oil _(ùij) et _(ùijk) sont des systèmes de pondération, positifs ou nuls. Aussi, il est possible de considérer par exemple une combinaison de la vraisemblance par paires et de vraisemblance simple ; ce qui correspondrait à la méthode de la pseudo-vraisemblance de Cox et Reid (2004).

La log-vraisemblance composite,t_cl(ö; Y ), est donc une somme de logvraisemblances d'événements conditionnels ou marginaux qui peuvent être calculées (Lindsay, 1988).

Estimation des paramètres du modèle En reprenant les notations de la définition 2, l'estimateur du maximum de vraisemblance composite est défini par :

^àöcl = argmax öEÖ

`cl(ö; Y )

et est solution de l'équation :

Vecl(ö; Y ) = E ùiV log{f(y ? Ai; ö)} = 0,

iEI

^àöcl

appelée, fonction score composite

De plus, Varin et Vidoni (2005) démontrent le théorème suivant :

Théorème 1 L'estimateur du maximum de la vraisemblance composite du paramètre ö est consistant, a une distribution asymptotique gaussienne de moyenne ö et de matrice de variance-covariance H(ö)^-1J(ö)[H(ö)^-1]¹ :

^àöcl ?N{ö, H(ö)^-1J(ö)[H(ö)^-1]¹},

L

avec H(ö) = Ef(y;ö0){V²tcl(ö; y)}, J(ö) = V{Vi_cl(ö; y)} et où ö0, le vrai paramètre, appartient à l'intérieur de Ö.