Etude des Phénomènes Critiques par les Méthodes de Monte Carlo : Cas du modèle d'Ising à 2 D pour la transition de phase Ferro<->Para

1.B. Les méthodes probabilistes de Monte Carlo

1.B.1. Expressions théoriques des grandeurs physiques

Nous avons pu établir précédemment les conditions de l'état d'équilibre, en considérant cet état atteint, nous déterminerons à présent les grandeurs physiques caractéristiques du système.

Nous remarquons que la fonction de partition Z apparaît dans beaucoup de développement mathématique en mécanique statistique; la connaissance de Z nous permet d'évaluer virtuellement tout ce que nous voulons savoir sur l'environnement macroscopique du système [3]. Nous prendrons ainsi l'expression (1.6) comme point de départ pour nos prochains développements.

Par généralisation, partant des équations (1.3), (1.4), (1.5), l'espérance mathématique d'une quantité Q pour notre système Physique sera

(1.7).

Qu'il en soit pour l'énergie (Q = E) on aura l'espérance

= U (1.8)

De l'équation (1.6), nous aurions pu écrire

(1.9)

La chaleur spécifique (massique) aura pour expression :

(1.10)

Introduisant l'entropie S l'on obtient

(1.11)

En égalant (1.10) & (1.11) et en tenant compte des conditions d'intégration, de la 3^eme loi de la thermodynamique fixant arbitrairement l'origine de l'entropie, on trouve

(1.12).

Par ailleurs, des expressions (1.9,), (1.12) Helmholtz [3] tire l'énergie libre ^2(*)

F = U - TS = k_BT logZ (1.13)

Nous avons ainsi pu définir les grandeurs thermodynamiques U, F, C, S à partir de Z. D'autres grandeurs dites conjuguées ont des variables conjuguées qui sont les réponses du système à ces sollicitations ou en d'autres termes aux perturbations correspondantes. Par exemple, la réponse à un système de gaz dans une boite par le changement de volume V est la pression P. la pression `P' est donc la variable conjuguée de `V' ; de même l'aimantation M est la réponse à la variation du champ magnétique B. M et B sont variables conjuguées.

F étant une différentielle totale par l'équation (1.13) c'est-à-dire [3] :

dF = dU - TdS - SdT = - PdV - SdT (négligeant le monôme lié au nombre N de particule du système) et sachant que dU = TdS - PdV et , l'on aura

(1.14)

(1.15)

Donc si nous pouvons avoir l'énergie libre F, nous obtiendrons l'effet des autres paramètres variants. Tout ceci nous ramène toujours à la fonction de partition Z. Cette fonction est très utilisée dans les calculs évolués par la méthode de Monte Carlo pour les propriétés du système à l'équilibre.

* ² « F » est en d'autre terme l'énergie totale du système ôtée de l'énergie du désordre dérivant de l'agitation thermique.