I-3-DEVELOPPEMENT DE L'EQUATION DE CONSERVATION
Reconsidérons l'équation (I-22) et supposons que
les temps thermiques de relaxation
ne varient pas considérablement avec la
température. En la reportant dans les équations (I-13a) et
(I-13b) on a donc, respectivement:
?
k(T
)
?
[
S(r,t)
?t
? S ( r , t
) ? ? ( T )
q
? T ( r , t
)] ? ? ( T )
T
?
?{?[k(T)?T( r
,t)]}
?t
?t
? ?
?t
?t
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
C(T)
C(T)
? T q ( )
T (r, t)
T(r,t)
?
T
? t
?[C(T )T (r,
t)]
?t
2
?q
( ) 2
[C(T )T (r,
t)]
?
(I-23a)
|
?
[
|
|
k(T
|
)?T(r,t)]??
(T)
T
|
?
?t
|
? ?S(r, t
??[k(T)?T(r,t)]??
S(r, t) ? ?
(T)
q
?t
)
|
|
(I-23b)
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
14
Ces équations constituent les formes
généralisées encore appelées
formes unifiées des transferts thermiques. Ces
équations peuvent être du type parabolique c'est-à-dire de
diffusion thermique ou hyperbolique c'est-à-dire de propagation
thermique. Nous traitons dans ce mémoire de ces deux types de
problèmes de conduction.
a r a T ( y , t
) ?
[ C ( T ) T
( y , t )] = k
( T ) ?] + S ( y
, t
a y ?? a y
I-3.1-PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE
Nous examinons les transferts thermiques dans les milieux de
grandes dimensions pour de temps considérablement long. Dans ce cas, les
équations (I-23) paraboliques de
diffusion thermique ou équations de Fourier ( )
s'écrivent respectivement alors :
a T ( y , t
) a r a T ( y , t
) l
C ( T ) ? k
( T ) ?j + S ( y
, t )
(I-24a)
(I-24b)
Dans le cas d'une géométrie plane les
équations (I-24) prennent alors respectivement les
a t a y ?? a y
formes:
)
a
at
(I-25a)
,
(I-25b)
15
L'équation (I-25a) est l'équation de diffusion de
l'enthalpie tandis que (I-25b) est l'équation de diffusion de la
température.
I-3.2-PROBLEMES DE PROPAGATION DE L'ONDE THERMIQUE
Nous examinons également les transferts thermiques dans
les milieux de grandes
dimensions pour des temps très courts, les
équations convenables dans ce cas sont du type
hyperbolique et traduisent la propagation de l'onde thermique (
et ). Dans la
HEUGANG NDJANDA Audrey Steven
Thèse de Master of science,
Option physique, Spécialité
Mécanique-Energétique/2012 Laboratoire de Mécanique et de
Modélisation des Systèmes Physiques, Université de
Dschang
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suite nous supposons que le temps thermique de relaxation ne
varie pas considérablement avec la température.
? ? ? T ( y , t
) ? ? T ( y , t
) ? ? ? T ( y , t
) ? ? S ( y , t
)
? t ?? ? t ?? ? t ? y
?? ? y ?t
(I-26a)
(I-26b)
Dans le cas d'une géométrie plane donc
monodimensionnelle les équations (I-26) prennent alors respectivement
les formes:
C ( T ) ? C
( T ) ? k ( T
) ?? ? S ( y , t
) ? ? ( T )
,
(I-27a)
?(T)
(I-27b)
L'équation (I-27a) est l'équation de propagation de
l'enthalpie tandis que (I-27b) est l'équation de propagation de la
température. Il est important de noter que l'équation (I-27a)
découle de l'utilisation de l'équation (I-13a) et
l'équation (I-18). L'équation (I-27b) quant à elle, est
utilisée pour les cas non-Fourier aux propriétés variant
avec la température. Pakdemirli et Sahin (2005) ont
modélisé la conduction hyperbolique à
propriétés thermique variant avec la température à
partir de l'équation (I-27b).
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