Etude d'une équation hyperbolique

2.1.7 Derivation d'une equation des ondes

Dans ce paragraphe nous dérivons l'équation d'ondes en une dimension de l'espace pendant qu'elle s'applique aux vibrations transversales d'une corde élastique, oil cable, la corde élastique peut être considérée comme une corde de violon, un cable de haubanage, oil probablement une ligne d'énergie électrique. La même équation, cependant, avec les variables correctement interprétées, se produit dans beaucoup d'autres problèmes de vague ayant seulement une variable significative de l'espace. Considérons une corde élastique parfaitement flexible étirée étroitement entre les appuis fixés au même evel de horizontall. Soit les abscisses du l'axe x liés le long de la corde avec les points des etrimités x = 0 et et x = L. Si la corde est mise en marche a temps itial t = 0 et ensuite laissée calme, elle vibrera librement dans un plan vertical a condition que atténuant des effets, tels que la résistance d'air, sont négligées. Pour déterminer l'équation régissant ce mouvement nous considérerons les forces agissant sur un petit élément de la corde du x de longueur se trouvant entre les points x et x + x. Nous supposons que le mouvement de la corde est petit, et par conséquent, chaque point sur les mouvements de corde seulement dans une ligne verticale. Notons par u(x, t) le déplacement vertical du point x dans le temps t. Laissez la tension dans la corde, qui agit toujours dans la direction tangentielle, soit notée par T(x, t), et on note par p le poid par unité de longueur de la corde.

L'application de la loi de Newton, au l'élément x de la corde, déclare que la force externe est
nette, due a la tension aux extrémités de l'élément, doit être égale au produit du poid de l'élément

et de l'accélération du centre du son poid. Puisqu'il y a pas d'accélération horizontal, les composants horizontaux doivent satisfaire

T (x + x, t) cos (0 + 0) - T (x, t) cos 0 = 0. (2.13)

Si on note par H le composant horizontal de la tension, alors en vertue de (2.13), H est indépendant de x.

D'autre part, les composants verticaux satisfont

T (x + x, t) sin (0 + 0) - T (x, t) sin0 = p xutt (x, t). (2.14)

on x est la coordonnée du centre du poid de l'élément de la corde a étudier. Clairement, x se situe
dans l'intervalle x < x < x + x. On suppose que le poid de la corde est négligeable, qui a été
négligé dans (2.14). Si la composante vertical T est notée par V , alors (2.14) peut être écrit comme

V (x + x,t) - V (x,t)	= putt (x, t).
x

pasons a la limite quand x -p 0, nous donne

V_x (x,t) = putt (x,t). (2.15)

Pour exprimer (2.15) entièrement en terme u nous notons

V (x, t) = H(t) tan 0 = H(t)u (x, t).

donc (2.15) devient

(Hu_x) = putt,

comme H est independent de x,

Huxx = putt. (2.16)

Pour un petit mouvement de la corde, on peut remplacer H = T cos 0 par T. Alors (2.16) prend son forme usuelle

a²uxx = utt, (2.17)

ou

a2 = T/p. (2.18)

Nous supposerons plus loin que a est une constante, bien que ceci ne soit pas exigé dans notre dérivation, même pour des petits mouvements. L'équation (2.17) s'appelle l'équation d'ondes pour une dimension spaciale. Puisque T a la dimension de la force, et p represente le poid, il suit que la constante a est la dimension de la vitesse. Il est possible d'identifier a comme la vitesse avec laquelle

Chapitre 2. Equation des ondes sur un axe (Dans II1) 26

une petite perturbation (vague) se déplace le long de la corde. Selon (2.18), la vitesse de vague a se change directement avec la tension dans la corde, mais inversement avec la densité du matériel de corde. Ces faits sont en accord avec l'expérience.

Il y a de diverses généralisations de l'équation d'ondes (2.17). Une équation importante est connue comme l'équation de télégraphe et a la forme

utt + Cut + ku = a²uxx + F(x, t), (2.19)

on c et k sont des constantes non négatives. Les termes ku, cut et F(x, t) résultent d'une force d'at-
ténuation visqueuse, d'une force de reconstitution élastique, et d'une force externe, respectivement.