1.3 Modèle linéaire et non
linéaire
1.3.1 Notions de stationnarité
Rappelons au passage les définitions de la
stationnarité forte et de la stationnarité faible (ou
stationnarité du second ordre). Soit un processus temporel
aléatoire (Xi, t 2 Z).
Définition 1.3.1 Le processus X est dit strictement ou
fortement stationnaire si quelque soit le n-uplet du temps t1 < t2 < ..
< tn, tel que t 2 Z et pour tout temps h 2 Z avec t + h 2 Z,Vi,i
= 1,..,m, la suite (Xt1+h, .., Xtn+h) a la même loi de
probabilité que la suite (Xt1, .., Xtn).
Dans la pratique, on se limite généralement a
requérir la stationnarité du second ordre (ou
stationnarité faible) du processus étudié.
Definition 1.3.2 Un processus (Xt, t E Z) est dit stationnaire
au second ordre, ou stationnaire au sens faible, ou stationnaire d'ordre deux
si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
(i) E (X?) < oo, Vt E Z.
(ii) E (Xi) = m,indépendant de t, Vt E Z.
(iii) coy (Xt, Xt+h) = E [(Xt+h -- m)(Xt -- m)] = 7(h),
indépendant de t, V(t,h) E Z2.
La première condition garantit tout simplement
l'existence (ou la convergence) des moments d'ordre deux. La seconde condition
porte sur les moments d'ordre un et signifie tout simplement que les variables
aléatoires Xt doivent avoir la meme espérance quelle que soit la
date t. Enfin, la troisieme condition, porte sur les moments d'ordre deux
résumés par la fonction d'autocovariance.
Cette condition implique que ces moments doivent etre
indépendants de la date considérée et ne doivent
dépendre uniquement que de l'ordre des retards. En résumé,
un processus est stationnaire au second ordre si l'ensemble de ses moments sont
indépendants du temps. Par conséquent, il convient de noter que
la stationnarité implique que la variance ry (0) du processus Xt est
constante au cours du temps.
Theoreme 1.3.1 (Théoreme de Wold) Tout processus
stationnaire d'ordre deux (Xi, t E Z) peut 'etre représenté sous
la forme :
ofi les parametres i satisfont 0 = 1, i
E R, Vi E N*, Er() 2i < oo et ofi Et N IID (0, cr2).
On dit que la somme des chocs passés correspond a la composante
linéaire stochastique de Xt .Le terme kt désigne la composante
linéaire.
·
Theoreme 1.3.2 (Théoreme de Volterra) Tout processus
stationnaire au sens fort (Xi, t E Z) peut 'etre représenté sous
la forme :
|
Xt =
|
1
X
i=0
|
Et-i +
|
1
X
i=0
|
1
X
i=0
|
ijEt-iEt-j +
|
1
X
i=0
|
1
X
i=0
|
1
X
k=0
|
ijkEt-iEt-jEt-k +
·
·
· .
|
ofi Et est bruit blanc gaussien.
1.3.2 Le processus bruit blanc (white noise process)
Definition 1.3.3 Soit (Et)tEZ un processus stochastique, on dit
que lg
\--t,tEZ
est un processus stochastique hasard pure ou bruit blanc
faible(resp fort) si les trois proprietes sont verifier :
i) E (Et) = 0,Vt E Z.
ii) V ar (Et) = U2, Vt E Z.
iii) Coy (Et, Es) = E(EtEs) = 0, Vt
L s.
La propriété iii implique que les Et sont non
corrélées entre eux (resp les Et sont i. i. d)
Notation :
- Si {Et} est un bruit blanc faible, on notera par : {Et}
rs, W N (0, o-2).
- Si {Et} est un bruit blanc fort, on notera par : {Et}
rs, IID (0, cr2).
Ce processus est un processus stationnaire d'ordre deux telle
que : toutes les variables sont de même moyenne nulle et de variance
cr2 (constante finie) et non corrélées entre eux.
| 
