Analyse des séries chronologiques. les modèles ARCH et GARCH

1.3.3 Le processus d'innovation

Nous introduisons un concept d'innovation adapte a l'analyse des dynamiques non linéaires. L'innovation d'un processus stochastique Xt sont habituellement définies comme

1. Les erreurs représentent comme différence entre la valeur prévu et réalisé

Et = Xt - E (Xt/It-1)

est une innovation au sens forte. On peut dire que Et est un bruit blanc si E (Et) = a² et "orthogonal" a toute fonction du

passé de It1

E (Et/It-1) = 0;

2. Le carré des erreurs représentent comme différence entre la valeur réalisée et la variance conditionnelle

E²_t = Xt - V (XvIt-1) ;

3. Le carré des erreurs normalisées définie

2 (Xt - E (Xt/It_1))

,VV (Xt/It-1) .

E_t =

1.3.4 Modèle linéaire

Définition 1.3.4 Un processus _(Xt)tEZest un processus linéaire (resp linéaire général)de moyenne s'il s'écrit sous la forme:

xt = , + _X1 k"t--k

k=oo

oh _{"t}tEZ est un bruit blanc fort (resp faible) avec variance cr² et oh la suite des coefficients _k est supposé telle que : P1 k=QQ 2 k < oc.

1.3.5 Opérateur de retard L

L'opérateur L décale le processus d'une unité de temps vers le passé

LX = Xt~i

Propriétés

1. Si on applique h foie cet opérateur, on décale le processus de h unité de temps :

L(L(...LXt...)) = L^'Xt = Xt_h.

2. Si Xt = c,Vt E Z avec c E R,LⁱXt = Lⁱc = c,Vi E Z.

3. Si a < 1

(1 - ~L)1Xt= xt

(1 - aL)= uim

j--+oo (1 + ~L + ~²L²+::: + ~^jL^j)X _t:

Cette derniêre propriété est particuliêrement utile pour inverser des polynômes d'ordre 1 définis en l'opérateur de retard.

1.3.6 Modèle ARMA

Les modèles ARMA s'appuient principalement sur deux principes mis en évidence par Yule et Slutsky, le principe autorégressif et moyenne mobile.

Puis en 1970, leur application a l'analyse et a la prédiction des séries temporelle fut généralisés Box et Jenkins en combinant les deux principes ARMA ils montrèrent que ce processus pouvait s'appliquer a de nombreux domaines et était facile a implémenter.

Modèle AR

Un processus autorégressif est un processus dont chaque valeur est décrite comme une combinaison linéaire des valeurs précédentes plus une composante aléatoire qu'on appelle un <<choc>> . Le nombre de valeurs précédentes considérées est appelé <<ordre>> du processus.

Definition 1.3.5 Le processus {Xt, t N (ou Z)}satisfait l'équation générale d'un processus AR d'ordre P :

Xt = 8 + X p cbjXt--j + "t (1.1)

j=1

Definition 1.3.6 ot

8 : le coefficient d'accroissement; çbj : les coefficients d'autorégressifs;

"t : un choc bruit blanc indépendant.

Modèle MA

Chaque valeur est décrite par une composante d'erreur aléatoire et une combinaison linéaire des erreurs aléatoires associées aux valeurs précédentes. De même, l'ordre du processus est défini par le nombre d'erreurs précédentes prises, en considération.

Definition 1.3.7 Le processus {Xt, t N (ou Z)}satisfait l'équation générale d'un processus MA d'ordre q :

Xt = ~ - X q j"t--j + "t (1.2)

j=1

Definition 1.3.8 ot

j : les coefficients de moyenne mobile.

"t--j : les chocs ou le processus purement aléatoire.

Modèle mixte

Le modèle linéaire le plus courant est le modèle ARMA qui combine simplement les deux principes AR et MA.

Définition 1.3.9 Le processus {Xt, t N (ou Z)} admet l'équation générale suivante qui définit un modéle ARMA(p, q)

Xt = , + X p cbj Xt_3 - X q j t_3 (1.3)

j=1 j=1

oli p est l'ordre de processus autorégressif et q l'ordre de processus moyenne mobile.