Memoire Online - Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

Alors qu'il m'est offert la possibilité de manifester toute ma gratitude envers tous, qui ont participé à la finalisation de ce travail, conscient de ne pouvoir être exhaustif, je prierai les uns et les autres (ici cités ou non) de reconnaître en ces petites paroles, la grandeur de la reconnaissance que je leurs accorde.

Au TOUT PUISSANT Seigneur de l'univers, qui sous ses ailles m'a protégé et guidé à travers tous les pièges de cette jungle, que ce travail puisse positivement inspirer ton royaume.

Au staff administratif de l'Université de Douala, du Département de Physique par le Dr OUSMANOU Motapon pour la constance des efforts menés pour la bonne marche de notre formation.

Au Dr David FOUEJIO qui a proposé et accepté de diriger ce travail. Malgré vos multiples charges, vous avez présenté une disponibilité, un soutient multiforme, une rigueur constante dans le travail, un esprit de collaboration qui ont fait tâche d'huile. Recevez mes sincères remerciements.

A tous le corps enseignant du Département de Physique de notre Faculté, mes enseignants et aînés ; les Docteurs J. P. NGUENANG, E. WEMBE, C. NOUPA, S.G. NANA ENGO, G.E. NTAMACK, et les Professeurs Oumarou BOUBA, KWATO NDJOCK, Norbert NOUTCHEGUEME, Pr. Josué KOM MOGTO. C'est par vous que j'ai d'avantage pris goût à la chose scientifique. Les modèles se trouvent t'ils à l'infini ?

ma très chère maman Mme TCHUENTE Marthe Viviane pour qui je n'aurai jamais assez de mots ...

mes grands frères Serge Jr., Christian Hervé, Stephan Fleury, Henry Patrick TCHUENTE, André KAYO

Votre soutien n'aura jamais d'égal et aucune tribune ne sera suffisamment haute, aucun mot plus complet, pour vous dire MERCI au regard de votre désir de me voir réussir.

M. KAYO Elie, Mme KOM MOGTO Elisabeth, M. & Mme GOUAMPE Philippe, TCHATCHOUANG C, WONGTCHOUANG E, KOUONANG J.P. pour votre soutien des plus remarquables.

M. & Mme KOM Samuel si seulement je savais m'exprimer, j'aurai su vous dire MERCI...!

A mes cousins et cousines Perrault, Stéphane, Dieudonné, Moselly, Favière, Marcelline, ... , Guy Alain KAYO et Pélagie M. & Irène N. TCHUENTE, ...

des baccalauréats E et F1, Hermine Jésus, Lazare, Ghislain Martial, Honoré de Paul, Alban, J. Médard

de maîtrise de Physique, en particulier les Maîtres Armand HYEUDIP, Nasser MBA T., Thierry NJASSAP, Roger T. MABOU, C. FANKAM, ... nos échanges ont déterminés les tournures de ce travail.

de Douala ; Hugues Joël, Christian, Justine Valérie, Flore Josiane, Odilia, ...

de l'Université de Ngaoundéré ; Valery Hervé, Ghislain Bérenger, Yves Mathurin, Jean Pierre, Reine Grâce, Christelle, Linda, Edwige Patricia, Valérie, Emilie Josyane. Vous avez été pour moi une 3^ième famille.

A tous qui ont été plus près de moi, rêvés et crus en ce que je fais, encouragé et supporté ;

A tous, nous avons combattus le bon combat, fraction de ce qui reste à faire. Le meilleur est à venir ...

DEDICACE ....................................................................................................... i

REMERCIEMENTS ........................................................................................... ii

INTRODUCTION GENERALE ............................................................................. 1

CONCLUSION GENERALE ............................................................................... 49

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ................................................................... I

L'objectif initial de notre travail était la comparaison de deux algorithmes de simulation des phénomènes critiques par les méthodes de Monte Carlo, - l'algorithme de Métropolis et l'algorithme de Wolff -. Nous devions par ailleurs étudier les phénomènes critiques qui s'établissent à la transition de phase. A cet effet, nous avons déterminé, les courbes d'évolution des paramètres du système (énergie, aimantation, susceptibilité, chaleur spécifique) et celles des propriétés des différents algorithmes étudiés (temps et longueur de corrélation) toutes en fonction de la température et / ou de la taille du système. Pour ce faire, nous avons étudié et simulé un modèle d'Ising à 2 dimensions. Nous avons indifféremment travaillé sur les transitions Ferro vers Para ou Para vers Ferro (Ferro ? Para).

The aims of our work was the comparison of two algorithms of critical phenomena simulation by methods of Monte Carlo, - the algorithm of Métropolis and the algorithm of Wolff -. We had to study the critical phenomena that settle to the phase transition of otherwise. Therefore, we have determine curves of evolution of parameters of the system (energy, magnetization, susceptibility, specific heat) and those of different studied algorithm properties (correlation time and length) all according to the temperature and / or of the size of the system. Thus we have studied and simulated the two dimensional Ising model. We have worked indifferently on transitions Ferro towards Para or Para towards Ferro (Ferro ? Para).

... de la même façon, on peut apprécier les progrès scientifiques et y prendre plaisir, même si l'on n'a personnellement aucune disposition pour la créativité scientifique.

La 1^ère réponse est que personne ne peut se sentir chez soit dans le monde moderne, juger la nature de ses problèmes et les solutions possibles, à moins d'avoir une idée intelligente de ce que nous réserve la science. De plus l'initiative au monde magnifique de la science apporte une intense satisfaction esthétique, inspire la jeunesse, comble le désir de savoir et permet d'apprécier plus profondément les merveilles déjà réalisées par l'esprit humain, et celles dont il est capable.

INTRODUCTION GENERALE

A la base de toute observation des objets de la nature, l'on aperçoit l'aspect du système (ou objet) observé. Sous l'influence de l'environnement dans lequel il beigne, cet aspect peut prendre diverses configurations ou états ; on parle aussi de phase. Ce à quoi nous nous intéressons dans notre présent travail, c'est la description du système à l'instant précis où il change de phase. Il s'agit d'un instant critique où se produisent des phénomènes dits critiques, c'est à dire de transition de phase.

Notre travail trouve ses applications sur les ordinateurs qui permettent de simuler les systèmes physiques pour la résolution des problèmes en physique statistique. Nous utiliserons à cet effet comme méthodes numériques, celles de Monte Carlo qui s'appuient sur un jeu d'échantillon d'une représentation d'un système physique pris dans un état donné. Elles visent ainsi à la détermination de manière efficace et rapide des grandeurs physiques liées au système considéré, par des procédés probabilistes.

En considérant la configuration granulaire (spin, atome, molécule, ...) de la matière (système physique) et sachant que ces éléments composites interagissent mutuellement, les phénomènes critiques s'étudient avec les théories de la physique statistique et plus particulièrement de la mécanique statistique.

Ainsi donc, cumulés aux résultats théoriques de la mécanique statistique, les simulations par les méthodes numériques nous apportent des outils complémentaires pour mieux comprendre les systèmes. Elles sont essentielles pour des systèmes complexes, à l'approche de l'instant critique où s'établi la transition. C'est ce qui fit développer ces méthodes et plus particulièrement celle de Monte Carlo, très utilisée et adaptée à cet effet. La technique de Monte Carlo à été assez développée à la suite de plusieurs travaux, introduisant ainsi divers algorithmes de simulation, tous intéressants et présentant des spécificités particulières liées au système qu'ils étudient. La 1^ère simulation de Monte Carlo remonte en 1953 suite aux travaux de Métropolis & al. [1]. Bien d'autres suivirent, apportant successivement des corrections remarquables, c'est le cas de [2] l'algorithme de Wolff (proposé par Ulli Wolff en 1989) à l'encontre du précédent qui traite sur les spins, celui-ci manipule des blocs de spins ; l'algorithme de Swendsen - Wang (proposé par ces 2 chercheurs en 1987 et calqué sur le modèle de Wolff) ; l'algorithme de Niedermayer (adapté à toutes sortes de modèles, proposé individuellement par Ferenc Niedermayer en 1988), et bien d'autres ...

Le but principal de notre travail est celui de présenter l'algorithme de Métropolis afin de dégager ses défaillances et les corrections apportées par Wolff. Pour y parvenir, nous introduirons :

Dans un premier temps, une partie dite d' « étude théorique », tout d'abord par une présentation à travers la mécanique statistique, des expressions théoriques des grandeurs physiques qui nous intéressent ; puis nous aborderons les méthodes probabilistes de Monte Carlo où il s'agira pour nous de présenter les différents éléments qui permettent d'établir des résultats numériques proches de ceux déterminés par les probabilités de Boltzmann. Ce qui nous permettra d'aborder en fin, l'étude des phénomènes critiques appliqués au modèle d'Ising à deux dimensions pour la transition de phase Ferro ? Para, où nous comparerons l'algorithme de Métropolis à celui de Wolff à travers leurs différentes propriétés.

Dans un second temps, une partie dite d' « étude pratique » nous permettra de visualiser ces grandeurs par les simulations faites sur différents systèmes, afin de vérifier les conclusions apportées par la partie précédente.

1ère Partie : Etude théorique

Chapitre 1

Bases des simulations par les méthodes de Monte Carlo pour les transitions de phase magnétiques

Il nous paraît utile de présenter d'entrée de jeu de cette partie, une vue sur la mécanique statistique qui nous permet notamment de retrouver les expressions réelles des grandeurs physiques - que nous déterminerons avant de retrouver l'état optimal auquel tout système physique à tendance à basculer (l'état d'équilibre)-, pour mieux étudier les phénomènes critiques.

La difficulté cruciale rencontrée dans les systèmes que nous étudions est qu'ils sont composés de plusieurs blocs (atomes ou molécules) généralement identiques, pouvant avoir en très petit nombre des différences mais obéissants tous néanmoins à de simples équations du mouvement. De ce fait, tout le système peut être mathématiquement modélisé de différentes façons. Cependant, le nombre d'équations (obtenu par l'étendu du problème) rend impossible la résolution mathématique exacte. Par ailleurs, les conditions macroscopiques observables dans lequel est plongé le système nous permettent de prédire et simplifier d'avantage certaines de ces équations. La mécanique statistique essaye donc de trouver les solutions de ces équations par des procédés et propriétés probabilistes définis sur plusieurs états.

Le vrai paradigme que nous étudierons ici, est que le système est gouverné par un Hamiltonien H qui donne l'énergie totale du système dans n'importe quel état particulier. Ces énergies pouvant êtres discrètes ou continues. L'état d'énergie stationnaire étant celui pour lequel l'énergie reste constante au cours du temps, on observe des échanges entre les différents états dégénérés. Un autre obstacle que nous rencontrons est celui de l'influence du réservoir thermique. C'est un très grand système qui peut être pris comme une source (de température par exemple), échangeant constamment de l'énergie avec notre système dans la mesure où nous impulserons toujours de la température au système comme définie en thermodynamique. Nous pouvons incorporer l'effet de notre réservoir dans nos calculs en donnant au système la dynamique de la règle par laquelle il change périodiquement d'état. La nature exacte de cette dynamique est dictée par la forme de la perturbation de l'Hamiltonien que le réservoir produit dans le système. A cet effet, considérons le cas suivant:

Soit

la probabilité au système de passer d'un état ì à autre état õ.

est le taux de transition et doit être normalement indépendant du temps. En supposant cette hypothèse réalisée l'on peut définir

pour tout état possible õ que le système peut avoir. Ces transitions de phases sont généralement tout ce que nous pouvons avoir sur la dynamique. D'où, connaissant un état u du système, nous n'avons besoin que d'un court instant « dt » pour que le système évolue vers n'importe quel autre état í. Nous appliquons ce raisonnement lorsque le traitement probabiliste entre en jeu. Définissons

^1(*), la probabilité du système d'être à l'état u à l'instant t. La mécanique statistique propose que ces poids nous informe entièrement sur l'état du système. Nous pourrons donc écrire la grande équation de l'évolution de

avec les termes de

tel que :

Le premier terme de droite représente le taux de probabilité du système d'être à l'état u, tandis que le second est le taux de probabilité du système d'être juste au dessus de cet état mais avant le suivant. Toutefois, nous devons avoir la condition

Tant que le système sera dans cet intervalle d'état. La solution de l'équation (1.1) nous donne la variation temporelle du taux

qui peut nous permettre de retrouver les propriétés macroscopiques de notre système. Mais comment donc?

Si nous désirons par exemple déterminer la quantité Q qui prend à l'état u la valeur Q_u, nous définirons la valeur moyenne de Q à l'instant t pour tout le système par

Il est claire que cette quantité contient d'importantes informations que nous sommes sensé avoir expérimentalement. Par ailleurs la valeur précise Q de son observable

n'est peut-être pas assez claire.

En effet, imaginons que nous avons un grand nombre de complexions (copies) de notre système qui interagissent chacun avec son réservoir thermique passant d'un état à un autre durant toute la durée de l'observation. L'on croirait que

sera dès lors à sa meilleure estimation si nous faisions une moyenne pondérale des valeurs de Q obtenues séparément pour chaque système. Pourtant, il en existe bien plus que ce que l'on considère! En réalité nous n'avons sur la main expérimentalement qu'un seul système sur lequel nous opérons toutes nos mesures de Q, d'où il ne s'agit pas d'une simple mesure instantanée, mais d'une intégration de la mesure sur une période de temps T. C'est ainsi que l'on détermine l'espérance sur une moyenne de temps, de la quantité Q.

Le calcul de l'espérance est un des buts principaux de la mécanique statistique, et des simulations par Monte Carlo en Physique statistique. Cependant, pour y arriver le système doit être préparé à nous fournir des valeurs assez représentatives de sa configuration. [3] Boltzmann nous renseigne que c'est à un état dit d'équilibre que nous pouvons avoir ces grandeurs là.

1.A.2. L'état d'équilibre

Reconsidérons la grande équation (1.1); si jamais notre système atteint l'état où les 2 termes de gauche deviennent équivalents au point de s'annuler ou de donner un autre terme constant, alors la variation du taux

sera nulle et le poids statistique sera constant pour tout le reste du temps : c'est l'état d'équilibre. C'est à ces instants que l'on observe les interactions entres les éléments du système. Tout système gouverné par l'équation (1.1) atteint forcement l'équilibre. Il s'agira donc pour nous de simuler ces systèmes par la technique de Monte Carlo. Le taux de transition

apparaissant dans (1.1) ne doit juste prendre que quelques valeurs. Le point important est que nous connaissons à priori les valeurs de

à l'équilibre. Elle nous permet d'avoir ce que l'on appellera « probabilité d'occupation à l'équilibre », notée

Gibbs (1902) [3] montra que pour un système à l'équilibre thermique tel un réservoir à la température T, on a

(1.5)

A présent que l'équilibre thermique est atteint dans les conditions sus-citées, nous pouvons déterminer les expressions des différentes grandeurs recherchées afin de pouvoir les simuler pour obtenir les configurations du système.

1.B. Les méthodes probabilistes de Monte Carlo

1.B.1. Expressions théoriques des grandeurs physiques

Nous avons pu établir précédemment les conditions de l'état d'équilibre, en considérant cet état atteint, nous déterminerons à présent les grandeurs physiques caractéristiques du système.

Nous remarquons que la fonction de partition Z apparaît dans beaucoup de développement mathématique en mécanique statistique; la connaissance de Z nous permet d'évaluer virtuellement tout ce que nous voulons savoir sur l'environnement macroscopique du système [3]. Nous prendrons ainsi l'expression (1.6) comme point de départ pour nos prochains développements.

Par généralisation, partant des équations (1.3), (1.4), (1.5), l'espérance mathématique d'une quantité Q pour notre système Physique sera

En égalant (1.10) & (1.11) et en tenant compte des conditions d'intégration, de la 3^eme loi de la thermodynamique fixant arbitrairement l'origine de l'entropie, on trouve

Par ailleurs, des expressions (1.9,), (1.12) Helmholtz [3] tire l'énergie libre ^2(*)

Nous avons ainsi pu définir les grandeurs thermodynamiques U, F, C, S à partir de Z. D'autres grandeurs dites conjuguées ont des variables conjuguées qui sont les réponses du système à ces sollicitations ou en d'autres termes aux perturbations correspondantes. Par exemple, la réponse à un système de gaz dans une boite par le changement de volume V est la pression P. la pression `P' est donc la variable conjuguée de `V' ; de même l'aimantation M est la réponse à la variation du champ magnétique B. M et B sont variables conjuguées.

dF = dU - TdS - SdT = - PdV - SdT (négligeant le monôme lié au nombre N de particule du système) et sachant que dU = TdS - PdV et

, l'on aura

Donc si nous pouvons avoir l'énergie libre F, nous obtiendrons l'effet des autres paramètres variants. Tout ceci nous ramène toujours à la fonction de partition Z. Cette fonction est très utilisée dans les calculs évolués par la méthode de Monte Carlo pour les propriétés du système à l'équilibre.

1.B.2. Fluctuation3(*), Corrélations4(*) et Réponse

La mécanique statistique peut nous informer sur d'autres propriétés du système telles l'entropie et la pression. Une des plus importantes classes de ces propriétés est la fluctuation des quantités observables. Il a été décrit plus haut comment le calcul des espérances tient compte de la moyenne temporelle sur plusieurs mesures de la même propriété pour un système simple. En plus, pour calculer la vraie valeur de ces différentes mesures, il serait préférable de calculer leurs variations spécifiques qui nous donne la mesure de la variation de la quantité que nous observons sur le temps et nous donne aussi quantitativement (avec approximation) le nombre d'essais effectués pour avoir la bonne valeur (valeur propre) de l'espérance (observable).

Par exemple, considérons l'énergie interne U, la moyenne du carré de la déviation individuelle instantanée de la mesure de l'énergie est

Des formules (1.7), (1.8) et (1.9), nous obtenons aisément

et / ou par dérivation de la fonction de partition Z on a aussi

, ce qui nous donne

Primo, il nous donne la magnitude (l'étalement) de la fluctuation en terme de chaleur spécifique `C'^6(*). Nous pouvons ainsi trouver toutes les fluctuations des quantités que nous avons en thermodynamique classique en sachant que nous devons absolument tenir compte de l'approche microscopique que la thermodynamique n'a pas accès !

Segundo, hors de la limite de spectre d'énergie, les fluctuations sont élevées.

Ceci nous prête à croire à nos premiers arguments, que le traitement statistique peut nous offrir une véritable estimation exacte de l'environnement de notre système tel que nous l'espérions. La plus part des questions (le comportement) qui nous intéresse en matière condensée se trouvent autour de la limite thermodynamique, où l'on ignore la fluctuation pour de large systèmes. Ainsi les algorithmes informatiques s'exercent à simuler le comportement à cette limite pour d'aussi larges systèmes que possible en un temps appréciable.

Qu'en est il donc à présent de la fluctuation pour d'autres variables thermodynamiques? D'après les équations (1.5) à (1.7) ainsi que la définition de variable conjuguée vu plus haut, nous pouvons réécrire de manière générale, pour une grandeur quelconque X

Où

contiennent les termes en

contenus dans l'Hamiltonien du système. La technique utilisée pour le calcul de la température moyenne d'une quantité est de réécrire

Il est évident qu'aucun champ de couplage de cette quantité ne se trouve dans l'Hamiltonien. Dans le cas contraire, nous utiliserons un champ fictif que nous introduirons dans l'Hamiltonien pour y assurer le couplage, utiliser (1.22) et le réduire enfin en un champ nul après dérivation. Méthode communément utilisée en mécanique statistique. Une autre dérivée de logZ qui respecte Y produit un autre facteur de

dans la somme sur tous les états u. Nous chercherons alors

Où nous reconnaissons les résultats tels trouvés plus haut à l'équation (1.17). Nous pouvons ainsi avoir la variance de n'importe quelle quantité X à partir de la dérivée seconde de l'énergie interne F sur sa variable conjuguée respective. On défini la susceptibilité de X sur Y par le rapport mesurant la force de X par le changement en Y contenu dans l'équation précédente et usuellement notée ÷ :

(1.24)

D'où la valeur moyenne d'une variable X et sa variable conjuguée Y sont proportionnelles. Ce résultat est connu depuis le théorème de la réponse linéaire^7(*), qui nous donne un moyen de calculer (1.24) par la méthode de Monte Carlo en mesurant la taille d'une fluctuation sur une variable.

En étendant l'idée de la susceptibilité et par là le changement d'état de la thermodynamique classique, nous pourrons apprécier ce qui arrive lorsque nous changeons d'état (position sur l'espace de configuration) d'un paramètre. Pour aborder ce type de problème, nous utiliserons un modèle planétaire représenté par une matrice. C'est un modèle plus réaliste où i,j représentent coordonnées abscisses et ordonnées d'un point k. Une variable X_k aura un champ conjugué Y_k que nous retrouvons dans l'Hamiltonien par les termes

avec

pour tous les N sites k. On réécrira donc (1.21) et (1.22)

Où

est la valeur de

en un état u nous donnant donc une généralisation de ÷ par

Où

est la fonction de corrélation^8(*) de x pour 2 points i et j connectés, que nous présenterons plus tard. L'exposant (2) représente l'ordre de la corrélation (ou le nombre de points).

1.B.3. Cas du modèle d'ISING.

Pour essayer de rendre toutes ces relations un peu plus concrètes, nous introduisons à présent un concept nouveau : le modèle d'ISING. Certainement l'un des plus recherché ou étudié en physique statistique. C'est un modèle d'aimant. Les principes essentiels rodant autour de l'aimantation et des models magnétiques sont que l'aimantation d'un matériau se compose de moments magnétiques de plusieurs dipôles magnétiques conjugués de spin. Le modèle postule qu'une matrice (de dimension définie en fonction de la géométrie du problème) peut représenter tous les états possibles de spin d'un système. L'évaluation des propriétés se fait donc en manipulant directement la matrice à travers les différents états du système définis par les coefficients de la matrice. Par soucis de simplification, ces coefficients (valeurs des spins) prennent les valeurs

^9(*). Dans le modèle magnétique réel, les spins interagissent entre eux (entre voisins), l'on tient donc compte de cette autre contrainte en introduisant dans l'Hamiltonien les énergies d'interaction notées J (pour les 1^ers voisins) et J₁ (pour les 2^nds voisins) facteurs des termes d'interactions. On aura [11]

Où i et j sont les coordonnées du spin de la matrice ; dans la mesure où l'énergie d'interaction dipolaire varie en

on aura

. En plus, le signe (-) en J est conventionnel et indique le sens de l'interaction sur les paramètres J, lorsque J>0, tous les spins sont Up et nous avons le modèle ferromagnétique. Dans le cas contraire, nous obtenons un modèle dit anti-ferromagnétique.

Autant que chaque site (coefficient) peut prendre deux valeurs, notre matrice de dimension N (nombre de spin) peut décrire donc 2^N états possibles. Ce qui nous permettra de redéfinir la fonction de partition décrite plus haut à l'équation (1.16) par :

Comme dit précédemment, nous pourrions ainsi avoir avec Z toutes les propriétés thermodynamiques du système et même leurs variables conjuguées. Comme définies plus haut ;

De l'expression de l'Hamiltonien donnée en (1.28), si nous considérons à présent une variation partielle du champ J₁ = B, l'on fera donc intervenir B_i dans la sommation. La moyenne de l'aimantation sera

. Où

(simplement notée m) représente la moyenne par spin, elle est plus généralement utilisée:

Toutes ces grandeurs sont encore plus intéressantes par visualisation à l'équilibre thermique lorsque nous l'atteignons, par les méthodes numériques.

1.B.4. Méthodes numériques

Les méthodes numériques nous permettent d'obtenir avec plus de justesse et de rapidité, les comportements des propriétés physiques précédemment définies. Nous avons la fonction Z qui est (nous l'avons montré) un élément pivot. Le problème actuel sera d'améliorer la somme de celle-ci sur un grand nombre d'états. Plus encore, il faudra considérer qu'à la limite thermodynamique, le nombre d'états doit être considéré infini. Ce travail à été réalisé sur un modèle plus simple d'énergie discret, le modèle d'ISING à deux dimensions [2]. Par ailleurs, la majorité des modèles s'intéressent, autant qu'il n'est pas encore possible, d'obtenir l'expression analytique exacte de Z.

La méthode la plus simple pour résoudre les problèmes en physique statistique est de convertir notre système en représentation matricielle (de dimension fonction de la géométrie du problème considéré) et de l'appliquer dès lors au modèle choisi. De ce fait, la fonction de partition Z deviendra une somme de nombre finie de terme (pour un espace discret) ou une intégrale sur l'espace considéré pour un spectre continu d'énergie), nous pourrions dès lors utiliser un ordinateur pour évaluer ces expressions. Regardons à présent ce qui se passe pour le modèle d'ISING.

Considérons un cas à deux dimensions, un système de 25 spins modélisables en une matrice carrée 5 x 5. En champ nul (B = 0), limitons les effets de bord en utilisant les conditions aux limites cycliques de BVK^10(*) (Born Von Karmer). Chaque spin pouvant prendre 2 valeurs (suivant qu'il soit Up ou Down), l'on aura alors 2²⁵ = 33554432 valeurs possibles (états possibles du système) ! Cependant, la matrice n'est jamais assez grande pour inclure toute la physique importante. Ceci ne veut pourtant pas dire qu'un développement matriciel est moins utile. Il existe des méthodes rendant le problème est moins difficile où le calcul numérique et les solutions exactes sont très appréciables. La technique des tailles d'échelle d'intervalle fini (pas de divergence), nous entraîne à extrapoler les résultats par des matrices de dimension finie aux systèmes de taille finie ou infinie et donne de bons résultats aux limites thermodynamiques [7].

Néanmoins, toutes ces techniques peuvent nous donner de bons résultats pour les propriétés critiques. La précision et l expression desdits résultats dépendent de la taille du système. Dès lors, il est judicieux pour nous de travailler avec d'aussi grand système que possible. Ce qui prendra nécessairement du temps car il faudra tenir non seulement compte de la géométrie du système mais aussi des caractéristiques techniques du calculateur utilisé. La partie sur les résultats obtenus nous en dira plus.

1.C. Principes de la simulation de Monte Carlo à l'équilibre thermique

Il est à présent question pour nous de présenter les éléments de base de la simulations par Monte Carlo, à travers les trois idées maîtresses : « l'échantillonnage important», « la balance détaillé » et le « rapport d'acceptation ». Maîtriser le sens de ces termes nous offrira d'avantage informations sur la simulation de Monte Carlo à l'équilibre thermique développée ces trente dernières années.

1.C.1. L'estimateur

Nous avons dit plus haut que la recherche des valeurs moyennes représente les principaux objectifs des simulations Monte Carlo, mais pour accélérer le processus il serait plus facile d'orienter nos résultats vers des valeurs probables.

Nous avons obtenu de (1.3), l'expression de la moyenne de Q, par sommation sur tous les états ì du système et sur leurs probabilités respectives

Pour de grands systèmes, le mieux que nous pouvons avoir est la moyenne sur une somme restreinte d'états. Il est donc nécessaire d'introduire une quantité dans le calcul. La technique de Monte Carlo s'exerce à choisir ce champ restreint d'état avec une probabilité de distribution ö_ì. En supposant que nous choisissons M états

, l'on aura une meilleure estimation de Q par

Cette expression est l'estimateur de Q, nous donnant une estimation de Q sur un model réduit et avec la propriété que lorsque le nombre M d'états dans l'échantillon grandit, l'on se rapproche de la vraie valeur

par Q. C'est-à-dire :

Reste alors à déterminer M pour une meilleure expression de Q. Pour ce faire, il suffit de considérer une équiprobabilité entre les états du système (c'est à dire

), d'où :

1.C.2. Echantillonnage important

Tel qu'il a été abordé dans un précédent paragraphe, il est utile d'observer un temps moyen afin de se rassurer que nous parcourrons au moins une période, durant le temps de l'expérience, d'où il se pose le problème de la longueur de la chaîne. A titre d'exemple, un litre de gaz, contient 10²² molécules, soient

états possibles qui est un nombre spectaculairement grand d'où l'importance de prendre une matrice de dimension assez grande sinon l'on risquera de ne pas parcourir tous les états. On parle dans ce cas d'échantillonnage important.

1.C.2.1. Processus11(*) de Markov

Dans une simulation par Monte Carlo l'étape difficile est la détermination de l'estimateur approprié. Au départ, nous ne pouvons pas simplement choisir au hasard certains états et les accepter ou rejeter en les prenant équiprobables à

. Le résultat ne sera pas meilleur que celui issu d'un échantillonnage hasardeux. L'on court le risque de répéter virtuellement certains états autant que leurs probabilités sont exponentiellement petites. Les algorithmes des méthodes de Monte Carlo utilisent le processus de Markov pour choisir les états utilisés (considérées).

Le processus de Markov est le mécanisme qui génère un état í du système à partir d'un autre

connu. L'état généré n'est pas toujours le même, il parcourt le système à la recherche de nouveaux états avec une probabilité de transition P

sur lesquels il impose deux conditions:

2i) elles dépendent uniquement des propriétés du système sur les états u et í.

Ceci traduit le fait que la probabilité de transition

d'un état u à un autre í du processus de Markov est toujours constante et devra satisfaire la relation de fermeture

Dans la simulation de Monte Carlo, nous utiliserons à répétition le processus de Markov pour générer la chaîne de Markov de nouveaux états. Il est généralement utilisé spécialement lorsqu'on veut partir de n'importe quel état du système et générer une suite de configurations de certains états précis (final) par exemple.

Pour parachever cette étude, il est utile d'imposer deux nouvelles conditions : « Ergodicité » et « balance détaillée ou spécifique » sur le processus de Markov.

1.C.2.2. Ergodicité

La condition d'Ergodicité est le fait qu'il sera possible par notre processus de Markov d'atteindre n'importe quel état du système à partir d'un autre si nous évoluons durant un temps suffisamment grand. Ceci est nécessaire pour atteindre notre initial, celui de généraliser des états à partir d'une probabilité correcte dite de Boltzmann. Chaque état

apparaît avec une certaine probabilité non nulle P_í dans la distribution de Boltzmann. Et si cet état ne peut-être accessible à partir d'un autre état u ce ne sera pas un problème, nous continuerons notre processus et dans ce cas l'on reprendra le schéma à partir de ce nouvel état.

La condition d'Ergodicité nous informe que nous pouvons prendre certaines probabilités de transition nulle dans le processus de Markov mais ceci ne sera pas le cas pour deux états distincts que nous prenons dans un espace restreint. En pratique, la plupart des algorithmes de Monte Carlo configurent toutes les probabilité de transition à zéro, et il faudra faire attention dans ce cas à ne pas créer un algorithme qui viole la condition d'Ergodicité.

1.C.2.3. Balance spécifique12(*)

Cette autre condition du processus de Markov est l'une de celles qui assurent que la probabilité de distribution de Boltzmann que nous générerons après que notre système ait atteint l'équilibre est la plus grande de toutes les autres distributions. La déviation de cette balance est assez subtile. Comme défini en introduction, le sens réel de « système à l'équilibre » : l'équivalence entre les différents états lors des transitions à l'équilibre, peut s'exprimer mathématiquement par :

Introduite, la relation de fermeture (1.34) sur l'équation (1.35) conduit à :

Si cette équation est satisfaite, la probabilité p_í sera à l'équilibre dans le processus dynamique de Markov. Mais il peut arriver que la satisfaction de cette équation ne soit pas totalement efficiente pour garantir que la probabilité de distribution puisse atteindre p_u de n'importe quel état du système si nous faisons tourner le système pendant un long temps.

En effet, la probabilité de transition

peut être déterminée comme un élément de la matrice P^13(*). En considérant

, si nous mesurons le temps mis dans chaque état durant la chaîne de Markov, alors la probabilité à un instant t + 1 suivant (où sera le système à l'état í) sera :

Où w(t) est le vecteur dont les coordonnées sont les différents poids statistiques

.A l'équilibre (

), le processus de Markov satisfera

(1.39)

Toutefois, il est possible au processus d'atteindre l'équilibre dynamique par rotation de w sur toute la chaîne. En notant « n » la taille limite du cycle parcouru, on aura :

Si nous choisissons une probabilité de transition (ou de manière équivalente une matrice de Markov) pour satisfaire la relation (1.36). Nous garantirons ainsi que la chaîne aura une simple probabilité d'équilibre de distribution

, quelque soit la valeur de « n ».

De ce qui précède nous pouvons dire que nous sommes informé que rien ne garantie que l'état d'équilibre généré aura la probabilité de distribution attendue.

Pour contourner ce problème l'on applique donc une autre condition à notre probabilité de transition. la condition de balance spécifique ou détaillée énoncée telle que:

Il est donc alors clair que chaque état qui satisfera cette condition (1 .41) satisfera alors absolument (1.35) qui n'est qu'une sommation de (1.41) sur les différents états concernés. En remarquant la forme bidirectionnelle équivalente de (1.41), l'on constate bien que la condition de balance spécifique élimine la notion de cycle qui incluait la limite « n ». En effet, la balance détaillée nous informe qu'en moyenne, le système peut quitter d'un état u vers un autre í indifféremment du chemin choisi et après un temps infini, l'on aura une probabilité de distribution

. (A

devra tendre exponentiellement comme les vecteurs propres correspondant aux fortes valeurs propres de P).

Observons à nouveau l'équation (1.40), l'on remarque que les grandes valeurs propres des matrices de Markov P pourront être équivalentes. Si la limite du cycle de la forme (1.41) était présente, nous pourrions ainsi avoir des valeurs propres qui seront des racines complexes, mais la condition de balance détaillée nous prévient de cette possibilité.

1.C.3. Rapport d'acceptation

De tous ce que nous avons jusqu'ici mentionné comme élément important pour l'obtention rapide et efficace d'un système à l'état d'équilibre, nous avons pu généré un processus de Markov et avec ce dernier, nous avons pu retrouver de nouveaux états avec une probabilité. Mais cependant, il est difficile pour nous de prévoir le processus de Markov approprié si nous nous trouvons dans un état donnée, à sa bonne probabilité, et recherchons l'état suivant. Bien qu'il soit encore possible d'utiliser les conditions suscitées, nous pourrions ainsi suggérer plusieurs processus mais jusque là sans pouvoir avoir la bonne probabilité de déclenchement, c'est à dire celle nous permettant de transiter vers un état suivant tout en respectant les équations (1.34) et

La bonne nouvelle cependant est que nous n'aurions pas à faire cela ! En réalité, il y'a dégât lorsque nous nous laissons le choix de n'importe quel algorithme pour générer de nouveaux états et de ce fait il est nécessaire d'avoir une probabilité de transition souhaitée par introduction d'une condition d'acceptation du taux de transition. L'idée cachée derrière cette acceptabilité est la suivante :

Nous mentionnions précédemment que nous prévoyons introduire une probabilité de transition de base

si nous le voulions. En posant í = u dans l'équation (1.42), nous obtenons une tautologie (1 = 1). Ceci voudrait souligner que la condition de balance détaillée est toujours vérifiée pour

quelque soit la valeur de cette probabilité. Nous avons encore une certaine flexibilité sur comment nous choisirons les autres valeurs de

pour

. Nous pouvons donc ajuster la valeur de n'importe quelle

telle que la règle de fermeture (1.34) soit vérifiée par simplement compensation de cet ajustement avec un autre ajustement équivalent mais opposé

. La seule dont nous avons à observer est que

ne passe jamais hors de ses limites (soit

). Si nous faisons cet ajustement, nous pourrions ainsi nous arranger pour que l'équation (1.42) soit satisfaite en faisant un changement simultané aussi sur

et alors l'on aura conservé leurs rapports.

Autrement dit, ces conditions nous donnent assez de liberté sur les possibilités d'opérer des transitions sur chaque site aux probabilités que nous souhaitons. Pour voir cela, décomposons le rapport de transition en deux parties, soit

où

est la probabilité sélective (ou la probabilité d'un état initial u de donner en fin d'étape un autre état í) et

étant le rapport d'acceptation.

(Tel que

), nous indique si nous devons commencer sur un état donné u. Le choix de sa valeur nous est aussi libre. Choisir

est équivalent à dire la certitude

qui n'est cependant pas un cas que nous rechercherons. Il est donc à proscrire ! De ce qui précède, nous avons aussi une totale liberté sur le choix de

depuis la contrainte (1.42) qui fixe le ratio

Notre contrainte supplémentaire donnée par la relation de fermeture (1.34) sera aussi satisfaite étant donnée que la somme limitera à l'état de la chaîne de Markov où nous avons commencé la sommation. Le cycle peut donc être déterminé à n'importe quelle niveau !

Ainsi, dans le but de créer notre algorithme de Monte Carlo, nous créerons un algorithme qui générera les états successifs simplement avec les données de

et nous sélectionnerons ensuite les états qui nous sont utiles par la condition d'acceptation

que nous choisirons telle qu'elle satisfera à l'équation (1.43). Ceci devra satisfaire toutes les requêtes des probabilités de transition tel que lorsque l'algorithme atteindra l'équilibre, l'on tirera la vraie probabilité de Boltzmann.

Tout ceci paraît plaisant, mais il faudra tenir compte de ce que si le taux d'acceptation est faible, notre algorithme paraîtra immobile, ce qui bloquera naturellement l'évolution du système. Il faut donc trouver un algorithme qui évoluera entres les états pour un large échantillonnage. Il est impératif à veiller à raccourcir le temps de traitement de notre matrice. Rechercher donc un algorithme qui respectera un temps convenable par rapport à l'échantillonnage qu'on dispose. Il suffit pour cela de remarquer que l'équation (1.43) ne fixe que le taux

d'acceptation entre deux états distinct dans n'importe quelle direction avec la contrainte que ce taux est compris entre 0 et 1 bien qu'on puisse mathématiquement le multiplier proportionnellement par un coefficient réel.

La meilleure chose que nous puissions faire toutefois est de le garder, mais de tenir compte des caractéristiques des différents états en présence dans la probabilité de sélection

et d'introduire aussi faiblement que nous pouvons le rapport d'acceptation idéal (c'est à dire celui qui génère de nouveaux états avec la vraie probabilité de transition).

Le bon algorithme est celui qui conserve le rapport d'acceptation (c'est à dire

) !

Chapitre: 2

Etude des phénomènes critiques À l'aide du modèle d'ISING à 2 D.

2.1. Les phénomènes critiques

Les phénomènes critiques découlent des transitions de phases qui peuvent s'établir dans un système quelconque. Il s'agit en effet de la configuration du système à l'instant précis de la transition qui est une phase critique. Le système obéit à cet instant à des lois et propriétés difficilement appréciables et qui présentent un intérêt particulier à l'étude. Lequel intérêt nous allons aborder dans ces prochaines lignes où nous étudierons plus partiellement les configurations du système à cette zone critique pour enfin déterminer les paramètres physiques qui nous intéressent. Tout d'abord nous nous éclairerons sur les notions de transitions de phases.

2.1.1. Les transitions de phase

L'exemple fondamental, bien connu que l'on peut présenter pour exprimer la notion de phase, est celui de l'eau dans ses différents états. Nous savons que l'eau possède 3 différents états ou aspects: Solide (glace), Liquide (eau), Gazeux (vapeur). Le passage d'une phase à une autre quotidiennement observé, peut se décrire par le gel, l'ébullition ou la sublimation qui, (ces différentes phases) sont caractérisées par leurs propriétés qualitatives ou quantitatives, qui sont des modifications de certains paramètres tels (la pression, le volume, la température). La physique de la matière condensée est notamment très riche en ces exemples, qu'on parle du ferromagnétisme, de la ferroélectricité, des liquides superfluides, de la supraconductivité, des transitions ordre - désordre dans les alliages ou encore de la transition de localisation d'Anderson ...etc.

De manière générale, toutes ces transitions de phase ne sont pas identiques, il en ressort schématiquement deux classes de transitions dépendamment de la présence de la chaleur latente. C'est P. Ehrenfest, en 1933 [5] qui proposa une classification^14(*) des différentes transitions à partir du comportement du potentiel thermodynamique associé (enthalpie libre, énergie libre ...) :

i) Les transitions de phase du premier ordre s'accompagnent de discontinuités des grandeurs thermodynamiques, comme l'entropie et la densité, associées à des dérivées premières de potentiels thermodynamiques. (C'est le cas de transitions normales subit par l'eau.)

ii) Les transitions de phase du second ordre pour lesquelles les potentiels thermodynamiques et leurs dérivées premières sont continus et qui s'accompagnent de certaines discontinuités des dérivées secondes de potentiels thermodynamiques (comme la capacité calorifique). Pour ces transitions, on passe de façon continue d'une phase à l'autre sans que l'on puisse parler de coexistence des deux phases. (C'est le cas les matériaux ferromagnétique.)

On peut généraliser la classification de Ehrenfest et définir des transitions d'ordre supérieur^15(*). Cependant, bien que la classification d'Ehrenfest a le mérite de mettre en évidence des différences et des similitudes entre diverses transitions, elle se limite à des concepts thermodynamiques insuffisants pour bien comprendre la physique d'une transition.

Par ailleurs, c'est aux travaux du physicien L. LANDAU (1937) qu'on doit l'interprétation de plusieurs notions observées telles celle de « brisure de symétrie », de « paramètre d'ordre », et la classification suivante :

i) Les transitions sans paramètres d'ordre qui sont toujours de premier ordre au sens de Ehrenfest.

ii) Les transitions avec paramètres d'ordre. Si le paramètre d'ordre est discontinu à la transition celle ci est de premier ordre au sens de Ehrenfest. Elle est d'ordre supérieur si le paramètre d'ordre est continu à la transition.

Rappelons d'une part qu'une transition de phase sans Chaleur latente s'accompagne d'un changement de la symétrie du système. (Ainsi, si l'on prend l'exempled'un matériau ferromagnétique, on sait que celui ci ne possède pas d'aimantation spontanée à haute température. Par contre, en dessous de la température de Curie, il apparaît une aimantation permanente orientée dans une direction bien précise. On dit alors que la symétrie du matériau a été brisée à basse température car le milieu n'est plus qu'invariant par une rotation autour d'un axe parallèle à l'aimantation)[5]. D'autres part, le paramètre d'ordre est une grandeur physique qui caractérise une transition. Il est nul dans la phase la plus symétrique (généralement la phase haute température) et qui devient non nulle dans la phase la moins symétrique (la phase ordonnée à basse température). Le paramètre d'ordre des transitions de phase magnétique est l'aimantation M

Pour l'exemple de l'eau, [8], l'on peut de ce qui précède dire qu'il existe un point particulier dans son diagramme de phase. Ce point dit critique, caractérisé par une température de 647 K et une pression de 217 atmosphères. Au-delà de ce point, il n'y a plus de distinction entre liquide et vapeur. Il ne reste qu'une seule phase fluide et l'on ne peut plus faire bouillir de l'eau. Près du point critique, il existe des variations de densité sur toutes les échelles de longueurs. Elles apparaissent sous la forme de gouttes de liquide intimement mélangées à des bulles de gaz. La taille de ces gouttes et celle des bulles varient de la taille d'une molécule à celle du récipient. Plus précisément, au point critique, la longueur caractéristique des fluctuations les plus grandes devient infinie, mais les fluctuations les plus petites n'en disparaissent pas pour autant.

Cette attitude observée sur cet exemple fondamental (l'eau) nous induit alors d'autres notions que nous étudierons plus bas.

2.1.2. L'exposant critique (sa mesure) et les classes d'universalités

Les spins dans le modèle d'ISING se regroupent en cluster (Région localement ordonnée de taille î^d )^16(*), î appelée « longueur de corrélation » (c'est la dimension du cluster c'est à dire du bloc de spins parallèles); les fluctuations en générale gouvernent le comportement du système près de la transition [5], à l'approche de la température critique (notée

), il peut exister un laps de temps ô appelé « temps de corrélation »^17(*) qui diverge avec î. Ce phénomène peut être schématisé tel à la figure ci-contre :

Figure 2.1 : schématisation des regroupements de spin en fonction de la température

Pour l'étude des phénomènes critiques, il est approprié de travailler avec une nouvelle variable appelée « température réduite ». Les grandeurs : le paramètre d'ordre, la chaleur spécifique, la longueur de corrélation etc. ... peuvent être décrites par une loi en puissance `t'.

À l'approche de la transition de phase (t ? 0 quand ô >

), la divergence de la longueur de corrélation est proportionnelle à la température réduite par la relation.

(2.2).

La quantité positive non entière í appelée « exposant critique » est définie par [5] :

Remarquons que la température t peut être prise des deux côtés de

(à gauche ou à droite du nombre réel

) pour obtenir une même valeur de î d'où la valeur absolue sur l'équation (2.2).

Dans les simulations de Monte Carlo, í est indépendant de l'algorithme utilisé, mais dépend de la matrice utilisée : í a différentes valeurs qu'on soit en dimension 2 ou 3 [5].

Par ailleurs, il existe d'autres exposants critiques, plus particulièrement ceux qui nous intéressent proviennent de la susceptibilité et de la chaleur spécifique qui découlent directement de la divergence de la longueur de corrélation. De même que (2.2), l'on a :

2.1.2.1. Notion d'universalité

L'universalité d'une quantité repose sur son invariance par rapport aux diverses transformations dans lesquelles elle intervient. Ainsi, [5] l'hypothèse d'universalité proposée en 1971 par L. Kadanoff et confirmée par la méthode du groupe de renormalisation stipule qu'une quantité est dite « universelle » si elle ne dépend que de certains caractéristiques qualitatives essentielles du système qui sont :

Ces facteurs définissent ainsi une classe d'universalité, chacune caractérisée par un ensemble d'exposant critique. En l'absence d'un champ extérieur, nous pouvons exprimer le comportement critique des grandeurs que nous manipulons dans le tableau ci-dessous [5]:

Tableau 2.1 : Expressions de quelques grandeurs physiques en fonction de leurs exposants critiques

Grandeur physique	Exposant	Définitions	Conditions
Chaleur spécifique	á á'	C t^-á C (-t^-á)	t > 0 t > 0
Paramètre d'ordre	â	(-t^-â)	t < 0
Susceptibilité isotherme	ã ã	÷_T t^-ã ÷_T (-t^-ã)	t > 0 t < 0
Longueur de corrélation	í í'	î t^-í î (-t^-í)	t > 0 t < 0
Fonction de corrélation		g(R) R^-(d-2+)	t = 0

Pour un système en dimension 2 (d =2), on peut citer dans les cas des interactions à courtes portées les 3 classes fondamentales représentées par les modèles d'Ising (n = 1), XY (n = 2) et Heisemberg (n= 3). En généralisation, le tableau (2.2) suivant regroupe l'essentiel des classes d'universalité avec des exemples à l'appui lorsqu'ils existent [12].

Classe d'universalité		Modèle théorique	Système physique	Paramètre d'ordre
d = 2	n = 1	Modèle d'Ising à deux dimensions	Films absorbés	Densité de surface
	n = 2	Modèle XY à deux dimensions	Films d'Hélium 4	Concentration de la phase superfluide
	n = 3	Modèle d'Heisenberg à deux dimensions		Aimantation
d > 2	n =	Modèles sphériques	Aucun
d = 3	n = 0	Marche aléatoire sans croisement	Configuration des polymères à longue chaîne	Densité des extrémités des chaînes
	n = 1	Modèle d'Ising à trois dimensions	Aimant uni-axial	Aimantation
			Fluide aux voisinages d'un point critique	Différence de densité entre phase
			Liquide au voisinage du point de mélange	Différence de concentration
			Alliage d'une transition ordre - désordre	Différence de concentration
	n = 2	Modèle XY à trois dimensions	Aimant plan	Aimantation
			Hélium 4 près de la transition super fluide	Concentration de la phase superfluide
	n = 3	Modèle d'Heisenberg à trois dimensions.	Aimant isotrope	Aimantation
d 4	n = -2		Aucun
	n = 32	Chromodynamique quantité	Quarks liés dans les protons, les neutrons, etc ...

2.1.2.2. Fluctuations critiques et ralentissement critique

Lorsque nous approchons le point critique, ils se présentent des fluctuations plus grandes, observées sur nos grandeurs habituelles, c'est le fait des phénomènes critiques. Reprenons l'exemple de l'eau présenté au paragraphe sur les transitions de phases ; au cours d'une transition critique, les fluctuations spatiales de certaines grandeurs thermodynamiques possèdent toutes les échelles de longueurs possibles. Ce phénomène est relativement inhabituel pour le physicien qui généralement se concentre sur une échelle de longueur donnée pour résoudre un problème.

Ces fluctuations ralentissent la marche du processus Markovien et par là induisent un ralentissement du processus. Il est dit critique à ces températures environnent

. Le temps de corrélation grandi dangereusement, nous le retrouverons par les corrélations existant entre états.

2.1.2.3. Fonction d'auto corrélation de l'aimantation

Dans une simulation, il est en général beaucoup plus facile de calculer la fonction de corrélation telle définie au 1^er chapitre (équations 1.26 et 1.27 du §A.1.2) dès lors que l'on se place à l'état d'équilibre. Lorsqu'on opère des mesures d'aimantation ou d'énergie sur divers systèmes de même dimension, l'on constate qu'ils arrivent presque simultanément à la transition. Ce qui nous permet de penser qu'il existe effectivement des corrélations qui s'établissent entre les états du système. La fonction d'auto corrélation nous permettra notamment de déterminer le temps de corrélation. Considérons le modèle d'Ising avec lequel l'on détermine l'aimantation m, nous avons présenté l'expression de la susceptibilité (1.26) & (1.27) puis la fonction de corrélation (1.33), ce qui nous permet en posant que m(t) est l'aimantation instantanée au temps t, de décrire une fonction d'auto corrélation de l'aimantation par l'équation (2.5) et sous sa forme discrète, l'équation (2.6)

La fonction d'auto corrélation donne la corrélation entres deux instants distincts. Si nous intégrons l'équation (2.5) précédente,

sera non nulle si en moyenne les fluctuations sont corrélées et nulle dans le cas contraire. Globalement, l'on obtient une échelle typique de mesure de la fonction d'auto corrélation. Après un temps long, elle tendra vers une valeur exponentielle défi