Memoire Online - Enseigner les mathématiques en zone difficile

Présenté par : Kernéis, Sandrine Master 2 EFCS, spécialité Mathématiques

Remerciements

En préambule de ce mémoire professionnel, je souhaiterai adresser mes remerciements aux personnes qui m'ont apporté leur aide et qui ont contribué à l'élaboration de ce mémoire ainsi qu'à la réussite de cette année universitaire.

Je tiens tout d'abord à remercier Monsieur Jean-François Bron, qui, en tant que directeur de mémoire, s'est toujours montré à l'écoute et très disponible tout au long de la réalisation de ce mémoire pour répondre à mes interrogations et me donner de précieux conseils.

Mes remerciements s'adressent également à Madame Fabienne Lanata, qui m'a été d'une grande aide pour la préparation du stage en responsabilité et donc également pour la réalisation de ce mémoire.

J'exprime ma gratitude à l'ensemble de mes formateurs de l'IUFM de Mont-SaintAignan qui lors des recherches effectuées ont accepté de répondre à mes questions avec gentillesse.

Enfin, je n'oublie pas de remercier Messieurs Jonathan Legent et Thomas Ferry qui ont eu la gentillesse et la patience de relire ce travail et de le corriger.

Sommaire

Introduction

Lorsque j'ai appris que j'allais effectuer mon stage en responsabilité, soit ma première réelle prise en charge de classes, dans un établissement se situant en zone difficile, deux sentiments se sont offerts à moi. J'étais tout d'abord un peu inquiète, notamment par rapport à la gestion de la classe ou au comportement des élèves, mais j'étais également très enjouée à l'idée de chercher des solutions pour parer aux difficultés de ces élèves. J'ai vraiment eu envie de trouver des moyens de les intéresser, de les motiver, de leur donner envie de faire des mathématiques. Même si ces actions ne doivent pas uniquement être réalisées lorsque l'on enseigne en zone difficile, j'ai pensé que ce public avait encore plus besoin d'être intéressé et motivé.

C'est pourquoi j'ai choisi ce thème pour mon mémoire professionnel : « Enseigner les mathématiques en zone difficile ». Je ne vais pas ici m'attarder sur les questions concernant gestion du comportement des élèves. Je vais plutôt m'intéresser aux moyens de motiver ces élèves, de leur donner envie de faire des mathématiques.

Dans la première partie de ce mémoire, je vais tout d'abord définir la notion de « zones difficiles ». Quelles sont leurs caractéristiques ? Quels critères entrent en jeu dans cette classification ? Depuis quand existent-elles ? Quels sont les moyens mis en oeuvre pour trouver des solutions d'aide ? Autant de questions auxquelles je m'appliquerai à répondre. J'essaierai ensuite d'expliciter la nécessité de donner du sens aux notions enseignées afin notamment d'intéresser les élèves, tout particulièrement en mathématiques. Je m'appuierai pour cela sur des expérimentations que j'ai pu réaliser durant mon stage en responsabilité. Pour finir la première partie, je parlerai de la motivation des élèves, comment la provoquer, comment la conserver ? Je m'appuierai notamment sur la notion de confiance et sur la valorisation des élèves ; je détaillerai également quelques expérimentations personnelles réalisées pendant le stage.

Dans la seconde partie de ce mémoire, je m'intéresserai à une nouvelle pratique pédagogique : la narration de recherche. C'est en effet un outil passionnant qui peut être particulièrement efficace en zone difficile ; c'est la raison pour laquelle j'ai choisi de m'y intéresser. Je définirai donc dans en premier temps la notion de narration de recherche : quel est son fonctionnement, quels sont ses objectifs ? En quoi constitue-t-elle un atout majeur

dans l'apprentissage des mathématiques ? J'expliciterai ensuite les raisons pour lesquelles il peut être très intéressant d'utiliser cet outil en zone difficile. Pour finir, je détaillerai une expérimentation de narration de recherche réalisée pendant mon stage en responsabilité.

I. Enseigner en zone difficile

Dans cette partie, je vais tout d'abord donner une définition plus précise des établissements en zone difficile, puis je m'intéresserai à la motivation des élèves et aux moyens de la susciter. Enfin, je développerai l'importance de donner un sens aux notions enseignées aux élèves, plus particulièrement dans ce type d'établissement.

1) Qu'est-ce qu'une « zone difficile » ?

C'est en 1981 qu'apparaît pour la première fois la notion de « ZEP » (Zone d'Éducation Prioritaire). Cette politique d'éducation s'appuie sur une discrimination positive dans l'emploi des moyens au service de l'égalité des chances. Elle essaye de donner une solution aux difficultés sociales et scolaires de certains établissements. Pour classer les établissements scolaires en ZEP, deux types de critères sont pris en compte. Tout d'abord des critères internes : pourcentage des élèves étrangers non francophones, pourcentage des élèves « en retard » (c'est-à-dire ayant redoublé une ou plusieurs fois), nombre de part de bourses, nombre d'élèves en CPPN/CPA (classes professionnelles), classes de pré professionnalisation. Mais également des critères externes : structuration socio-économique du quartier, catégorie socioprofessionnelle, taux de chômage, nombre de familles nombreuses, proportion d'étrangers, densité de l'habitat, fréquence des placements d'enfants et des interventions d'assistances éducatives, équipements et services collectifs (centres de loisirs, maisons de jeunes), nombres de Petites et Moyennes Entreprises (PME), caractéristiques de l'habitat (qualité, accès au centre ville). Cela mène à penser que les élèves des établissement scolaires classés ZEP sont issus de milieux très défavorisés.

En 1990, la volonté d'augmenter la réussite des tous les élèves et particulièrement dans les zones d'éducation prioritaire contribue à relancer cette politique. L'objectif principal est d'obtenir une augmentation des résultats des élèves.

En 1997, les « REP » (Réseaux d'Éducation Prioritaire) sont mis en place; ces réseaux proposent d'élaborer un contrat de réussite signé avec le recteur et les partenaires concernés. En 2006, les RAR (Réseaux Ambition Réussite) et les RRS (Réseaux de Réussite Scolaire) sont créés. Les RAR, au nombre de 249 à la rentrée 2006 regroupent les écoles et établissements concentrant le plus grand nombre de difficultés. Les RRS ont pour vocation à sortir progressivement du dispositif d'éducation prioritaire.

Dans ces établissements, un certain nombre de moyens sont mis en place afin de favoriser au maximum la réussite des élèves. En RAR par exemple, le label ambition-réussite donne droit à 1000 enseignants expérimentés (soit 4 par établissement) venant compléter les équipes à la rentrée 2006 et 3000 assistants pédagogiques assurant aide et soutien aux élèves. Cette aide est souvent précieuse pour les élèves qui ne bénéficient pas de conditions favorables pour travailler à la maison; ils peuvent ainsi obtenir gratuitement l'aide d'une personne qualifiée dans un environnement propice au travail.

En RAR ou RRS, les équipes enseignantes sont, la plupart du temps, très soudées et réunies autour d'un projet réalisé au sein de l'établissement visant à favoriser au mieux la réussite des élèves.

Ces établissements sont également souvent mieux équipés en matériel informatique. Toutes les salles disposent la plupart du temps d'un ordinateur ainsi que d'un vidéoprojecteur, ce qui offre plus de possibilités pédagogiques aux enseignants. Une salle informatique est disponible pour y emmener les élèves afin de varier au mieux les supports de travail. En mathématiques notamment ces outils ne sont pas négligeables et peuvent permettre d'excellentes conditions de travail a priori.

2) Donner du sens aux notions enseignées : une nécessité

2.1 Comment intéresser les élèves ?

Face à des élèves en difficulté, voir en échec scolaire, il est important de susciter la motivation. Tous les élèves ont besoin de motivation pour travailler, mais chez certains d'entre eux cette motivation est moins présente et parfois plus difficile à susciter. En effet, des élèves évoluant dans un milieu social favorisé comprennent plus facilement les raisons pour lesquelles il est important de réussir à l'école et ont, par conséquent, moins besoin d'être motivés par les enseignants. En revanche, un élève n'ayant pas d'ambition professionnelle particulière ou évoluant dans un milieu social plutôt défavorisé aura plus de mal à trouver une quelconque motivation pour les travaux entrepris en classe et risque par conséquent de s'ennuyer.

L'ennui des élèves à l'école provient souvent de ce que les contenus d'enseignement sont des
objets étranges qui leur restent étrangers. Ils les approchent, les observent, les digèrent parfois

sans réellement apprendre à les connaître. (Chabert-Ménager, [3]). Il paraît donc essentiel dans notre enseignement de mettre un point d'honneur à donner du sens aux notions que nous enseignons, et tout particulièrement en mathématiques. Si les élèves comprennent ce qui leur est enseigné ainsi que son utilité, ils seront plus disposés à travailler et donc plus motivés. Il semble par ailleurs logique de ne pas avoir envie de travailler lorsque l'on ne voit pas l'intérêt de ce que l'on nous enseigne. Le secret de la motivation consiste donc à « installer » l 'élève dans une activité prenant son sens en elle-même, qui soit rigoureusement définie et dont le contenu possède ses lois de fonctionnement identifiables et maîtrisables. Cette attitude particulière qui permet de constituer les contenus d'enseignement en « objets » sur lesquels on peut agir introduit à une conception du rapport au savoir qui n'est pas éloignée de l'activité ludique (Chabert -Ménager, [3]). Même si cette réflexion n'est pas seulement valable en zone difficile, elle prend encore plus son sens dans ces établissements. En effet des élèves que l'on pourrait qualifier de « bons » peuvent apprendre une leçon sans forcément y voir un intérêt quelconque. En zone difficile, la plupart des élèves (voir la totalité) ne peuvent pas apprendre une leçon dont ils ne voient pas l'utilité. Ils refusent de se plier aux « règles » qui consisteraient à apprendre la leçon sans poser de question. Ils ont encore plus besoin de comprendre ce qu'on leur apprend. Il est important que les élèves comprennent pourquoi ils vont à l'école, pourquoi ils doivent s'approprier des connaissances. Les élèves qui ne comprennent pas le sens de leur présence à l'école n'auront aucune motivation. Si en revanche ils savent que c'est important pour leur avenir, pour leur projet professionnel, ils pourront se montrer plus motivés et plus rigoureux.

Il est également nécessaire de trouver un moyen d'intéresser l'élève en permanence, d'introduire les notions d'une façon qui se rapproche du jeu afin qu'il ne s'ennuie pas et qu'il puisse apprécier ce qu'il fait. Il faut pour cela proposer aux élèves des activités ludiques, permettant de donner du sens à la notion introduite et auxquelles il sera possible de faire appel par la suite afin de rappeler aux élèves tout au long du chapitre, voir de l'année, l'utilité de cette notion.

2.2 Quelques exemples d'expérimentation

2.2.1 Présentation des classes

Lors de mon stage en responsabilité, j'ai pris en charge deux classes de quatrièmes dans un établissement classé « Réseau de Réussite Scolaire » (RRS). J'ai dès les premières

heures de cours pu constater que dans chaque classe, une moitié des élèves au moins ne montrait pas d'intérêt particulier à ce que je leur enseignais. La plupart bavardait sans cesse, plus ou moins discrètement et les sanctions ne semblaient pas les effrayer outre mesure. Après en avoir discuté avec plusieurs enseignants intervenant dans ces deux classes, j'ai vite compris que ces élèves se désintéressaient complètement de l'école et pour la plupart n'avaient pas de suivi chez eux. Pour essayer de calmer les bavardages et d'instaurer un climat plus calme dans les classes, j'ai mis en place un plan de classe pour chaque classe en essayant de séparer les plus bavards. Cela n'a pas été évident étant donné que je ne connaissais les élèves que depuis très peu de temps. J'ai également mis en place des sanctions pour le bavardage : recopie du cours, exercices supplémentaires, qui étaient suivies d'heures de colle dans le cas où elles n'étaient pas effectuées. Les élèves étaient au courant à l'avance de ce qu'ils risquaient, ils n'étaient donc pas pris au dépourvu et ne pouvaient attribuer la sanction qu'à leur comportement. J'ai essayé de ne rien laisser passer, d'appliquer ces nouvelles règles très rigoureusement en espérant que les élèves se lasseraient assez rapidement de ces sanctions. Malgré ces aménagements, le calme n'est pas arrivé immédiatement dans la classe et l'attitude des élèves n'est pas devenue exemplaire. Il m'a donc semblé particulièrement nécessaire de mettre en place des activités qui pourraient être susceptibles d'intéresser les élèves afin de piquer leur curiosité, de leur donner envie d'apprendre. Je voulais également que ces activités permettent de donner du sens aux notions enseignées pour que les élèves comprennent pourquoi elles leurs étaient transmises et ne les voient pas comme des lignes de plus à apprendre par coeur.

Je vais donc dans la suite détailler deux activités que j'ai mises en oeuvre durant mon stage en responsabilité. Ces deux activités avaient pour but d'introduire des notions concernant les puissances.

2.2.2 Activité introduisant la notation avec les puissances

La première activité dont je vais parler (cf. annexe 1) avait pour vocation d'introduire la notation des puissances en classe de quatrième. Cette activité avait deux objectifs principaux : tout d'abord, introduire la notation avec les puissances et ensuite justifier l'utilité de cette notation. L'idée pour cela était de faire apparaître des grands nombres, très difficiles à lire, et de donner aux élèves une autre façon de les écrire, beaucoup plus rapide et facile à lire. Lors du déroulement de cette activité, je souhaitais que ce soit les élèves qui découvrent les

notions, notations et leurs utilités sans mon aide. Je voulais vraiment que les élèves construisent eux-mêmes le cours afin qu'ils puissent le retenir plus aisément.

L'activité se base sur un texte que j'ai voulu accessible par tous les élèves et qui de plus, pouvait susciter la curiosité et par conséquent la motivation de la plupart d'entre eux. En effet, le texte parle d'une rumeur qui se propage au collège, c'est une situation parfaitement réaliste pour les élèves qui peuvent tout à fait s'identifier aux « personnages » de ce texte.

Dans la première phase de cette activité, les élèves cherchent individuellement à répondre à la première question, c'est-à-dire à remplir le tableau correspondant au nombre de personnes informées de la rumeur les premiers jours du mois d'avril. La mise en commun se fait assez rapidement afin de ne pas laisser des élèves s'engouffrer dans de mauvais raisonnements et donc de mauvais calculs. Pour corriger cette question en classe, j'ai choisi de représenter la situation au tableau par un arbre (cf. annexe 2) afin que les élèves puissent visualiser la situation. Je pense en effet que cette façon de procéder est plus ludique qu'une « simple » explication car elle se présente sous forme d'un dessin. De plus, certains élèves ayant une mémoire visuelle, ils retiendront plus facilement cette présentation. Grâce à l'arbre, le fait qu'il faille multiplier par 3 pour passer d'un jour au suivant est venue de manière intuitive pour la plupart des élèves. J'ai donc fait apparaître à côté de l'arbre les opérations nécessaires pour trouver le résultat en laissant toutes les multiplications par 3 (cf. annexe 2).

Pour la suite de l'activité, j'ai utilisé le tableur. La manipulation n'étant pas évidente, j'ai manipulé seule le tableur, en vidéo-projetant la manipulation au tableau. Ce sont par ailleurs les élèves qui devaient me dire comment remplir les cellules. L'utilisation du tableur dans cette activité visait à introduire la notation avec les puissances mais également à mettre en évidence son intérêt. Voici comment s'est déroulée la manipulation : dans un premier temps, j'ai bien expliqué aux élèves à quoi correspondaient les différentes colonnes: dans la colonne A, ce sont les jours du mois d'avril, dans la colonne D on trouve le nombre de personnes qui apprennent la rumeur chaque jour, et dans la colonne E les opérations permettant de calculer le nombre de personnes informées de la rumeur chaque jour (c'est-à-dire les multiplications par 3) (cf. annexe 3). J'ai ensuite demandé aux élèves comment remplir la colonne D, le but étant qu'ils remarquent qu'il suffisait de multiplier par 3 le résultat de la case du dessus. Pour les premières cases, ils m'ont donné les résultats qu'ils avaient calculés auparavant puis Thibault et Joris m'ont fait remarquer que grâce au tableur il y avait un moyen plus rapide de calculer les résultats des cases suivantes. C'était tout à fait la réaction que j'attendais car c'était

là une grande partie de l'utilité du tableur. Lors de cette activité, même si j'ai manipulé seule le tableur, les élèves ont été actifs car ce sont eux qui me dictaient le remplissage des cellules ; il est important que les élèves se sentent acteurs et non pas spectateurs de la séance, c'est en construisant eux-même les notions qu'ils les retiendront le mieux. Dans la suite de l'activité, lorsque j'ai « glissé vers le bas » afin de remplir les autres cases, les élèves ont pu constater que le nombre de personnes augmentait à une vitesse impressionnante, et que le nombre obtenu dans la dernière case était très grand, la plupart d'entre eux ne savaient d 'ailleurs pas comment il se lisait. Ryan a laissé échapper un « ouuuaaaaaaaaahhh » d'étonnement, surpris par la longueur du nombre obtenu dans la trentième case. J'ai ensuite de la même façon « glissé vers le bas » le contenu de la colonne E, ce qui a permis d'afficher les opérations (seulement les multiplications par 3) permettant d'obtenir le résultat de la colonne D (cf. annexe 4). Lorsque j'ai réalisé cette manipulation, il y a eu une forte réaction des élèves, similaire à celle de Ryan, qui ont été impressionnés par la taille que prenaient les multiplications successives. C'est grâce à cette réaction que j'ai pu suggérer de trouver une écriture qui pourrait simplifier aussi bien l'opération que son résultat qui n'était pas lisible. Pour faire « deviner » cette notation aux élèves, j'ai fait appel à une notation qu'ils connaissaient déjà : le carré d'un nombre. Je suis donc repartie du haut du tableau en faisait remarquer aux élèves qu'ils connaissaient une autre écriture de « 3x3 »; je leur ai ensuite fait remarquer que « 3x3 = 3² » et que la puissance correspond ici au nombre de facteurs de l'opération effectuée. Ce sont ensuite les élèves qui à partir de ces observations ont eux même trouvé la notation correspondant aux opérations suivantes. Florine m'a par exemple suggéré : « Du coup quand on a trois facteurs, on met un petit 3 en haut, et quand on en a quatre, on met un petit 4, etc. ». J'ai fait apparaître cette notation dans les colonnes B et C du tableur (cf. annexe 5), il ne restait plus alors qu'à introduire le vocabulaire. Grâce aux étapes précédentes, les élèves ont pu comprendre l'utilité, et même dans certains cas la nécessité d'utiliser la notation avec les puissances. Ils ont en effet découvert un moyen court et rapide d'écrire un nombre très long correspondant à une suite d'opérations. Ce qui a été mis en avant dans cette activité est réellement le fait qu'écrire une suite de multiplications d'un même nombre grâce à la notation avec les puissances permet tout d'abord une économie de temps mais également d'éviter un certain nombre d'erreurs dues par exemple à un grand nombre de facteurs. Il y a en

effet moins de risques de se tromper en écrivant 3³⁰ que « 3x3x...x3 » avec trente facteurs ^oül'on risque d'oublier ou de rajouter des facteurs. Il est également plus facile d'écrire 3³⁰ que

l'écriture décimale de ce nombre. Ce sont ces deux points que je souhaitais mettre en avant dans cette activité. De plus, ce sont les élèves qui ont construit cette notation car ils en avaient besoin pour simplifier les notations dont ils disposaient auparavant. Ils en voient donc immédiatement l'utilité et pourront ainsi se souvenir des raisons pour lesquelles elle est nécessaire.

Dans la suite du chapitre, j'ai fait appel plusieurs fois à cette activité lorsque les élèves ne se souvenaient plus à quoi correspondait cette écriture ; ils pouvaient ainsi se remémorer l'activité et donc la définition de cette notation ainsi que son utilité.

Cette activité s'est déroulée comme je le souhaitais avec mes deux classes. Durant cette séance, les élèves ont été plutôt attentifs et ont beaucoup participé. La rumeur a piqué leur curiosité et ils avaient envie d'avoir la réponse à la question posée. Ils ont construit euxmêmes cette notation et ont pu en constater l'utilité. Ce fut une séance très positive, que je n'hésiterai pas à renouveler avec mes classes futures.

Une dernière remarque à propos de cette activité : lors de l'affichage du nombre correspondant aux personnes informées de la rumeur le 30 avril, Lory m'a fait remarquer que ce nombre était supérieur à 6,6 milliards, et donc supérieur au nombre d'habitants sur Terre. C'est une chose à laquelle je n'avais pas pensé mais sur laquelle il est possible de rebondir en mettant en avant la vitesse de propagation que permet un outils tel qu'internet ou même le téléphone. C'est là encore une réalité qui touche tous les élèves de nos jours. Cette remarque démontre cependant que l'activité a réellement fonctionné, en effet si Lory pose cette question c'est qu'elle montre un intérêt certain à l'activité proposée et à son résultat. Cela signifie que l'activité a eu l'effet escompté : les élèves s'y sont réellement intéressés et c'est sans doute la raison pour laquelle ils se sont montrés sérieux et volontaires tout au long de la séance.

2.2.3 Activité donnant du sens à l'écriture scientifique

Cette seconde activité avait pour but de montrer aux élèves une utilité de la notation scientifique (cf. annexe 6). Lors de la séance précédente, j'avais introduit la notation scientifique, cette activité venait à la séance suivante pour justifier l'utilité de cette écriture. Cette activité était à mon sens indispensable, il me semblait impossible de continuer le chapitre et de demander aux élèves d'utiliser l'écriture scientifique sans leur en avoir justifié l'utilité. Là encore, le fait de donner du sens a permis par la suite d'éviter que les élèves utilisent une notation sans en avoir compris le sens. Cette écriture existe, certes, mais

pourquoi ? À quoi sert-elle ? C'est pour répondre à ces questions que j'ai mis cette activité en place.

L'activité proposait de comparer des distances relativement grandes, ces distances étant données sous des écritures différentes. J'ai tout d'abord mis en avant grâce aux remarques des élèves que comparer ces distances en les laissant sous cette forme était plutôt compliqué. En effet, aucune n'est sous la même forme. J'ai alors demandé aux élèves sous quelle forme ils pourraient écrire ces trois distance de manière à pouvoir les comparer plus facilement. Thibault et Benjamin ont alors proposé de mettre les trois distances en écriture décimale. Comme ça n'était pas la réponse que j'attendais, j'ai mis de côté cette proposition en disant aux élèves que c'était une bonne idée, mais que lorsqu'on travaille avec de très grands nombres, il devient vite difficile de savoir lequel est le plus grand. Thibault a tout de même tenté l'expérience et a pu constater que son idée fonctionnait à condition d'être attentif au moment de compter les chiffres formant le nombre final. J'ai ensuite demandé quels outils ils avaient à leur disposition pour écrire un nombre de manière différente, Quentin a alors suggéré d'utiliser l'écriture scientifique. Suite à cela, les élèves ont individuellement écrit chaque distance en notation scientifique ; j'ai pu ensuite expliciter la rapidité de comparaison que permettait cette notation et en convaincre les élèves. Une chose que je n'ai pas faite mais qui aurait été intéressante à faire était d'écrire les distances sous forme décimale ou de demander à un élève de venir le faire au tableau pour montrer aux élèves que cette méthode, même si elle n'est pas forcément plus longue, peut s'avérer plus laborieuse que celle consistant à passer par la notation scientifique. En effet, une fois les distances écrites sous forme scientifique, la comparaison est immédiate. En revanche, la comparaison des écritures décimales peut être bien moins rapide et évidente.

Grâce à cette activité, les élèves ont pu comprendre l'utilité de la notation scientifique. Ils ont ainsi donné du sens à la notation qui leur avait été introduite et ont pu par la suite l'utiliser sans avoir à se demander pourquoi cette notation existait. Ce type d'activité permet d'éviter que les élèves aient à appliquer des formules sans les comprendre. C'est une chose d'autant plus nécessaire en zone difficile car comme je l'ai précisé auparavant, des élèves en difficulté auront beaucoup plus de mal à appliquer des formules dont ils ne comprennent pas le sens ni l'utilité que des élèves qualifiés de « bons ». Donner du sens aux notions permet aux

Pour tirer un bilan de cette activité, j'ai donné un exercice similaire à cette activité au contrôle (cf. annexe 7). Il s'agissait cette fois de comparer des superficies de planètes. Le passage par l'écriture scientifique n'était pas obligatoire, la méthode pour arriver au résultat était libre. J'ai alors pu constater si les élèves avaient l'idée d'utiliser l'écriture scientifique pour comparer des grands nombres. Voici quelques exemples de leurs copies :

Ici, Axelle (à gauche) et Élodie (à droite) ont bien pensé à écrire les superficies des planètes en écriture scientifique. En revanche, si Axelle a apparemment bien compris comment comparer ces nombres une fois sous cette forme, ça n'est pas le cas d'Élodie qui a sans doute comparé uniquement le nombre précédent la puissance de 10, sans faire attention à cette puissance.

Ces quatre élèves, Camille (en haut à gauche), Clarisse (en haut à droite), Élisa (en bas à gauche) et Émilien (en bas à droite) ont préféré écrire chaque superficie sous forme décimale afin de les comparer. Ils se sont tous les quatre trompés lors de la transformation de l'écriture, mais l'idée était la même. Ces élèves n'ont peut-être pas bien compris l'utilité de l'écriture scientifique, ou peut-être préfèrent-ils simplement écrire les nombres sous forme décimale. Beaucoup d'élèves ont résolu le problème de cette façon, moins ont utilisé la notation scientifique.

La copie de Juliette (à gauche) est particulièrement intéressante. En effet, Juliette n'était pas présente lorsque l'activité sur la comparaison des distances a été faite. Elle a sans doute rattrapé son cours, mais il semble

ici qu'elle ait eu l'idée elle même d'utiliser l'écriture scientifique pour comparer les superficies. (Je dois tout de même préciser que Juliette est une excellente élève.)

Grâce à cet exercice, j'ai pu constater qu'une minorité des élèves avait utilisé l'écriture scientifique pour comparer les superficies. Même si je pense que l'activité réalisée en classe a permis aux élèves de donner une utilité à l'écriture scientifique, la plupart préfèrent encore revenir à ce qu'ils connaissaient auparavant et qu'ils maîtrisent sûrement mieux : la forme décimale. Je pense que pour les convaincre davantage, j'aurais dû faire appel à de plus grands nombres, des nombres difficiles à écrire sous forme décimale. Les élèves auraient alors pu constater davantage la nécessité d'utiliser l'écriture scientifique. Il aurait d'ailleurs été intéressant d'envoyer un élève au tableau écrire les très grands nombres sous forme décimale en espérant qu'il oublie un zéro ou en mette en trop, afin de démontrer à l'ensemble des élèves que la méthode qui consiste à passer par l'écriture scientifique est plus fiable car elle comporte moins de risques d'erreurs. C'est, je pense, la façon dont je procèderai si je devais de nouveau présenter à des élèves l'utilité de la notation scientifique. Je me suis par ailleurs rendue compte que les valeurs proposées dans l'énoncé de l'exercice fait en classe (cf annexe 6) comportaient chacune quatre chiffres significatifs. Par conséquent l'écriture scientifique n'était pas réellement nécessaire pour comparer ces distances. En effet, comparer 1496x10⁵, 5766x10⁶ et 1425x10⁶ aurait sûrement été plus évident pour les élèves que la comparaison de ces mêmes nombres en écriture scientifique. L'écriture scientifique ne présentait ici pas réellement d'intérêt. Il aurait été plus judicieux de choisir trois longueurs en ne donnant pas le même nombre de chiffres significatifs afin de rendre réellement nécessaire l'écriture scientifique.

3) Face à un public difficile, comment agir sur la motivation des élèves ?

Lorsque l'on enseigne en zone difficile, il est souvent plus difficile de se retrouver face à une classe motivée pour travailler. Je vais essayer dans ce paragraphe de mettre en avant plusieurs moyens de provoquer cette motivation.

3.1 Instaurer un climat de confiance

Dans toute relation humaine, la confiance est une chose indispensable pour assurer une relation saine. En tant qu'enseignants, nous avons un rôle « d'humain » vis à vis de nos élèves et par conséquent une relation humaine s'installe. Afin de mener à bien cette relation et de faire en sorte qu'elle évolue tout au long de l'année scolaire de manière satisfaisante, il est nécessaire d'instaurer un climat de confiance avec nos élèves.

De plus, la confiance que l'on porte en nos élèves peut influer sur leur comportement, leur motivation et leur réussite. C'est ce que met en avant l'étude réalisée par Rosenthal dont les résultats sont connus sous le nom d' « effet Pygmalion ». Cette étude révèle que les résultats obtenus sont meilleurs lorsque le professeur est confiant dans les aptitudes à progresser de ses élèves (Chabert-Ménager, [2]). Si par exemple deux élèves ont des chances de réussite identiques a priori, mais si leur enseignant ne nourrit pas les mêmes espoirs pour ces deux élèves, s'il a plus confiance en la réussite de l'un de ces deux élèves, alors ce même élève aura au final plus de chances de réussir. En effet, si l'élève sent que son professeur le croit capable de réussir, il pourra se convaincre lui-même qu'il en est capable. En revanche si un élève sent que son professeur ne le pense pas capable de réussir, il pourra penser que le professeur étant la personne qui détient les savoirs, il a forcément raison et par conséquent se convaincre qu'il n'est pas capable de réussir. Même si cela ne concerne pas que l'enseignement en zone difficile, je pense que c'est une chose à laquelle il faut faire très attention. Ne pas dévaloriser les élèves est essentiel pour qu'ils aient confiance en eux. Croire en leurs progrès futurs leur donne une sorte de but, ils savent que quelqu'un leur fait confiance et n'ont pas envie de trahir cette confiance, ils vont donc faire des efforts pour progresser. De plus dans les établissements difficiles, la plupart des élèves sont issus de milieux défavorisés. Ils peuvent alors nourrir une ambition moins importante de part leur milieu social, et par conséquent ne pas trouver de motivation qui pourrait, par exemple, être due à leur projet professionnel.

Lorsque le climat de confiance est installé, que l'élève sait que son professeur a confiance en

sa capacité à réussir, il devient plus facile pour l'élève de trouver de la motivation. Tant que les élèves ont l'impression que l'enseignant est là pour eux, qu'il travaille pour eux, qu'il essaye de les comprendre, cela ne peut que fonctionner, même avec des classes dites « très difficiles » (Terran, [20]). Je pense en effet que les élèves en zone difficile ont besoin d'attention, besoin de sentir qu'on s'intéresse à eux et qu'on a envie de les aider, et cela encore plus que dans n'importe quel établissement. Ce sont souvent des élèves qui ne sont pas très entourés, et le fait de s'intéresser à eux peut leur donner confiance en eux. De plus, les élèves en difficulté scolaire peuvent se conformer aux stéréotypes associés à leur groupe en adoptant des comportements antiscolaires, en manifestant un manque d'assurance (Guyon, [13]). Lorsque des élèves sont catalogués comme étant « en difficulté », leur estime d'eux même peut baisser. Ils se disent que si les adultes les qualifient ainsi, c'est qu'il n'y a plus rien à faire pour eux, que ce sont des cas désespérés. Ils vont donc en quelque sorte entrer dans ce rôle en sur-développant cette difficulté et contribuer ainsi à l'amplifier. Là encore, l'importance de l'estime que porte l'enseignant à ses élèves est très présente, elle joue un rôle non négligeable dans l'image que l'élève a de lui et dans la confiance qu'il place dans sa capacité à réussir. D'autre part, il est également important de considérer chaque élève dans son individualité, de donner une place à chaque élève. Les élèves doivent sentir qu'ils ne sont pas uniquement considérés comme étant un membre quelconque de l'ensemble « classe » mais bien comme un individu à part entière. C'est ce statut qui permettra d'établir un lien de confiance entre l'élève et l'enseignant. Cette différentiation permet également au professeur de s'adapter au niveau de chacun. Il est en effet nécessaire de prendre en compte le niveau de chaque élève afin de proposer des activités adaptées. Si un exercice est trop difficile pour un élève, qu'il n'a pas le niveau nécessaire pour le réussir, ce dernier va se sentir rejeté car il ne pourra pas participer à l'activité de la classe. Le professeur doit pouvoir proposer à chaque élève une activité adaptée à son niveau afin que tous les élèves puissent fournir un travail. Les élèves doivent sentir que l'on s'intéresse à eux personnellement. De plus, si un élève n'a pas le niveau pour réaliser une activité, il ne s'y intéressera pas et par conséquent sa motivation s'en trouvera baissée. En intéressant les élèves grâce à des activités adaptées à leur niveau et à leurs capacités, il est plus facile d'agir sur leur motivation.

3.2 Valoriser la réussite des élèves

susciter la motivation des élèves : valoriser leur travail. Les élèves sont en effets très sensibles à nos remarques, nos appréciations concernant le travail qu'ils effectuent. C'est pourquoi il faut être très attentif à notre discours vis à vis des élèves. C'est parfois difficile de se maîtriser mais il faut toujours avoir en tête que le moindre petit dérapage verbal peut suffire à bloquer un élève pour le reste de l'année. Ils doivent avoir l'impression que si on leur demande de respecter les adultes, c'est aussi parce que les adultes les respectent (Terran, [20]). La notion de respect est une notion évidemment toujours très importante, mais je pense qu'elle l'est encore plus face à des élèves qui viennent de milieux défavorisés et qui n'ont la plupart du temps pas confiance en eux. Pour se faire respecter il faut avant tout respecter les élèves, ils se sentiront ainsi en sécurité. Le fait de dire à un élève qu'il est « nul », ne serait-ce qu'une seule fois, peut suffire à lui faire perdre toute confiance en lui pour le reste de l'année, et même des années à venir. Ceci est en lien évident avec la partie précédente, il faut donner aux élèves confiance en eux et veiller à conserver cette confiance tout au long de l'année. Il faut en réalité mettre en avant les points positifs, les bonnes intentions des élèves en veillant à ne pas dévaloriser leur travail. Il faut constamment les encourager à continuer dans la réussite. Pour cela, il faut auparavant cibler les points forts et les points faibles de chaque élève. Plus les situations d'apprentissage et les dispositifs sont variés, plus on peut cibler à la fois les difficultés et les qualités de l'élève pour le mettre en confiance, le valoriser, éléments essentiels pour le motiver et le faire progresser (Guyon, [13]). Il est en effet important de varier les méthodes de travail : travaux individuels, en groupe, exercices en classe, à la maison... Ainsi, chaque élève trouve la méthode de travail qu'il préfère, celle pour laquelle il est le plus efficace. Cela permet de mettre en avant les qualités de chaque élève. Il faut éviter qu'un élève se retrouve enfermé dans une méthode de travail qui ne lui convient pas, car il ne pourra pas faire valoir ses capacités. De plus lorsqu'un élève se sent à l'aise, il sera plus performant car il travaillera avec plus de confiance en lui. Et tout ceci fonctionne comme une sorte de « cercle vertueux » : l'élève montre ses capacités à réussir, il est alors encouragé par son enseignant, cela le motive pour travailler et réussir de nouveau, etc. Pour que ce cycle fonctionne, les enseignants et les élèves doivent se persuader que l'intelligence est malléable, c'est-à-dire qu'elle évolue dans le temps et suivant les tâches (Guyon, [13]). C'est une chose que je trouve très importante, et il est impératif de bien la faire comprendre aux élèves. Certains élèves peuvent penser que s'ils ne comprennent pas une notion, ils ne pourront en comprendre aucune autre et par la suite baisser complétement les bras. C'est une chose à

éviter le plus possible en faisant bien comprendre aux élèves qu'un échec n'est pas une fatalité et qu'ils sont maîtres de leur réussite future. En tant qu'enseignants nous avons une grande influence sur la réussite des élèves de part notre conduite à leur égard. C'est une conduite à laquelle il est indispensable de faire très attention afin de mettre le plus de chances possible du côté de ces derniers.

Une autre façon de valoriser le travail des élèves réside dans l'évaluation. Il faut tout d'abord, et cela est lié à mon premier paragraphe, informer clairement les élèves des notions sur lesquelles ils vont être interrogés. C'est en effet un moyen de les mettre en confiance à condition de respecter le contrat proposé et de ne pas réserver de « surprises » aux élèves lors de cette évaluation. Si les élèves savent exactement sur quoi ils vont être interrogés, sur quels types d'exercices ils risquent de tomber, ils se sentiront plus confiants dans leur capacité à réussir. Il est ensuite important lors de la correction des copies de mettre en avant pour chaque élèves les points positifs du travail fourni et ne surtout pas se contenter d'appuyer sur les points à revoir. Les élèves doivent sentir que même s'ils n'ont pas tout réussi et même si leur résultat ne les satisfait pas, il y a quand même des points positifs auxquels ils peuvent s'accrocher.

3.3 Expériences personnelles

Lors de mon stage en responsabilité, que j'ai effectué en zone difficile, j'ai pu essayer de mettre en application certains de ces points afin d'augmenter la motivation des élèves. Je voulais en particulier favoriser le dialogue avec mes élèves, leur montrer que je n'étais pas seulement une enseignante mais également une personne humaine capable de comprendre leurs sentiments. Je voulais mettre un point d'honneur à essayer d'instaurer un climat de confiance afin d'optimiser les conditions de travail autant pour moi que pour les élèves.

En classe, différents comportements d'élèves peuvent amener l'enseignant à s'interroger sur les raisons de ces comportements mais également sur la façon de les modifier. Le premier exemple que je vais aborder est celui de Kevin qui est un élève très extraverti, qui n'hésite pas à s'exprimer à tout moment. Son comportement est gênant d'une part car il perturbe le déroulement du cours, mais d'autre part car Kevin, à cause de ce comportement, ne se permet pas de suivre le cours. Le second exemple dont je vais parler concerne un comportement à l'opposé de celui de Kevin ; c'est celui de Dylan qui lui ne perturbe absolument pas le déroulement du cours étant donné que cet élève ne fait strictement rien. Ces

deux comportements, complètement opposés, conduisent tout de même à un résultat similaire : dans les deux cas les élèves ne suivent absolument pas le cours.

Premier exemple : Kevin est un élève particulièrement dissipé. Lors des premières séances il ne suivait pas le cours et ne manquait pas une occasion de distraire ses camarades en prenant la parole à haute voix pendant le cours pour commenter des choses sans rapport avec la leçon. A chaque fois que je lui demandais de se mettre au travail, Kevin me répondait « De toutes façons je comprends rien aux maths, c'est trop dur ! ». Au bout de deux ou trois séances, j'ai demandé à Kevin de venir me voir à la fin de l'heure. Une fois en tête à tête avec lui, je lui ai expliqué qu'il avait les capacités nécessaires pour comprendre le chapitre en cours, qu'il suffisait qu'il y mette un peu de bonne volonté. Je lui ai également parlé de son avenir, en lui expliquant que ça serait dommage qu'il passe à côté de ce qu'il voulait faire juste à cause d'un peu de mauvaise volonté. À la séance suivante, l'attitude de Kevin a été exemplaire. Il a suivi le cours, n'a pas bavardé et a participé activement durant toute la séance. À chaque fois qu'il participait, je ne manquais pas de le féliciter ; il était même déçu lorsque je ne l'interrogeais pas (si je l'avais interrogé à chaque fois qu'il levait la main, je n'aurais interrogé que lui). À la fin de la séance, je suis allée lui dire que j'étais très contente de son attitude et je lui ai demandé s'il avait apprécié le déroulement de la séance, ce à quoi il m'a répondu que oui car il avait tout compris. Cette attitude a duré plusieurs séances, mais au bout d'un certain temps il a commencé à se lasser et à reprendre ses mauvaises habitudes. C'est un travail sur les élèves qui ne s'acquiert pas en une séance, il faut recommencer en permanence et tout au long de l'année pour obtenir des résultats sur le long terme. Un jour où Kevin a été particulièrement bavard en classe, j'ai mis une observation dans son carnet (après l'avoir averti bien sûr que ça lui arriverait s'il ne se taisait pas). Dès l'instant où j'ai pris son carnet, Kevin s'est complétement braqué et a refusé de travailler pour le reste de l'heure. Il m'a paru à ce moment là très difficile de trouver le juste milieu pour gérer ce genre de comportement. Il faut essayer de mettre les élèves au travail, mais sans les bloquer en sanctionnant trop leur comportement et je pense que c'est une chose qui varie d'un élève à l'autre. Il faut donc essayer de trouver un juste milieu, qui pourra être propre à chaque élève et stimuler constamment la motivation des élèves.

Deuxième exemple : Dylan est un élève qui se place au fond de la classe et qui ne travaille pas de l'heure. Il n'est pas particulièrement dérangeant de part son comportement,

même s'il aime bien de temps en temps se faire remarquer, mais il refuse de travailler. Son cahier reste fermé durant toute la séance, ses exercices ne sont pas faits et il ne copie ni le cours, ni la correction des exercices. Comme je n'avais pas le temps de débattre avec lui durant le cours, je lui ai également demandé de venir me voir à la fin de l'heure au bout de la deuxième séance. Lorsque j'ai demandé à Dylan pourquoi il refusait de travailler, il m'a répondu que ça ne servait à rien car de toute façon il était nul, alors pourquoi copier le cours puisqu'il n'allait pas le comprendre ? Cette fois parler de l'avenir professionnel n'a pas eu un grand impact, Dylan n'ayant aucun projet professionnel. Je lui ai donc expliqué qu'il n'était pas plus incapable que les autres élèves, et que s'il s'en donnait les moyens il pourrait sans aucun doute comprendre la leçon. Je lui ai demandé d'essayer, au moins pour le prochain cours, de faire un effort et de suivre la leçon et copier le cours. À la séance suivante, Dylan a fait un effort, il a copié son cours, en ne manquant pas de me le faire remarquer, et a suivi la leçon. Il n'a pas fait les exercices, mais il a suivi le déroulement de la séance et s'est même porté volontaire pour aller corriger une question au tableau. Son comportement n'a pas posé de problèmes, il ne s'est pas fait remarquer et je suis allée lui dire à la fin de la séance que j'étais contente de son comportement. Il m'a dit qu'il avait compris la leçon et qu'il continuerait à faire des efforts. Durant la suite de mon stage, le comportement de Dylan n'a pas beaucoup évolué, mais il a continué de copier le cours dans son cahier. De temps en temps il faisait les exercices et participait, mais il n'est pas devenu un élève « exemplaire ».

Le troisième exemple que je vais aborder ne concerne pas un élève en particulier. Je voulais aborder les observations que j'ai pu mettre sur les copies des élèves. Pour chaque copie, dans la mesure du possible, je me suis appliquée à mettre au moins un commentaire positif. Je ne voulais en aucun cas dévaloriser un élève qui aurait fourni un travail, même si ce travail ne correspondait pas aux attentes. Je voulais à tout prix éviter que des élèves se laissent décourager par une mauvaise note. Certains élèves ont été surpris d'avoir un commentaire tout de même positif alors que la note était loin d'être bonne ; ces mêmes élèves ont par la suite montré plus de motivation. Je souhaitais mettre en avant le travail fourni, et non pas uniquement le résultat. Les élèves ont alors compris qu'il ne fallait pas qu'ils se découragent et ont fait preuve de persévérance afin d'améliorer leurs résultats. Je pense notamment à Lise qui au début du stage était une élève très bavarde. Lorsqu'elle a vu que je m'intéressais à son travail, que même si je ne lui mettais pas de bonnes notes je l'encourageais à continuer à travailler car certains de ses résultats étaient prometteurs, elle s'est mise à suivre davantage en

classe et à bavarder beaucoup moins. Elle souhaitait que je sois fière d'elle, de son travail, de ses progrès et mettait tout en oeuvre pour y parvenir. Elle a compris que j'avais confiance en ses capacités à réussir et cela lui a donné envie de réussir.

Je souhaitais pour terminer cette partie parler également du déroulement d'une interrogation de cours. Les élèves étaient prévenus que cette interrogation aurait lieu, ils savaient exactement ce sur quoi ils allaient être interrogés car je leur avais clairement explicité la veille. Lorsque j'ai distribué les énoncés (cf. annexe 8), j'ai constaté que certains élèves ne regardaient même pas le sujet et attendaient patiemment que les cinq minutes passent. J'avais volontairement dans cette interrogation mis des questions relativement simples sur les puissances de 10 afin de la rendre accessible même aux élèves qui n'auraient pas eu envie de réviser ; en effet à chaque début de cours j'avais effectué des rappels sur les puissances de 10 et j'étais certaine que la quasi-totalité des élèves avaient bien assimilé cette règle. Je me suis donc dirigée vers les élèves qui n'avaient pas pris la peine de lire les questions, et je leur ai dit qu'ils savaient répondre aux questions concernant les puissances de 10, qu'ils l'avaient déjà fait plusieurs fois en cours. Suite à mon intervention, ces élèves ont répondu à ces questions et ont tous eu juste. Cette attitude révèle un manque de confiance certain de la part de ces élèves : ils étaient tellement persuadés de ne pas pouvoir réussir qu'ils ne se sont pas donné la peine d'essayer. Ils avaient l'habitude d'échouer et c'est même pour eux devenu logique de ne pas réussir. Leur réaction après que je leur aie affirmé qu'ils étaient capable de répondre aux questions montre bien l'importance de faire savoir à nos élèves la confiance que nous leur portons. C'est pour eux un facteur de réussite non négligeable.

Dans ces différentes situations, j'ai pu constater que le dialogue avec les élèves, et même simplement le fait qu'ils sentent que l'on s'intéresse à eux peut réellement modifier leur comportement, leur attitude. Je pense que le fait de croire en eux, de ne pas les cataloguer comme étant des « mauvais élèves » ou des « éléments perturbateurs » leur donne une importance, différente de celle que certains élèves cherchent à avoir en se faisant remarquer. Je me suis donc appliquée durant tout ce stage à valoriser au maximum les élèves afin de susciter leur motivation, de leur donner envie de travailler. C'était pour moi un objectif à atteindre et même si le stage fut relativement court, j'espère avoir réussi à convaincre un maximum d'élèves.

II. La narration de recherche: un début de solution

Dans cette seconde partie, j'ai choisi de m'intéresser à une nouvelle pratique pédagogique : la narration de recherche. Je vais donc tout d'abord définir ce qu'est la narration de recherche, quels sont ses objectifs, comment fonctionne-t-elle. J'expliciterai par la suite les raisons pour lesquelles ce type d'évaluation trouve réellement sa place en zone difficile, avant de parler d'expérimentations personnelles, réalisées pendants mon stage en responsabilité.

1) Qu'est-ce que la narration de recherche ?

1.1 Historique et définition

La narration de recherche est une nouvelle pratique pédagogique qui a vu le jour grâce au travail d'un groupe de recherche en didactique, construit par le groupe Géométrie de l'IREM de Montpellier ; ce groupe composé d'une douzaine de professeurs, enseignant en collège, en lycée et à l'université, a été créé en 1977 par Gérard Audibert.

L'idée de cette nouvelle pratique pédagogique, utilisée au collège et au lycée, est venue à la suite d'observations individuelles d'élèves, qui étaient en cours de recherche des solutions de problèmes. Lors de cette phase de recherche qui est faite d'essais, de tâtonnements, d'intuitions, les élèves peuvent faire preuve d'une grande ingéniosité et révéler des qualités souvent insoupçonnées. Ils sont très actifs, et mettent en oeuvre de nombreuses stratégies (Sauter, [19]). Cette phase de recherche doit être généralement suivie par une phase rédactionnelle qui synthétise la solution du problème. C'est cette phase qui bien souvent, pose problème aux élèves qui se retrouvent enfermés dans des règles de syntaxe et de grammaire. Ils ne peuvent rien écrire malgré une recherche très importante, s'ils jugent leurs résultats non présentables, leur solution non conforme au modèle attendu, ainsi ils s'autocensurent et il ne reste alors aucune trace de leur véritable recherche (Sauter, [19]). L'enseignant se retrouve alors obligé d'évaluer un travail incomplet qui ne sera jugé que sur le résultat final et pour lequel la recherche effectuée par les élèves ne sera pas prise en compte.

C'est suite à ces observations qu'est née la narration de recherche. Le principe est simple : il s'agit de demander à l'élève en situation de recherche d'un problème d'être son propre observateur et de mettre par écrit les différentes étapes de sa recherche. Un contrat est passé avec l'enseignant : l'élève s'engage à raconter sur sa copie toutes les étapes de sa recherche, les

erreurs qu'il a pu commettre, la façon dont lui sont venues les idées, sans se mettre des barrières dues à l'expression écrite, et en échange le professeur s'engage à porter son évaluation sur cette recherche sans privilégier le résultat final. C'est une pratique pédagogique qui permet de ne pas défavoriser les élèves fournissant un travail important sans pour autant parvenir au bon résultat. Les élèves sont en effet jugés sur le travail fourni et pas uniquement sur le produit fini.

1.2 Objectifs et déroulement

La narration de recherche présente plusieurs objectifs pour l'enseignant comme pour ses élèves. Elle permet tout d'abord de développer la curiosité et l'esprit critique des élèves ; ils sont en effet dans une situation de recherche innovante et motivante qui peut leur donner le goût de faire des mathématiques. Elle permet également de faciliter le passage à l'écrit en mathématiques, les élèves doivent en effet rédiger leurs recherche de manière correcte, ils prennent ainsi conscience de l'importance de la rédaction pour la résolution de problèmes mathématiques. Les narrations de recherches permettent également aux élèves d'appliquer et de consolider certaines règles mathématiques permettant de mettre en place un raisonnement ; ce sont des règles qui avant n'avaient un sens qu'en mathématiques pour les élèves, il vont constater que ces règles ont également d'autres utilités. Enfin, les narrations de recherche permettent aux enseignants une meilleure connaissance du niveau de leurs élèves, elles permettent une analyse en profondeur de leurs difficultés, de leurs points forts et de leurs points faibles. Le professeur est ainsi plus à même d'adapter son enseignement en fonction du niveau et des difficultés de ses élèves.

Voici à présent quelques critères permettant le bon fonctionnement de la narration de recherche (Sauter, [19]). Tout d'abord, le sujet proposé doit être assez court et simple, la réponse ne doit pas être évidente et le sujet doit piquer la curiosité des élèves afin de leur donner envie de trouver la solution. Il serait en effet dommage de laisser de côté quelques élèves à cause d'un texte trop compliqué ou trop long, la narration de recherche doit rester accessible à tous les élèves, même ceux qui présentent des difficultés de lecture et d'expression. De la même façon, il serait dommage que les bons élèves ne puissent pas réaliser correctement cet exercice à cause d'un énoncé dont la solution est trop simple. Chaque élève, quel que soit son niveau, doit pouvoir réaliser correctement et dans les meilleures conditions possibles la narration de recherche. Quelques exemples de sujets pourront être lus

Une deuxième chose importante pour le bon déroulement de la narration de recherche concerne la consigne qui est donnée aux élèves. C'est en effet cette consigne qui va guider les élèves dans leur démarche. Il faut donc que cette consigne soit précise et claire, sans être trop longue. Lors de la première narration de recherche avec les élèves, qui doit de préférence avoir lieu en classe, il faut bien expliquer les règles du jeu aux élèves. Mireille Sauter (Sauter, [19]) suggère d'introduire cet exercice avec la consigne orale suivante :

" Je vous propose un problème où vous aurez tous beaucoup de choses à m'écrire. Pourquoi ? Et bien tout simplement parce que je vous demande de ne pas vous contenter de me donner la réponse mais de me raconter en détail tout ce que vous avez fait pour la trouver ou pour essayer de la trouver. Vous me décrirez vos essais, toutes les pistes que vous avez essayées même si elles n'ont abouti à rien. Toute mon attention ira sur la qualité et la persévérance de votre recherche. Je ne tiendrai pas compte de l'orthographe ou de la syntaxe. J'attacherai plus d'importance à la précision de cette narration qu'au résultat trouvé lui-même."

Cette consigne qui est relativement claire regroupe en effet les traits principaux de l'exercice demandé : la narration des recherches sans se bloquer à cause des difficultés de français, et l'importance apportée à la recherche effectuée lors de la notation. Les élèves doivent bien comprendre qu'ils ne seront pas notés suivant qu'ils trouvent ou non la réponse à la question, mais bien sur les recherches qu'ils auront effectuées pour essayer de trouver cette réponse. Il faut leur faire comprendre que même s'ils ne trouvent pas de solution au problème, ils pourront avoir une bonne note à condition de montrer, grâce à leur narration, qu'ils se sont donnés la peine de chercher des moyens d'arriver au résultat.

Cette consigne orale doit être accompagnée d'une consigne écrite sur l'énoncé du sujet afin de mettre sur papier les attentes pour que les élèves y aient accès à tout moment. Par exemple, la consigne suivante peut apparaître (Sauter, [19]) :

" Raconte sur ta feuille les différentes étapes de ta recherche, les remarques, les aides, les observations que tu as pu faire et qui t'ont fait changer de méthode ou qui t'ont permis de trouver. Ce serait bien si tu pouvais joindre tous tes brouillons numérotés, donner des précisions sur la durée et l'organisation de ton travail. "

Les consignes sont vraiment importantes lors de la réalisation d'une narration de recherche,
notamment lors de la première narration de recherche des élèves. C'est en effet un exercice
qu'ils n'ont pas l'habitude de faire et qui bouscule leurs habitudes mathématiques. Ils étaient

jusqu'alors évalués sur un résultat, la conclusion d'une recherche personnelle. Grâce à cet exercice, leur recherche personnelle pourra être mise en valeur, ce qui n'était pas le cas auparavant.

Lors de la réalisation de narration de recherche, une autre étape très importante est le compte-rendu en classe. C'est en effet pendant ce compte rendu que les élèves vont comprendre les critères qui entrent en jeu pour réaliser une bonne narration de recherche. C'est également l'occasion de valoriser les élèves en difficulté (Sauter, [19]) en exposant à la classe les bonnes idées qu'ils ont pu avoir sans oublier de les citer. Ce compte-rendu permet de regrouper toutes les idées qu'ont eues les élèves afin qu'ils puissent construire eux-mêmes une solution au problème en regroupant toutes ces idées. C'est par ailleurs l'occasion de valoriser le travail personnel des élèves ; lorsque les narrations de recherches sont réalisées à la maison, les élèves peuvent se faire aider de leur parents ou autres, mais ils doivent vite se rendre compte que de cette manière leurs copies deviennent moins intéressantes car ils auront effectués moins de recherches (Sauter, [19]). Les élèves doivent comprendre que pour ce type d'exercice, une aide extérieure risque de les handicaper et non de les avantager. Il faut également veiller lors de ce compte rendu à ne pas trop mettre en avant la solution du problème, mais bien les démarches de recherche qui ont permis d'y arriver. Les élèves doivent bien avoir en tête que la solution en elle-même n'est pas très importante, qu'elle n'est pas l'objectif principal de l'exercice.

1.3 Critères d'évaluation

Corriger un travail de rédaction ne fait pas partie des habitudes du professeur de mathématiques. C'est pourquoi il est impératif lors de la correction de narrations de recherche de définir les critères d'évaluation bien précis. Habituellement, l'évaluation porte sur un acquis de connaissances et de compétences ; pour les narrations de recherche, l'évaluation porte plutôt sur la persévérance des élèves, leur volonté de trouver ou tout du moins de chercher la solution. Pour évaluer une narration de recherche, deux aspects sont à retenir : la recherche de la solution et la narration, c'est-à-dire le récit qui est le moyen de comprendre la recherche (Sauter, [19]).

Pour détailler les critères d'évaluation concernant la narration puis la recherche, je vais m'inspirer des idées de Mireille Sauter (Sauter, [19]).

1.3.1 Critères pour une bonne narration

Une première chose à évaluer lors de la réalisation de narrations de recherche concerne la narration. L'élève doit raconter ses recherches sous forme d'un récit, sans toutefois que la syntaxe, l'orthographe ou la grammaire ne constituent un obstacle à sa rédaction. Voici donc quelques éléments qui sont à souligner et à encourager par le correcteur des copies :

- Le style d'écriture : Les phrases doivent s'enchaîner, être faciles à lire. Le texte doit

être rédigé correctement et non en style télégraphique. La présentation doit être

- La précision du récit : Il ne s'agit pas simplement d'écrire les recherches effectuées linéairement, ces recherches doivent être décrites et commentées avec le plus de précision possible.

- La chronologie du récit : Les narrations de recherche étant réalisées par les élèves à la maison, le récit doit comporter des indications concernant le temps passé à chaque phase de recherche, des connexions logiques qui expliquent pourquoi l'élève a changé de méthode.

- La sincérité du récit : l'élève s'implique personnellement, fait part de ses doutes, de ses hésitations, décrit ses erreurs. Il emploie le "je", mentionne s'il a reçu des aides extérieures. C'est là que la relation enseignant-élève joue un rôle déterminant ; l'élève doit être mis en confiance pour raconter ses échecs, tout ce qui lui passe par la tête, il ne doit plus s'autocensurer. (Sauter, [19]).

1.3.2 Critères pour une bonne recherche

Le second paramètre entrant en compte lors de l'évaluation d'une narration de recherche concerne bien évidemment la qualité de la recherche. Voici donc quelques critères permettant d'évaluer au mieux cette recherche.

- Une interrogation sur l'énoncé : Il est important que les élèves comprennent bien l'énoncé et la question posée. En effet, la mauvaise compréhension ou la mauvaise interprétation d'un texte peut être à l'origine de blocages chez certains élèves. On retrouve ici l'importance de proposer des sujets dont l'énoncé est simple et bref.

- Des essais : Les élèves ne doivent pas se contenter d'essayer une seule méthode pour essayer de résoudre le problème. Ils doivent essayer plusieurs pistes et

- Des vérifications : Chaque résultat ou solution éventuelle proposée par les élèves doit être vérifié. Ces vérifications permettent une prise de conscience des erreurs et donc un changement de stratégie.

- Une certaine cohérence : Notamment dans le raisonnement et dans l'enchaînement des actions.

- Des argumentations : Chaque action, chaque méthode doit être argumentée. En particulier en classe de 6^ème ou 5^ème, la narration de recherche est un outil qui permet d'introduire la démonstration.

- Un esprit critique : L'élève doit se poser le plus de questions possible lorsqu'il émet des conjectures ; il doit s'interroger sur la validité de ses résultats, faire des vérifications.

2) Pourquoi les narrations de recherche en zone difficile ?

2.1 Un excellent outil de motivation

Dans le développement de la partie précédente, nous avons pu expliciter l'importance de susciter la motivation des élèves, en particulier en zone difficile. Il est impératif d'installer les élèves dans des activités susceptibles de les motiver, de créer ou d'augmenter chez eux l'envie de faire des mathématiques. Il est également difficile de construire en zone difficile des situations où les élèves produisent du langage, verbal ou écrit, c'est pourquoi il est intéressant de pouvoir leur proposer une activité mathématique motivante qui mobilise des outils de langage (Groupe ZEP IREM, [11]). La pratique de narration de recherche donne aux élèves un espace de liberté qui leur permet de communiquer dans un langage naturel, moins contraignant qu'un langage spécifique aux mathématiques. Lorsque les élèves effectuent des narrations de recherche, ils n'ont pas besoin de formaliser ce qu'ils écrivent, ils rédigent comme l'idée leur vient. Ceci permet de ne pas bloquer les élèves qui ne sauraient pas comment rédiger et donc de ne pas les mettre à l'écart. Ils peuvent au même titre que les autres effectuer l'exercice malgré leurs difficultés. Si ces élèves ne se sentent pas laissés de côté, s'ils sentent qu'ils sont capables de réaliser l'activité proposée au même titre que tous les autres élèves, ils ne se démotiveront pas et s'intéresseront davantage aux mathématiques. Il s'agit principalement de développer la curiosité et l'esprit critique des élèves, les mettre dans

des situations de recherche motivantes, qui leur donnent le goût de faire des mathématiques. (Sauter, [19]). Ce type d'exercice oblige les élèves à ne pas être passifs comme ils pourraient l'être sur d'autres types d'exercices en attendant simplement la solution par exemple. Ici, ils doivent produire quelque chose ; ils sont de plus motivés par la recherche à effectuer, il y a une sorte de défi à relever et en général les élèves apprécient cette recherche. En zone difficile, cela met tous les élèves sur un pied d'égalité. Il faut faire en sorte que les situations de narration de recherche suscitent chez les élèves le désir de chercher et leur donne du plaisir à faire des mathématiques. De ce fait, cette pratique favorise la réussite personnelle et scolaire des élèves en les motivant, en les stimulant, en les amenant à adopter des attitudes de chercheurs qui s'interrogent et conjecturent, sans crainte du jugement porté puisque l'effort de recherche est plus valorisé que l'obtention de solutions. Ces modifications d'attitudes des élèves pour entrer dans une tâche scolaire, cet éveil pour l'activité mathématique dans des classes de zone difficile, où la motivation est souvent difficile à créer et à maintenir, proviennent de la nouveauté et de l'originalité de la méthode, ainsi que du fait que les énoncés répondent à un appétit d'énigmes qu'ont les élèves (Groupe ZEP IREM, [11]). Il est vrai que ces problèmes n'offrent pas de solution immédiate, il faut donc chercher pour trouver. Lors du bilan en classe, il faut absolument valoriser les élèves en difficulté en ne perdant aucune occasion de citer telle procédure intéressante, telle question pertinente trouvée dans leurs copies (Groupe ZEP IREM, [11]). C'est un type d'exercice qui permet en effet de mettre en avant les efforts des élèves, leurs bonnes idées et leurs recherches. Si un élève en difficulté a eu une bonne idée, il faut absolument la faire ressortir aux yeux de la classe, de cette façon l'élève en question se sentira valorisé et cela lui donnera envie de recommencer. L'idée de la valorisation des élèves est ici présente. De plus, même les élèves qui ne trouvent pas la bonne réponse peuvent avoir une bonne note, ce qui donne une motivation supplémentaire aux élèves en difficulté qui ne baisseront pas les bras au premier obstacle. Tous ces facteurs conduisent à augmenter la motivation des élèves, ce qui est en zone difficile absolument nécessaire pour assurer le bon fonctionnement de l'année scolaire. C'est pourquoi les narrations de recherche constituent un bon moyen de donner envie aux élèves de travailler, de leur faire apprécier les mathématiques, c'est un moyen de les intéresser à cette matière. C'est par conséquent un excellent outil de motivation.

2.2 Une évaluation plus adaptée

L'évaluation classique en mathématique consiste la plupart du temps à évaluer un résultat et dans certains cas quelques étapes du raisonnement qui conduisent à ce résultat. Mais en aucun cas il est possible d'évaluer toutes les phases de raisonnement des élèves, les différentes réflexions, remarques, stratégies qui les ont conduits à utiliser ce raisonnement et à trouver ce résultat. Le soucis que pose cette évaluation pour des élèves, et encore plus pour des élèves en difficulté, est que s'ils ne trouvent pas le bon résultat, ou même un raisonnement permettant de trouver ce résultat, l'évaluation ne pourra pas être positive. Cette évaluation ne rend pas compte des efforts des élèves, du temps qu'ils passent à essayer de résoudre un problème. Ainsi, cette évaluation ne fait pas de différence entre un élève qui aura passé du temps à raisonner pour résoudre un problème, mais sans succès, et un élève qui n'aura même pas fait l'effort de chercher. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle autant d'élèves se découragent et ne cherchent même plus à faire d'efforts de recherche, puisque la plupart du temps ces derniers ne sont pas récompensés. En zone difficile et face à des élèves en difficulté, ce constat est encore plus probant. Beaucoup trop d'élèves sont découragés à cause de cette évaluation, ils travaillent mais n'obtiennent pas de bons résultats alors ils finissent par arrêter de travailler. Ceci entraîne également que ces élèves qui ne font plus l'effort de raisonner perdent petit à petit des capacités mathématiques. En mathématiques, l'esprit a besoin d'être stimulé régulièrement, sinon certains réflexes disparaissent et le raisonnement devient de moins en moins aisé.

C'est pourquoi l'évaluation grâce à la narration de recherche est, à mon sens, indispensable en zone difficile. C'est en effet une évaluation qui permet d'apprécier le travail de recherche des élèves, sans se focaliser uniquement sur le résultat. Ainsi, même des élèves présentant de grandes difficultés peuvent obtenir de bonnes notes. Un nouveau contrat s'instaure dans la classe entre les élèves, ainsi qu'entre les élèves et l'enseignant, avec un autre statut de l'erreur (Groupe ZEP IREM, [11]). À la différence de ce dont les élèves ont l'habitude, le principe de l'erreur ne réside plus simplement dans une mauvaise réponse ou un faux résultat, l'erreur devient le fait de ne pas chercher de solutions ou de ne pas argumenter ses recherches. C'est une nouvelle vision de la pratique des mathématiques ainsi que de son évaluation. Les narrations cherchent ainsi à casser cette « performance scolaire » chez les élèves et plus spécialement ceux de zone difficile, de vouloir trouver à toute vitesse la solution d'un problème, sans chercher à savoir si le raisonnement utilisé a du sens, pour la présenter à l'enseignant qui pourra la valider (Groupe ZEP IREM, [11]). La narration de recherche est un

outil qui permet également de réactiver, ou de consolider, l'esprit mathématique des élèves et ceci ne pourra être que bénéfique pour la suite de l'année scolaire et de leurs études. Ils vont en effet s'habituer à réaliser un raisonnement mathématique faisant appel à leur sens critique et à leurs capacités de réflexion. Ils pourront grâce à cela être plus performants lors de la réalisation d'exercices ou d'évaluations plus classiques. Les narrations de recherches présentent également un intérêt non négligeable pour le professeur. En prenant en compte l'élève dans sa singularité, cette pratique amène l'enseignant à modifier le regard qu'il porte sur l'évaluation, elle permet ainsi de créer une différenciation pédagogique nécessaire en zone difficile (Groupe ZEP IREM, [11]). En effet, ce qui sera évalué lors d'une narration de recherche ne sera pas le résultat, mais la recherche de l'élève. Cette recherche peut être très différente suivant les élèves et oblige donc le professeur à considérer chaque élève individuellement lors de la correction des copies. La différentiation pédagogique intervient dans le sens où les bons élèves travaillent autant que les moins bon, et les moins bons ne sont pas pénalisés pour autant. Cela permet également de mettre en avant des difficultés particulières propres à chaque élève. L'enseignant peut alors évaluer les difficultés de chacun, plus précisément qu'avec une évaluation classique. En effet, le raisonnement de chaque élève étant détaillé, il est plus aisé de cibler d'où proviennent exactement les difficultés.

3) Quelques expérimentations de narration de recherche

Lors de mon stage en responsabilité, j'ai souhaité mettre en place une séance de narration de recherche dans chacune de mes classes ainsi qu'une séance bilan. N'ayant jamais réalisé ni même assisté à ce genre de séances, cette expérience fut totalement nouvelle pour moi.

3.1 Choix du sujet et analyse a priori

Durant le stage, j'ai travaillé avec mes deux classes de quatrième sur le chapitre des puissances. J'ai donc cherché un sujet de narration de recherche en lien avec les puissances, afin de donner une certaine logique à ma progression. Je voulais proposer aux élèves à la fois un sujet se rapportant au chapitre en cours, mais sans pour autant les enfermer dans ce thème. Le sujet que j'ai choisi (cf. annexe 10) est en lien direct avec les puissances de part son énoncé mais ne s'appuie pas cependant sur des connaissances poussées sur ce thème. Les premières

questions sont accessibles par tous les élèves qui peuvent ainsi démarrer l'activité proposée. Je souhaitais en effet qu'aucun élève se retrouve bloqué dès la première question et que chacun puisse fournir une réponse aux premières questions posées. Les premières questions avaient également pour vocation de faire comprendre le fonctionnement du raisonnement aux élèves. Je souhaitais que grâce aux premiers calculs du chiffre des unités, ils remarquent une certaine logique dans le raisonnement. J'espérais également que grâce à ces questions, les élèves aient l'idée de continuer à calculer quelques puissances pour trouver le chiffre des unités de 13⁶, 13⁷ et qu'ils puissent de cette façon trouver une stratégie pour effectuer ces calculs, qu'ils remarquent par exemple qu'il était inutile d'effectuer toute l'opération et qu'il suffisait de multiplier le chiffre des unités par 3 pour obtenir celui de la puissance suivante. J'avais également prévu, dans le cas où certains élèves resteraient complètement bloqués, de les guider en leur suggérant de s'intéresser aux chiffres des unités qu'ils avaient déjà calculés, afin qu'ils puissent remarquer la répétition d'un cycle de quatre chiffres et ainsi poursuivre leur raisonnement sur cette voie.

Concernant le déroulement de la séance, j'avais prévu une première phase de réflexion individuelle, de 15 minutes environ, puis une phase de travail en groupe de deux de 15 ou 20 minutes suivant l'avancée des élèves. J'espérais ainsi que chaque élève développe une ou plusieurs stratégies afin de mettre en commun plusieurs idées de raisonnement durant la phase de travail en groupe, favorisant ainsi la résolution du problème.

J'espérais vraiment que le sujet puisse intéresser les élèves, piquer leur curiosité afin de les motiver à chercher la solution. J'espérais également réussir à être assez claire dans les consignes données aux élèves, cet exercice étant nouveau pour eux comme pour moi. Je souhaitais qu'ils comprennent clairement les consignes de l'exercice car il n'est pas évident de bouleverser les habitudes des élèves qui ne connaissent pas du tout ce genre d'évaluation. En effet, il est difficile pour un élève soumis depuis le début de sa scolarité à une évaluation des mathématiques portant sur le résultat, d'assimiler qu'une évaluation va porter sur le travail fourni, sur la réflexion et le raisonnement qu'ils auront eu et non sur le résultat final. J'avais donc prévu de noter les travaux des élèves, en leur annonçant en début de séance, en divisant la note en deux parties : une première note portant sur le travail individuel et une seconde note portant sur le travail en groupe.

3.2 Déroulement de la séance

J'ai donc commencé cette séance en annonçant aux élèves qu'aujourd'hui ils allaient réaliser un nouveau type d'exercice qu'ils n'avaient jamais rencontré auparavant. Un exercice dans lequel, contrairement à ce dont ils étaient habitués, ce qui serait mis en avant serait la recherche effectuée et non pas uniquement le résultat. J'ai essayé de leur expliquer le plus clairement possible que tout le monde pourrait avoir une bonne note à condition de jouer le jeu, de vraiment faire un effort de recherche durant la séance. J'ai, le mieux que j'ai pu, mis en avant le fait que ce qui était important n'était pas de trouver la solution au problème, mais bien la recherche et le raisonnement permettant ou non de mener à ce résultat ; le but étant de faire apparaître sur la copie un maximum de choses. Thibault m'a alors demandé s'il pouvait écrire n'importe quoi sur la copie, s'il suffisait de la remplir pour avoir une bonne note, ce à quoi j'ai répondu que ce qui figurait sur la copie devait tout de même avoir un lien avec le problème posé et que le but de l'exercice était d'en chercher la ou les solutions. Loïc a alors demandé la confirmation que s'il fournissait pendant la séance un travail sérieux, et même s'il ne trouvait pas la solution, il aurait une bonne note ; ce à quoi j'ai acquiescé. J'ai ensuite précisé aux élèves que tout ce qui apparaissait sur leur feuille devait être commentée, je leur ai en fait expliqué que ce qui allait figurer sur leurs copies devait me permettre de comprendre le cheminement de leur raisonnement, que chaque démarche devait donc être commenté, qu'il fallait qu'ils expliquent pourquoi ils choisissaient une méthode en particulier, pourquoi cette méthode fonctionnait ou non, et cætera.

J'ai ensuite distribué les sujets et j'ai lu l'énoncé avec eux. Il s'est avéré utile de rappeler ce à quoi correspondait le chiffre des unités qui semblait ne pas faire partie du vocabulaire de certains élèves. J'avais sur le sujet re-précisé les critères d'évaluation ainsi que ce qui devait figurer sur les copies des élèves et qui serait donc évalué. Les élèves avaient ainsi accès à tout moment aux consignes sans avoir besoin de me demander à nouveau. Je n'avais pas pensé à préciser quels outils étaient autorisés pour résoudre l'exercice et quand Joris me l'a demandé, il a eu l'air surpris que tous les outils, cahiers de cours, d'exercices et même la calculatrice soient autorisés. Presque tous les élèves ont alors sorti leur calculatrice pour calculer les premières puissances et répondre ainsi à la première question. Au bout de quelques minutes, Élodie complétement désemparée m'a interpellée pour me signaler que sa calculatrice ne donnait pas le résultat de ¹³²⁰¹¹ et qu'elle ne pouvait par conséquent pas répondre à la question. Beaucoup d'élèves on eut une réaction similaire, et j'ai été assez étonnée de voir à quel point les élèves étaient pris au dépourvu lorsque leur calculatrice ne

pouvait plus les aider, mais également de la confiance absolue qu'ils avaient en leur calculatrice : « si elle ne peut pas calculer alors moi non plus ». Suite à cela, quelques élèves n'ont plus cherché à résoudre le problème, ils ont complètement laissé l'exercice de côté en étant convaincu qu'il n'admettait pas de solutions étant donné que la calculatrice ne pouvait pas en trouver. Même en essayant de les remotiver, de leur assurer que la réponse existait bel et bien, je n'ai pas réussi réellement à les remettre au travail. La perspective d'une mauvaise note ne les a pas plus motivés et je me suis trouvée dépourvue de solutions. Cela dit, ça n'a pas été le cas de tous les élèves et une majorité a continué à chercher la solution. Lors de la phase de recherche individuelle, certains élèves, Juliette notamment, avaient déjà bien avancé dans la recherche en ayant remarqué la répétition des chiffres des unités, il ne lui restait plus qu'à trouver une stratégie permettant de savoir sur lequel de ces chiffres allait tomber 13²⁰¹¹. Je l'ai donc encouragée à continuer dans cette voie, sans lui donner d'indices étant donné l'avancement de son raisonnement. En circulant dans les rangs, j'ai pu aider quelques élèves ne trouvant pas de pistes pour avancer en leur disant notamment qu'il fallait remarquer quelque chose concernant la répétition des chiffres des unités. S'en est suivie la phase de travail en groupe, les élèves ont eux même choisi leur partenaire. Je ne voulais pas leur imposer dans la mesure où l'exercice était déjà suffisamment perturbant pour eux de part sa nouveauté. Il y a eu une phase de « flottement » durant laquelle chaque membre des binômes a expliqué à l'autre membre sa réflexion et le travail qu'il avait déjà effectué, puis les binômes se sont remis au travail. Dans certains groupes, le fait de travailler à deux et de profiter des idées qu'avait pu avoir un autre élève a été un déclic et la réunion des idées a permis une avancée considérable de la réflexion. Florine et Inès par exemple qui n'avaient pas eu énormément d'idées lors de la recherche individuelle se sont mises ensemble pour la phase de travail à deux et ont d'un seul coup eu beaucoup d'idées. Même si toutes n'aboutissaient pas, leur copie était très riche car pleine de pistes de recherches. Dans d'autres groupes en revanche, surtout lorsque la première phase n'avait pas été productive, la mise en commun n'a pas été concluante ; certains groupes se sont contentés uniquement de refaire à deux les premiers calculs, sans chercher à aller plus loin. Ils s'étaient mis en tête que l'exercice était trop difficile pour eux et n'ont pas réussi à surmonter cette difficulté. Dans un autre ordre d'idée, certains élèves ont bien travaillé pendant la séance, mais n'avaient visiblement pas bien compris le principe de la narration de recherche : la copie de Loïc par exemple était pleine de calculs sans aucune explication, sans aucune phrase justifiant sa démarche.

3.3 Analyse a posteriori

Suite à cette séance et à son déroulement, voici les remarques que je me suis faite.

La première concerne les consignes que j'ai données aux élèves. Je pense ne pas avoir assez insisté sur l'importance de commenter les étapes de recherches apparaissant sur la copie, sur le fait que tout ce qui est écrit doit être justifié, commenté et doit permettre une compréhension immédiate par le lecteur du raisonnement effectué. Ceci explique, je pense, des copies comme celles de Loïc dans lesquelles rien n'est commenté ni justifié. Loïc a simplement retenu que s'il travaillait sérieusement pendant la séance, il aurait une bonne note ; il n'a en revanche pas compris la démarche proposée par la narration de recherche.

Ma deuxième remarque concerne l'utilisation de la calculatrice. Je n'avais pas imaginé qu'une telle réaction était possible de la part des élèves, qu'ils pouvaient à ce point louer les résultats de leur machine jusqu'à penser qu'elle était en quelque sorte plus intelligente qu'eux. Cela dit, c'est une remarque intéressante car elle montre aux élèves les limites de la calculatrice. Je pense cependant que si je devais refaire cette séance, je n'autoriserai pas l'utilisation de la calculatrice, et cela pour plusieurs raisons. Tout d'abord pour les raisons évoquées plus haut, en effet si la calculatrice bloque certains élèves dans leur réflexion, il est préférable de ne pas l'envisager afin d'éviter ce genre de réaction. La seconde raison pour laquelle je n'autoriserai pas la calculatrice est que lors des premiers calculs du chiffre des unités de 13³, 13⁴ et 13⁵, le fait d'utiliser la calculatrice ne permet pas aux élèves de voir le fonctionnement des opérations. En faisant l'opération à la main, ils peuvent se rendre compte que pour obtenir le chiffre des unités il n'est pas nécessaire d'effectuer l'opération en entier, mais simplement de multiplier le chiffre des unités ici par 3. Taper une opération sur la calculatrice n'offre pas la possibilité aux élèves de constater ce fonctionnement. L'utilisation de la calculatrice pour cet exercice ne favorise pas, bien au contraire, le développement d'un raisonnement. Il serait en revanche intéressant de montrer aux élèves, lors de la correction en classe, que la calculatrice n'effectue pas l'opération ¹³²⁰¹¹ afin d'évoquer les limites de leur machine.

Ma troisième remarque porte sur le travail en groupe. J'ai choisi de laisser les élèves se mettre comme ils le souhaitaient par groupe de deux. Il aurait sans doute été plus judicieux de faire moi même les groupes en fonction du travail effectué lors de la recherche individuelle.

En effet, lors de la séance, les élèves qui avaient bien travaillé individuellement se sont mis pour la plupart avec des élèves ayant également bien travaillé individuellement, et les élèves n'ayant pas fourni beaucoup de travail se sont également réunis. Les groupes formés étaient donc soient des groupes de deux personnes motivées soit des groupes de deux personnes pas réellement motivées. Certes les groupes motivés ont bien travaillé pendant la deuxième phase de travail, mais les autres groupes n'ont pas fait grand chose. J'avais peur en formant les groupes de bloquer des élèves en les faisant travailler avec une personne qu'ils n'appréciaient pas particulièrement. Je ne voulais pas que le travail à deux soit empêché par de mauvaises relations. Cela dit, même si au bout de quatre semaines de stage je ne connaissais pas parfaitement les élèves, j'étais capable de connaître quelques affinités. J'aurais donc dû, grâce à l'observation que j'ai effectuée lors de la recherche individuelle, constituer des groupes hétérogènes, tout en faisant attention aux affinités de chacun. Cela aurait en effet permis de mettre chaque groupe au travail grâce à un élément « pousseur ». Si chaque groupe avait été constitué d'un élève ayant bien avancé lors de la phase de recherche individuelle et d'un élève ayant moins avancé, ils auraient pu tous se mettre au travail sérieusement durant la seconde phase de recherche et ainsi éviter les configurations de groupes n'ayant fourni aucun travail.

Malheureusement, tous les élèves n'ont pas compris l'enjeu que leur proposait la narration de recherche et certains ont baissé les bras trop tôt face à un exercice à première vue trop difficile à résoudre. C'est vraiment dommage, car ce sont des élèves qui auraient largement pu profiter de ce type d'évaluation. Cependant je suis consciente que Rome ne s'est pas faite en un jour, et que la narration de recherche doit se mettre en place sur toute une année scolaire. C'est une activité qui doit être réalisée régulièrement pour que les élèves puissent en comprendre parfaitement le fonctionnement.

3.4 Le bilan en classe

La séance qui a suivie la narration de recherche a été consacrée au bilan et à la correction en classe de l'exercice. J'ai tout d'abord rappelé le sujet de l'exercice aux élèves afin que tout le monde ait bien en tête l'énoncé. J'ai essayé de mettre en avant les idées proposées par plusieurs élèves, qu'elles aient abouties ou non, afin de souligner le fait que ces élèves avaient fourni un travail très satisfaisant même sans avoir trouvé la solution de l'exercice. J'ai de plus essayé de valoriser les élèves n'ayant habituellement pas d'excellents résultats comme Inès ou Lise afin que ces élèves comprennent que cet exercice leur permettait de produire un

travail très correct. Je voulais également par ce biais montrer à l'ensemble des élèves de la classe que la narration de recherche était un exercice accessible à tout le monde et pas uniquement aux « bons » élèves comme pourrait l'être l'évaluation classique en mathématiques. Je souhaitais que chacun comprenne que cet exercice n'était pas régi par les mêmes règles que les exercices qu'ils avaient l'habitude d'effectuer, et que contrairement à ces exercices, la narration de recherche permettait de mettre en valeur le travail personnel, la quantité de ce travail qui n'apparait habituellement pas sur les copies. J'espère avoir, grâce à ces exemples donnés en classe, réussi à convaincre un maximum d'élèves des multiples intérêts que présentaient les narrations de recherche.

J'ai suite à cela commencé la correction de l'exercice lui même, je pense en effet qu'il est important que tous les élèves aient une solution au problème, ne serait-ce que pour leur montrer que ce problème admettait bien une solution. Pour débuter la correction, j'ai demandé à plusieurs élèves d'expliquer à leurs camarades les pistes qu'ils avaient trouvées. Thibault a ainsi expliqué comment il avait remarqué la répétition de quatre chiffres des unités et la raison pour laquelle on pouvait affirmer que ces quatre chiffres allaient continuer à se répéter perpétuellement. Juliette a ensuite poussé un peu plus loin la réflexion en expliquant que pour trouver quel était le chiffre des unités de 13²⁰¹¹, il fallait trouver sur lequel des quatre chiffres on allait tomber en comptant jusqu'à 2011. Je souhaitais que les élèves soient actifs lors de la correction, qu'ils ne recopient pas simplement ce que j'allais écrire au tableau ; je voulais qu'ils construisent eux-même cette solution. Lors de la suite de la correction, j'ai tout de même guidé un peu le raisonnement des élèves, mais toutes les réponses sont venus d'eux. Ils ont eu l'idée de diviser 2011 par 4, et de s'intéresser au reste (pas immédiatement, mais après quelques tâtonnements). Ils ont pu de cette façon constater qu'ils étaient capables de construire cette solution, qu'elle leur était accessible. Même si ces classes n'étaient pas réellement les miennes et même si ces élèves ne referont sûrement pas de narrations de recherche au cours de l'année scolaire, il me tenait à coeur de mener cette séance comme je l'aurais menée si ces classes avaient été les miennes, comme si j'allais refaire des narrations de recherche par la suite.

J'ai finalement choisi de ne pas noter les productions des élèves, trop d'entre elles étant trop maigres pour obtenir une note satisfaisante. C'était de plus la première fois que les élèves réalisaient ce type d'exercice et tous n'avaient sans doute pas bien compris le véritable enjeu. Je pense par ailleurs que la séance bilan leur a permis de mieux cibler les attentes de ce type

d'exercice et qu'une seconde narration de recherche aurait été plus satisfaisante. Je me suis cependant appliquée à commenter chaque copie en rappelant à chaque élève tout le bénéfice qu'un travail sérieux aurait pu leur apporter. J'ai attribuée une note « fictive » aux meilleures copies afin d'encourager leurs auteurs et ces mêmes auteurs ont bénéficié de points supplémentaires pour le prochain contrôle. Il me semblait tout de même important de récompenser et d'encourager les élèves ayant produit un travail sérieux.

3.5 Le ressenti des élèves

À la fin de la séance « bilan », j'ai demandé aux élèves de m'écrire sur papier ce qu'ils avaient pensé de la narration de recherche, s'ils avaient aimé ou non, pourquoi ils avaient apprécié, pourquoi ils n'avaient pas apprécié, s'ils aimeraient recommencer... Ces réponses se trouvent en annexe 12.

Le constat que j'ai pu effectuer a été le suivant : la plupart des élèves qui disent ne pas avoir aimé la narration de recherche donne pour raison la difficulté de l'exercice. Ils ont trouvé le sujet trop compliqué, certains même disent qu'ils n'ont pas aimé car il fallait réfléchir. C'est, je trouve, assez révélateur de la vision que ces élèves ont des mathématiques. Pour eux, les mathématiques se résument à apprendre des choses par coeur et à les appliquer sans forcément comprendre ces notions. C'est à ces élèves que s'adresse la narration de recherche, afin de réveiller leur capacité à raisonner. Pour moi, il n'y a presque rien à apprendre par coeur en mathématiques, la compréhension des notions et des raisonnements doit permettre de retrouver tous les résultats. La narration de recherche oblige les élèves à raisonner et ne leur demande pas simplement d'appliquer une formule ou un théorème. C'est un bon moyen pour ces élèves de revenir aux fondamentaux des mathématiques, d'effectuer et de construire un raisonnement et par conséquent de modifier leur vision des mathématiques, en l'améliorant. Les élèves qui disent avoir plutôt apprécié la narration de recherche sont pour la plupart des élèves qui ont fourni un travail satisfaisant. Plusieurs facettes de l'exercice ont plu à ces élèves. Tout d'abord le fait de travailler en autonomie leur a donné une certaine importance. En effet, ils travaillent par eux-mêmes, ils n'ont pas nécessairement besoin de demander de l'aide pour progresser dans l'exercice. Ils sentent ainsi qu'ils ont la capacité de réussir un exercice et se sentent valorisés par cette capacité. Une autre raison pour laquelle ces élèves ont apprécié ce travail est le fait que la notation ne portait pas uniquement sur le résultat. Ils n'avaient pas la pression supplémentaire due à la peur de ne pas trouver le bon résultat, la

bonne solution. Ils ne se sentaient pas oppressés par le fait de devoir à tout prix trouver la bonne réponse et cela leur a permis de travailler dans des conditions moins stressantes. D'autres ont beaucoup apprécié le travail en groupe, je pense que le fait de choisir son binôme a beaucoup joué dans cette appréciation. Cela leur a permis de mettre en commun leurs idées et de pouvoir avancer plus rapidement.

C'est en conclusion une expérience très positive que je n'hésiterai pas à renouveler à l'avenir. Je pense que cette pratique permet d'apporter beaucoup, autant aux élèves qu'aux enseignants et qu'elle devrait se développer davantage notamment dans les établissements difficiles.

Conclusion

Avant ce stage et avant de rédiger ce mémoire, je n'avais jamais vraiment réalisé l'importance de la relation entre les élèves et l'enseignant. Je savais bien sûr que cette relation était importante mais je n'imaginais pas qu'elle puisse avoir autant d'impact sur les conditions d'enseignement. Lors de mes recherches bibliographiques tout d'abord, j'ai pu apprendre un certain nombre de choses concernant ces relations, notamment ce qui concerne la confiance que l'on porte en nos élèves, mais également sur l'importance de valoriser ces élèves. Lors du stage en responsabilité, j'ai pu constater l'effet réel de ces deux axes principaux grâce, en particulier, à des élèves comme Kevin ou Dylan qui m'ont fait prendre conscience de l'importance du dialogue et de la relation de confiance. Même si tout cela est vrai pour n'importe quel établissement scolaire, je pense que ces notions de confiance et de valorisation prennent encore plus leur sens dans des établissements difficiles. Bien souvent, les élèves de ces établissements ne retrouvent pas dans leur environnement familial ces deux points particuliers, c'est pourquoi il est très important qu'ils puissent les ressentir à l'école. Je souhaiterai m'appliquer dans mon enseignement futur à faire sentir à chaque élève que je suis là pour lui, que j'ai confiance en ses capacités à réussir et qu'il peut également me faire confiance.

Grâce à ce mémoire j'ai également découvert les narrations de recherche. Je n'en avais jamais entendu parler jusqu'alors, ce fut donc une découverte complète pour moi. Cette pratique pédagogique m'a tout de suite plu principalement grâce à l'alternative qu'elle propose à nos élèves en terme d'évaluation. Je pense en effet que pour trop d'élèves l'évaluation classique en mathématiques est source de blocages et d'échecs. Elle ne met pas en valeur le travail réel fourni par les élèves mais seulement le résultat auquel ils aboutissent, s'ils y arrivent. La narration de recherche permet d'offrir à chaque élève l'opportunité d'être évalué sur le travail fourni. Il me paraît en effet plus juste qu'un élève ayant beaucoup travaillé, même sans aboutir au bon résultat, puisse être évalué sur la totalité de son travail. Je me suis donc passionnée pour les narrations de recherche et j'ai pu, à la fin de mon stage, en faire une expérimentation. Ce fut une expérience très positive, certains élèves en difficultés se sont sentis soulagés de ne pas être évalués uniquement sur le résultat et ont donc fourni un travail très satisfaisant. Lorsque je serai enseignante, et plus particulièrement si j'enseigne en zone difficile, je souhaiterai mettre en place dans mes classes dès le début de l'année des narrations de recherche. Je pense que c'est une pratique qui devrait devenir indispensable, ne serait-ce

que pour redonner envie aux élèves de faire des mathématiques. Si l'évaluation actuelle des mathématiques ne permet pas à tous les élèves d'avoir des résultats satisfaisants, je pense que la narration de recherche peut remettre tout le monde sur un pied d'égalité. De plus, de bons résultats sont toujours un facteur de motivation pour les élèves. C'est pourquoi j'aimerai dans mon enseignement donner une grande place à la narration de recherche qui, je l'espère, permettra de mobiliser un maximum d'élèves en leur donnant envie de faire des mathématiques. Aujourd'hui le socle commun au palier 3 propose les deux compétences suivantes à valider : « Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer » et « Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l'aide d'un langage adapté ». Je pense que la narration de recherche est une opportunité à saisir par les enseignants afin d'évaluer au mieux ces compétences, et qu'il serait dommage de passer à côté.

Bibliographie

Annexes

Annexe 1

Marion a entendu parler d'une rumeur qui court au collège. Le premier avril, elle envoie un mail à ses trois meilleures amies pour les en informer. Le 2 avril, chacune de ses trois amies envoie le même mail à trois nouvelles personnes, les informant ainsi de la rumeur. La diffusion de la rumeur se poursuit de la même manière : dès qu'une personne est informée, elle l'apprend à trois autres le lendemain.

Vous pourrez commencer par calculer le nombre de personnes informées de la rumeur les premiers jours du mois d'avril:

1er avril		5 avril
2 avril		6 avril
3 avril		7 avril
4 avril		8 avril

Afin de trouver le nombres de personnes informées de la rumeur le 30 avril, on va utiliser un tableur.

Dans la colonne D, on calcule le nombres de personnes qui sont au courant de la rumeur.

Quelle opération permet de calculer le nombre de personnes informées de la rumeur le 3

Annexe 2

Annexe 3

Annexe 4

Annexe 5

Annexe 6

Fred, Amélie et Dimitri préparent un exposé sur le

système solaire pour leur club d'astronomie. Ils ont

trouvé les données suivantes :

· Distance de la Terre au Soleil : S = 149 600 000

km;

· Distance de la Terre à Pluton : p = 5766 x 10⁶ km;

· Distance de la Terre à Saturne : s = 1,425 milliards

de km.

Peut-on comparer facilement ces longueurs? Pourquoi?

La planète Neptune a une superficie de 7 640 800 000 km². La planète Jupiter a une superficie de 6,14 x 10¹⁰ km².

Quelle planète a la plus grande superficie? Quelle planète a la plus petite superficie? Justifie tes réponses.

Annexe 8

Lorsque c'est possible, écris chaque nombre sous la forme aⁿ, où n est un entier relatif.

10-3 = 107 =

Annexe 9

Construire deux carrés de telle sorte que le deuxième ait une aire double de celle du premier.

Étant donné quelques points placés sur une feuille, combien peut-on tracer de segments différents joignant deux quelconques de ces points ? Compléter le tableau suivant :
Si j'ai...	Je peux tracer...
1 point	0 segment
2 points	1 segment
3 points	3 segments
4 points	6 segments
5 points
6 points
7 points
12 points
20 points
108 points
n points (n est un entier positif)

A et B sont deux points donnés. On souhaite construire en utilisant seulement une règle non graduée (dont les extrémités sont rongées...) et un compas, le point C vérifiant les trois conditions suivantes :

1) C appartient à la droite (AB)

2) C n'appartient pas au segment [AB]

3) AC = 1 4 AB

Paul possède une certaine somme d'argent lorsqu'il part faire ses achats.

Dans le premier magasin, il dépense la moitié de ce qu'il possède, plus 1 €.

Dans le deuxième magasin, il dépense la moitié de ce qui lui reste, plus 1 €.

Paul entre dans un troisième magasin, et là, il dépense la moitié de de l'argent qui lui reste, plus 1 €.

Enfin il fait son dernier achat dans un quatrième magasin où il dépense la moitié de ce qui lui reste, plus 1 € , et il s'aperçoit alors qu'il a dépensé toutes ses économies.

Combien d'argent Paul possédait-il au départ ?

Un petit garçon raconte ses vacances.

« Il y a eu 11 jours de pluie ; pendant ces 11 jours, quand il pleuvait le matin, il faisait beau l'après-midi, et s'il pleuvait l'après-midi, il avait fait beau le matin ».

Au total ce petit garçon a eu 9 matinées et 12 après-midi sans pluie. Peux-tu trouver combien de jours de vacances a eu ce petit garçon ?

Annexe 10

- Les différentes étapes de votre recherche (vous pouvez minuter le temps, joindre vos brouillons...)

- Les observations que vous avez pu faire et qui vous ont fait progresser ou changer de méthode (il vaut mieux chercher seul mais...)

- La façon dont vous expliquerez votre solution à un (ou une) camarade que vous devez convaincre.

L'évaluation ne portera pas sur la nature de la solution (juste, fausse, incomplète...) mais sur les trois points évoqués ci-dessus.

Pour une première réalisation, Émilien a plutôt bien compris le principe de la narration de recherche. Il écrit tout ce qu'il fait mais par contre il n'explique pas assez ses

Il s'est tout de même bien plié au jeu de la narration de recherche en cherchant

Cette copie est beaucoup plus sommaire ; il semble que Joris n'ai pas réellement compris le principe de l'exercice demandé. En réalité, Joris a fait des calculs sur une feuille de brouillon pour arriver à la conclusion que les chiffres se répétaient, mais il n'a pas joint son brouillon à la copie. Cette réaction montre que les habitudes qu'ont les élèves sont difficiles à déloger et à modifier.

La copie de Juliette est particulièrement satisfaisante, en effet Juliette explique clairement son raisonnement et ses démarches. Elle laisse apparaître une méthode qui n'a pas abouti, c'est d'ailleurs dommage qu'elle n'explique pas d'avantage pourquoi elle a abandonné cette voie. Juliette s'est invertie dans la recherche durant toute la séance et n'a pas hésité à poser des questions pour progresser.

Lory fait partie des élèves qui ont « confiance » en leur calculatrice, elle pense donc que 132011 ne peut pas exister étant donné que sa calculatrice ne le calcule pas. Sa copie est tout de même intéressante car elle essaye d'argumenter malgré tout son raisonnement contrairement à d'autres élèves qui ont simplement dit que c'était impossible. Ceci montre que Lory a tout de même intégré un des enjeux de la narration de recherche : l'argumentation.

Cette copie est également relativement satisfaisante, même si là encore, il manque les commentaires et l'argumentation des différentes méthodes de recherche. La conclusion est la même que celle de Juliette car ces deux élèves ont travaillé ensemble durant la seconde partie de la séance. Dans la première phase de travail, on peut remarquer que Quentin a travaillé uniquement avec sa calculatrice en essayant de décomposer les opérations afin d'obtenir une suite d'opérations égale à ¹³²⁰¹¹ et réalisable par sa calculatrice. Le constat est flagrant, la calculatrice a fermé certaines pistes de réflexions pour Quentin qui n'avait pas envisagé de résoudre l'exercice sans.

Cette copie manque également beaucoup de rédaction. La partie recherche est bien présente en revanche. Malgré un travail sérieux de la part de ces deux élèves, leur copie montre bien, encore une fois, qu'il n'est pas évident de modifier les habitudes des élèves qui en mathématiques ne sont pas habitués à réaliser ce genre de travail. C'est un travail de longue haleine qui doit s'effectuer tout au long de l'année. Cette copie reflète également le « danger » que représente la calculatrice : en effet elle renvoie ici une écriture scientifique qui n'est d'aucune aide pour résoudre cet exercice et qui peut donc induire les élèves en erreur.

Dans la première partie de leur recherche commune, Inès et Florine ont réellement fourni un travail intéressant en essayant de trouver un lien entre les chiffres présents dans un nombre et le chiffre des unités de ce nombre. C'est tout à fait le travail attendu lors d'une narration de recherche : envisager différentes pistes de recherche. Même si là aussi la rédaction manque, la recherche est très satisfaisante. Après avoir constaté que ce raisonnement ne fonctionnait pas, Inès et Florine se sont rabattues, et c'est bien dommage, sur la calculatrice qui ne leur a pas été d'une grande aide. Elle leur a cependant fourni une autre piste de recherche.

Enseigner les mathématiques en zone difficile