Memoire Online - Efficience des marchés et Méthodes de Monte Carlo : Peut-on réaliser des profits anormaux au moyen de l'Analyse Technique ?

MEMOIRE DE RECHERCHE APPLIQUEE
Présenté et soutenu par
Dimitri Duval
MASTER FINANCE DE MARCHE

« Efficience des marchés et Méthodes de Monte Carlo :
Peut-on réaliser des profits anormaux au moyen de l'Analyse Technique ?»

J'adresse mes remerciements à Jérôme Senanedsch, pour l'aide encadrante qu'il m'a apportée, Alexis, pour son aide dans l'obtention des données brutes de Bloomberg,

Je remercie aussi l'INSEEC, de m'avoir donné les moyens, au terme de mes années d'études, de réaliser ce travail d'investigation.

SOMMAIRE

II. Analyse empirique de la performance de méthodes simples d'analyse technique, et propriétés stochastiques des prix de marchés. p13

INTRODUCTION

En plein coeur de la crise, diverses questions ont été soulevées au sujet des méthodes d'analyse des cours boursiers notamment. Les portefeuilles d'actions ont perdu de la valeur au point d'amorcer la faillite de grands groupes financiers mondiaux comme Lehmann Brothers, et certains indices boursiers comme le CAC40, ont perdu près de 60% de leur valeur en l'espace d'à peine 21 mois, nous ramenant ainsi à des niveaux de 6 ans en arrière. Divers scandales ont éclaté sur la gestion des opérateurs de marché, dont certains annonçant pour le compte de leur banque des pertes avoisinant les 5 milliards d'euros, un record. Cette crise sans précédent est sans aucun doute aussi un excellent moyen de remettre en cause un système qui avait tendance à fonctionner jusqu'alors, mais dont on connaissait encore mal les limites : celui de la finance quantitative. Face à ce terrible constat d'échec, nombreux sont ceux qui ont commencé à remettre les bases conceptuelles actuelles de la finance néoclassique en question. En effet, pour beaucoup, la mathématisation trop importante de la finance est la source des excès et de l'effondrement du système financier connu pendant la crise des subprimes.

Et pour cause. Depuis les années quatre-vingt, jusqu'à aujourd'hui, près d'un siècle après la thèse de louis Bachelier (1900), les mathématiques appliquées à la finance ont connu un essor formidable aboutissant à la formation d'un cadre théorique d'une grande puissance et d'une élégance remarquable. En amont de cela, la problématique était de rendre compte du hasard boursier et de rationaliser son modèle de formation de prix. Car dans un contexte de dérégulation des marchés financiers au milieu des années 1970, tenir compte de la nouvelle volatilité des taux de change permettait de couvrir ces risques dans un environnement incertain. C'est ainsi qu'ont émergé les produits dérivés et les travaux de Black, Scholes et Merton (1973) récompensés par un prix Nobel en 1997 (à titre posthume pour Black décédé en 1995), qui ont permis une avancée sans précédent en théorie financière, grâce à leur stratégie permettant d'annuler tous les risques possibles dans tous les scenarii de marché. La révolution technologique et financière qui caractérisent deux des ruptures de notre société post-industrielle (Daniel Cohen, 2006) ont ensuite permis une évolution rapide et prolifique du concept, l'avènement du calcul stochastique appliqué à la finance, et un développement mondial extraordinaire de nouveaux marchés organisés. Mais voilà, le modèle de BlackScholes repose sur une hypothèse que l'on savait fausse depuis déjà longtemps, et qui est aujourd'hui remise en question avec d'autant plus de force qu'elle a abouti à des pertes colossale pendant cette crise. Cette hypothèse est celle de la normalité des prix. Nassim Nicholas Taleb, dans son essai intitulé Le Cygne Noir, La puissance de l'imprévisible dira

même « Je trouve choquant que la courbe en cloche soit employée comme outil de mesure des risques par ces régulateurs ou ces banquiers qui portent des costumes sombres et tiennent des propos assommants sur les monnaies » (Nicholas Taleb, 2008, p. 301)

Non moins provocant, Mandelbrot écrira dans son ouvrage Fractales, hasard et finance que « l'approximation gaussienne optimale [de l'histogramme des changements d'un prix] est uniformément détestable », mais nuancera en précisant qu'il croit « possible de préserver quelques idées de base [de la thèse de Bachelier] tout en modifiant le mouvement brownien de fond en comble. » (Mandelbrot, 2009, p. 139)

Ces évidences ont trouvé leur écho dans la crise actuelle, et le constat est aujourd'hui fait que la finance néoclassique est en « manque de lanceurs d'alerte » (interview de Raphaël Douady, 2009, docteur en mathématiques au CNRS et faisant référence à la VaR), alors que la question est lancée par Rama Cont, directeur de recherche du CNRS au laboratoire de probabilité et modèles aléatoires (université Paris VI-VII), de savoir « s'il s'agit d'une défaillance des méthodes quantitatives » (Cont, 2009, p. 24)

Des méthodes de trading autrefois considérées comme « voodoo finance » (Lo et. al, 2000, pp. 1705) sont aujourd'hui reconsidérées pour mieux tenter d'appréhender le hasard boursier. Se pose alors la question de l'efficience de marché : Les marchés sont-ils efficients, et en quel sens ? Peut-on réaliser des profits anormaux avec des méthodes d'analyse technique ?

Ce mémoire a pour objectif de déterminer si l'efficience faible des marchés peut être validée. Pour cela, nous utiliserons un échantillon de cours d'indices boursiers sur une dizaine d'année, que nous soumettrons à divers tests statistiques classiques, ainsi qu'à un test de bootstrap à partir d'une simulation de Monte-Carlo, pour l'étude de la significativité des performances par rapport à la stratégie d'achat conservation sous les critères du ratio de Sharpe.

I. L'Efficience informationnelle des Marchés Financiers

A. Définition

La théorie de l'efficience des marchés tire sa source dès les années 30 avec Cowles & Jones (1937). Après la seconde guerre mondiale, les économistes commencèrent à douter des méthodes de prévision des cours boursiers, alors essentiellement basées sur l'idée que les marchés sont caractérisés par des tendances haussières ou baissières. L'idée alors opposée était le modèle de marche aléatoire des cours, mais il faut attendre les années 70 avec Samuelson, Fama, puis Jensen, pour avoir le cadre théorique que l'on connaît actuellement du concept d'efficience (Roland Portrait, Poncet p.24).

En réalité, le concept d'efficience revêt plusieurs définitions. Et le pilier de la finance moderne repose aujourd'hui sur la dimension informationnelle de l'efficience et sur les anticipations rationnelles des agents. Nous distinguerons ici l'efficience informationnelle de l'efficience allocative, qui fait état du calcul de l'allocation optimale entre l'épargne classique et les marchés.

La première définition formelle de l'efficience informationnelle des marchés financiers est donc proposée par Fama (1965) où l'atomicité des agents fait en sorte qu'aucun d'entre eux ne puisse seul influer sur le prix du marché, et où le prix du marché agrège l'ensemble des comportements des individus reflétant ainsi, à chaque instant, toute l'information pertinente et disponible.

« [...] sur un marché efficient, les actions conjuguées des nombreux opérateurs doivent amener le prix réel à fluctuer au hasard autour de la valeur intrinsèque. Si les divergences entre les prix réels et les valeurs intrinsèques sont systématiques plutôt que de nature aléatoire, la connaissance de ces divergences doit aider les opérateurs intelligents à mieux prédire le cheminement par lequel les prix réels vont se mouvoir en direction des valeurs intrinsèques. [...] Et bien que l'incertitude concernant les valeurs intrinsèques demeure, les prix réels vont fluctuer aléatoirement autour de celles-ci » (Fama, 1965).

Ce qui explique qu'il est possible d'affecter une distribution de probabilité aux prix.

L'apport substantiel de Samuelson (1965) consistera à montrer que les prix de marché ne se contentent pas de fluctuer autour de leur valeur fondamentale, mais qu'ils en sont toujours égaux.

Mais le concept d'efficience informationnelle tel qu'évoqué ci-avant reste trop général et impossible à vérifier empiriquement. Fama (1970) proposera ainsi trois formes de l'efficience informationnelle, qu'il complétera ensuite en 1991: L'efficience au sens faible, l'efficience semi-forte, et l'efficience forte, sur lesquelles nous reviendront dans notre partie sur les tests d'efficience.

Revenons, à la notion samuelsonienne de prix de marché toujours égaux à leur valeur fondamentale. La différence apportée est loin d'être triviale. Car elle est lourde d'implications. En effet, on peut toujours espérer tirer profit, par la spéculation, de la différence qui peut être générée entre le prix et sa valeur fondamentale. Dans le cas où le prix et sa valeur fondamentale sont toujours égaux, toute spéculation devient vaine.

En 1978, Jensen donnera une nouvelle définition de l'efficience informationnelle des marchés financiers. « Un marché est efficient, relativement à un ensemble d'information donné, s'il est impossible de réaliser des opérations profitables sur la base de cet ensemble d'information [...] Par profit, on entend le taux de rentabilité ajusté au risque et net de tout. » Jensen (1978).

B. Les tests d'efficience

Comme nous l'avons souligné précédemment, le cadre théorique de l'hypothèse d'efficience des marchés énoncée par Fama (1965) est longtemps resté trop générique, et par conséquent difficile à tester empiriquement. Ce qui l'a amené à distinguer trois types d'efficience informationnelle des marchés. Nous allons succinctement présenter deux des trois types d'efficience informationnelle, en ayant soin de présenter plus en détail l'efficience faible, qui siège au coeur de notre étude par la suite.

L'efficience forte stipule que les prix des marchés reflètent à chaque instant l'historique des
prix, l'information publique, ainsi que l'information privée. Les tests mettent en évidence des

rendements anormaux après des décisions importantes concernant le titre considéré, mais non rendues publiques (avant l'annonce d'une OPA mais après sa décision, par exemple).

L'efficience semi-forte stipule elle, que les prix des marchés reflètent à chaque instant, toute l'information contenue dans l'historique des cours boursiers, et toute l'information publique. Les tests tentent de détecter la présence d'éventuels rendements anormalement élevés sur les périodes suivant une bonne nouvelle, ou anormalement faibles sur les périodes suivant une mauvaise nouvelle. Si tel est le cas, l'anomalie d'efficience informationnelle est incompatible avec l'efficience semi-forte.

« Une attitude raisonnable penche en faveur de l'efficience semi-forte des marchés. Selon certaines études, il n'est pas possible de systématiquement tirer profit d'une information connue de tous, pour réaliser des profits anormaux, si l'on tient compte des coûts de transactions, et cela compte tenu de la rémunération du risque encouru ». (Pontrait et Poncet, 2008, p. 35)

L'efficience au sens faible postule que l'ensemble des informations disponibles comprend uniquement l'historique des prix, et par conséquent des rentabilités.

Les tests d'efficience faible cherchent à détecter une éventuelle auto-corrélation dans le temps des rendements successifs des titres. S'il y a bien auto-corrélation, c'est-à-dire, si l'on peut prévoir les rentabilités futures à partir des rentabilités passées, alors sous certaines conditions, l'efficience se trouve invalidée. Deux types de tests sont utilisés pour aboutir :

Des tests directs visant à déterminer l'efficience ont été réalisés par Fama & Blume (1966). Leur test de « méthode des filtres » consistait essentiellement à comparer le marché avec un portefeuille naïf. Leurs résultats aboutirent à la validation totale de l'efficience

De même, Hakkio & Rush (1989) ont testé les relations inter-marchés pour déterminer si l'interdépendance des cours permettait d'obtenir des profits anormaux. Ces tests réalisés au moyen de méthodes de co-intégration, ont abouti à l'invalidation de l'Efficience.

D'autres tests directs ont permis de mettre en évidence des « anomalies » d'efficience informationnelle des marchés, comme l'« effet taille » de Banz (1981), l'« effet janvier » de Reinganum (1983), ou encore l'« effet vendredi 13 » de Kolb & Rodriguez (1987)

Les tests indirects sont en grande partie des tests de marche aléatoires ou de processus stochastiques (cf glossaire) visant à vérifier si les rentabilités futures peuvent être déterminées à partir des rentabilités passées.

Mais parmi l'abondante littérature visant à tester l'efficience faible des marchés, de plus en plus d'études portent sur l'analyse technique, qui par essence n'a d'objet que la réalisation de profits anormaux dans un environnement incertain, au moyen des informations uniquement contenues dans les cours.

Depuis son apparition, dont la plus ancienne technique est attribuée à Charles Dow dans les années 1800, l'analyse technique ne fait pas l'unanimité au sein de la communauté académique. Notamment à cause de son manque de rigueur et de cadre théorique. Mais aujourd'hui, ce formalisme prend corps dans un courant de recherche alternatif à la finance néoclassique ou moderne, au sein de la finance comportementale (Orléan, 2008).

Pour proposer une définition de l'analyse technique, citons Benoît Mandelbrot (1997), qui dit de l'ambition de ses praticiens, dans son ouvrage Fractal, hasard et finance p.137 :

« [l]es praticiens de l' « analyse technique » ont l'ambition de prévoir l'avenir sur la base des évolutions du passé. » Ce qui au passage, montre bien que l'analyse est un test d'efficience faible. Puis, il poursuit la phrase suivante en clarifiant :

« Leurs méthodes sont subtiles, mais rarement décrites assez précisément pour permettre une
vérification. Dans les cas exceptionnels où l'on a pu les vérifier, leurs affirmations se sont

révélées sans fondements. Nous le verrons dans le cas des « filtres » proposés par S.S Alexander. »

Dans l'article de Jensen & Benington (1970), ledit Alexander (1961, 1964) est également cité aux côtés de Fama & Blume (1966) pour mentionner qu'effectivement les stratégies de trading basées sur l'analyse technique ne surperforment pas la stratégie Buy & Hold, et est cité aux côtés de James (1968) et Van Horne & Parker (1967) pour mentionner les mêmes résultats, avec des méthodes de moyennes mobiles en particulier.

Mais dans le même article, Jensen & Benington (1970) citent ensuite, Robert A. Levy (1967a, b) qui par une méthode d'analyse technique ainsi nommée des « forces relatives » ou « portfolio upgrading », obtient des résultats significativement supérieurs à ceux de la stratégie Buy & Hold.

Quelle attitude alors avoir face à l'analyse technique? Est-elle une méthode indirecte fiable pour tester l'efficience faible des marchés?

Brock, Lakonishok & LeBaron (1992), ont fait remarquer que l'attitude de l'académie envers la discipline est bien résumée par Malkiel (1981) qui écrivait :

« Obviously, I am biased against the chartist. [...] Technical analysis is anathema to the academic world. Our bullying tactics are prompted by two considerations : (1) the method is patently false ; and (2) it 's easy to pick on. ».

Mais ils concluront en fournissant des résultats sans équivoque sur les performances d'outils simples d'analyse techniques, comme les moyennes mobiles ou les bandes de support et résistances.

Comme une réponse à cette dernière critique de Malkiel (1981), Lo, Maymaysky & Wang (2000), dans « Foundation of Technical Analysis : Computational Algorithms, Statistical Inference, and Empirical Implementation » ont réalisé une approche mathématique très formelle et rigoureuse, de ce qu'il convient encore parfois de nommer dans certains milieux et selon eux, la « voodoo finance ». Ils ne manquent d'ailleurs pas non plus de citer Malkiel (1996), comme ayant largement contribué à cette décrédibilisation de l'analyse technique dans son livre A Random Walk down Wall Street, concluant en ces termes :

« [u]nder scientific scrutinity, chart-reading must share a pedestral with alchemy ».

Cependant, Lo et al. (2000) rappellent dans l'article sus-cité, que nombre de contributions ont été faites depuis, en faveur de l'analyse technique. Comme les études de Tabell & Tabell (1964), Trynor & Ferguson (1985), Brown & Jennings (1989), Jegadeesh & Titman (1993), Blume, Easley, & O'Hara (1994), Chan, Jegadeesh, & Lakonishok (1996), Lo & MacKinlay (1997), Grundy & Martin (1998), et enfin Rouwenhorst (1998).

Et faisant référence aux contributions les plus directes dans cette discipline, Lo et al. citent Pruitt & White 1988), Neftci (1991), Neely, Weller & Dittmar (1997), Neely & Weller (1998), Chang & Osler (1994), Osler & Chang (1995), Allen & Karjalainen (1999), et enfin Brock, Lakonishok, and LeBaron (1992), notamment grâce à des méthodes simples de moyennes mobiles pour ces derniers. A cette liste, j'ajoute également Osler (2003).

Diverses méthodes de significativités statistiques sont utilisables, afin d'éviter notamment le data-snooping (cf glossaire). Citons à ce titre John D. Lyon, Brad M. Barber, & Chih-Ling Tsai (1999) pour des méthodes de tests sur les anomalies d'efficience à long terme, Robert J. Shiller (1981) sur les mesures de volatilité, et enfin Ryan Sullivan, Allan Timermann, & Halber White (1999), pour des méthodes de bootstraping sur des performances de stratégies type analyse technique.

Globalement, ces articles évoquent les mêmes outils, et dans chaque cas, des p-values, où des probabilités critiques sont obtenues, permettant de valider ou d'invalider l'hypothèse nulle.

i) La t-statistic ou test t de Student : testant l'hypothèse nulle selon laquelle la moyenne x de l'échantillon considéré s'approche d'une valeur théorique ì0, avec une probabilité déterminée par l'intervalle de confiance de la variable x - ì0. L'intervalle de

confiance choisi est souvent de 95% (ou 99%) ce qui autorise une marge d'erreur de 5% (ou 1%)

choisi, et o. l'écart-type du taux de rendement de l'indice considéré. Dans le cadre des tests d'efficiences faible, il s'agit souvent du rendement de la stratégie Buy & Hold.

Elles servent dans les méthodes de rééchantillonage pour un test t de Student, un bootstrap ou un ratio de Sharpe. La littérature est abondante sur le sujet, mais le meilleur exemple d'utilisation de cette méthode dans les tests d'efficience faible est l'étude faite par Brock et al. (1992).

A l'ensemble de ces méthodes, auxquelles s'ajoutent l'ensemble des outils classiques de statistique descriptive, notamment dans le cas d'échantillons gaussien ou supposés comme tels, nous avons trouvé intéressant d'ajouter un test de Bartlett, sur le modèle de Brock et al. (1992).

II. Analyse empirique de la performance de méthodes simples d'analyse technique, et propriétés stochastiques des prix de marchés.

Deux articles majeurs sous-tendent et guident cette étude. Le premier dont est inspiré le titre de cette partie, est celui déjà évoqué de William Brock, Joseph Lakonishok et Blake LeBaron (1992).

Le second, sans doute le plus important par son apport théorique car il valide le formalisme et pose les fondements rigoureux des techniques utilisées, est l'article également déjà évoqué d'Adrew W. Lo, Harry Mamaysky, et Jiang Wang (2000). Il permet notamment d'implémenter informatiquement, avec une rigueur auparavant inédite, les différentes méthodes d'analyse technique, des plus simples, aux plus subtiles.

A. Données et stratégies de trading par Analyse Technique

Dans cette étude, tout comme dans celle de Brock et al. (1992), nous avons choisi de tester
deux des techniques les plus simples et les plus largement utlisées : les oscillateurs type
moyennes mobiles, et l'exploitation des cassures de support et résistance. Si, comme Brock et

al. (1992), nous avons choisi d'utiliser des moyennes mobiles non pondérées ou exponentielles, pour des raisons de cohérence avec le modèle de Monte-Carlo choisi pour le bootstrap, nous avons cependant pris le parti de tester des bandes de Bollinger pour le canal support-résistance.

Les stratégies de trading reposant sur des moyennes mobiles oscillantes, consistent à observer les signaux générés par le croisement d'une moyenne mobile court-terme, et d'une moyenne mobile long-terme. Le croisement de ces moyennes mobiles révèle alors, selon le signe de leur différence, des signaux d'achat, ou des signaux de ventes. Dans sa forme la plus simple, la stratégie de trading consiste à acheter (vendre) lorsque la moyenne mobile court-terme (long-terme) traverse à la hausse (à la baisse) la moyenne mobile long-terme (court-terme).

En effet, lorsque la moyenne mobile court-terme traverse la moyenne mobile long-terme par le bas, c'est un signal de hausse du marché. Lorsqu'elle la traverse par le haut, c'est un signal baissier.

Pour reproduire le mode opératoire de Brock et al. (1992), nous testerons 5 oscillateurs selon 2 règles de trading. Le premier des 5 oscillateurs est trivial. Il s'agit des MM1 et MM200, avec la MM1 la moyenne mobile court-terme à 1 jour, et la MM200, la moyenne mobile long terme à 200 jours. Par souci de concision dans l'écriture, et pour reprendre la typologie de Brock et al. (1992), nous noterons cet oscillateur 1-200. Les quatre autres sont 1-150, 5-150, 1-200 et 2-200. L'introduction d'une bande absorbante de faible épaisseur (+/- 1%) autour de la moyenne mobile long-terme permet d'éliminer nombre de signaux perturbateurs. Cette méthode de Brock et al. (1992) a pour but d'éliminer les signaux de trop faible intensité lorsque les moyennes mobiles sont très proches.

A cette méthode de filtrage horizontal, nous avons choisi d'ajouter une nouvelle méthode, de filtrage vertical. Cette dernière a pour but d'éliminer les signaux annonciateurs de tendance inversée trop proches dans le temps quand la moyenne mobile court terme est très volatile au croisement de la moyenne mobile long-terme. Ce filtrage horizontal a ainsi pour effet d'exclure les signaux inverses parasites générés sur une période de 2 jours consécutifs. Avec ce filtre, seuls les signaux initiés et non inversés le jour suivant, seront considérés.

La première règle, concernant la durée sur laquelle les signaux devront être considérés, est appelée oscillateur flottant, ou VMA, pour reprendre la terminologie de Brock et al. (1992). Cette règle génère des signaux d'achat (de vente) lorsque la moyenne mobile court- terme est au dessus (en dessous) de la moyenne mobile long terme, par une cassure supérieure à la largeur de bande. Cela a pour effet de simuler les stratégies Long et Short des traders. Lorsque la largeur de bande choisie est de 0%, chaque jour tradé est identifié comme étant soit un signal d'achat, soit un signal de vente.

Algorithmiquement, si nous notons JA le signal d'achat généré (jour Achat), JV le signal de vente généré (jour Vente), EL la moyenne mobile long terme, et EC la moyenne mobile court terme, cela se formalise par :

Pour chaque jour Si EC - EL <		de trading 0
alors	Si	EL *(1-1%)- ES alors JV	> 0
Fin	Si
sinon	Si	EC - EL*(1+1%)	> 0

D'autres variations de la stratégie visant à observer les oscillateurs de type moyenne mobile courte-longue, mettent en avant l'importance du croisement de celles-ci. Comme le disent Brock et al. (1992) cette vision souligne que les rendements devraient être différents durant les quelques jours suivant ledit croisement. Cette règle est celle que nous avons choisi de nommer oscillateur fixe, ou selon la terminologie de Brock et al. (1992), la FMA. Pour modéliser cette règle, nous avons enregistré les rendements durant les 10 jours suivant un signal d'achat ou de vente. Tous les signaux alors générés par d'éventuels croisements durant cette période de 10 jours, sont alors ignorés. La période de 10 jours n'est pas arbitraire, dans une optique d'homogénéisation des tests dans la littérature, nous avons choisi la même que celle de Brock et al. (1992). Suivant cette logique, les signaux fonction des volumes de trade seront ignorés.

Typiquement, ayant stocké pour chaque jour les signaux générés par la règle VMA, l'algorithme pour modéliser les signaux FMA, avec les notations XA pour les croisements signaux de tendance haussière, et XV pour les croisements signaux de tendance baissière :

Après implémentation sur Excel, les cinq oscillateurs obtenus sont les suivants :

La dernière règle d'analyse technique dont sera étudiée la performance, sera celle des Bandes de Bollinger. Cette méthode d'analyse technique consiste à générer des signaux d'achat ou de vente lorsque les bandes de Bollinger sont traversées par les cours. Les signaux d'achats sont émis quand le cours traverse la bande supérieure, et des signaux de ventes sont émis par la cassure de la bande inférieure. Pour comprendre cette stratégie des analystes techniques, nous définissons nos bandes de Bollinger ci-dessous :

{ xk - 19,
·
·
·, xk} l'ensemble composé de xk et des 19 jours précédents,

MM²⁰(xk) la moyenne mobile long-terme sur 20 jours, de l'ensemble { xk - 19,
·
·
·, xk}, et 020(xk) l'écart-type de l'ensemble { xk - 19,
·
·
·, xk}.

Ainsi notre bande de Bollinger, par construction, et par hypothèse de log-normalité des rentabilités, devrait selon les analystes techniques, borner les cours qui ne devraient pas sortir du canal créé par l'intervalle de +/-2o autour de la moyenne mobile à 20 jours d'un cours. Cela avec un niveau de confiance de 95%, car la stratégie repose sur l'hypothèse gaussienne. Nous testerons donc cette méthode avec un taux d'absorption des signaux de 1% sur les lignes de support et résistance qui constituent les bandes de Bollinger. Suite à l'apparition du signal d'achat ou de vente, nous enregistrerons, comme Brock et al. (1992), les rentabilités obtenues durant 10 jours consécutifs. A cette stratégie de trading selon les bandes de Bollinger, nous avons décidé de tester les performances obtenues avec davantage de jours. Nous avons fixé arbitrairement ce nombre jour à 20 pour notre deuxième stratégie.

B. Résultats empiriques : Tests traditionnels

1. Statistiques de l'échantillon

Le tableau ci-dessous présente une étude de corrélation entre les cours du Dow Jones DJ Eurostoxx, et les cours du CAC40 sur une période similaire, allant du 3 janvier 2000, au 19 mai 2009. Les jours ouvrés n'étant cependant pas les même à Paris, Francfort ou Zürich, le nombre de variables diffère d'un échantillon à l'autre. Par conséquent, 2 possibilités

s'offraient à nous : soit supprimer les cours correspondant aux dates non concordantes, soit compléter les dates manquante par un jour tradé, dont le cours est égal à celui de la veille. Nous avonse choisi cette dernière solution. En effet supprimer les cours correspondant aux dates non concordantes pouvait avoir pour conséquences d'annuler une variation journalière non négligeable, et ainsi biaiser la volatilité.

CAC40		DJ Eurostoxx
Dates ajoutées à l'échantillon	CAC Index	Dates ajoutées à l'échantillon	SX5E Index
12 juin 2000	6549.05	24 décembre 2002	2456.5
14 juillet 2000	6570.36	31 décembre 2002	2386.41
4 juin 2001	5432.71	24 décembre 2003	2721.57
		28 mai 2007	4463.52
		24 décembre 2007	4384.55

A la vue de ces résultats, nous avons fait le choix de porter notre étude uniquement sur les données historiques du CAC40.

Comme nous pouvons le voir, les cours du CAC40 et du Dow Jones DJ Eurostoxx ont le même comportement, en effet leur cours est très fortement corrélé, et leur volatilité relative est du même ordre. Nous en concluons que les résultats obtenus sur les cours du CAC40, seront valable également pour le Dow Jones DJ Eurostoxx.

b. Résumé statistique de l'échantillon étudié : indice CAC40 sur une dizaine d'années

Les résultats empiriques de ces 2 393 jours tradés consécutifs du 1^er jour ouvré de l'année 2000, à la fin mai 2009, sont calculés à partir des log différences des cours. Les données montrent alors une claire leptokurticité des log rentabilités considérées.

Nous avons aussi testé l'auto-corrélation des cours avec un décalage de i jours, puis calculé leur p-value. Les résultats des calculs sont accessibles, en annexe, et ont été réalisés à l'aide du logiciel R, mis en ligne par l'université Pierre et Marie Curie. Suivant la typologie adoptée dans la littérature, nous avons marqué ces autocorrélations d'une étoile * pour une significativité à 5% d'erreur, et marquées de deux étoiles **, quand l'erreur est inférieure à 1%. Il apparaît alors une très faible autocorrélation des log rentabilités. Ce qui semble intervenir en faveur de l'efficience faible des marchés. Nous avons également réalisé un test

de Bartlett standard pour estimer l'erreur des autocorrélations, par la formule . Bien qu'il

ne s'agisse pas d'indices boursiers identiques, nos résultats sont concordants avec ceux de Brock et al. (1992)

	2 393
Moyenne	-0.00025
?	0.0159
Skew	0.0410
Kurtosis	5.08
p(0)	1
p(1)	-0.047**	p(2)
-0.046	p(3)
-0.069	p(4)
0.062*	p(5)
-0.073*
Bartlett std.	0.020
	Rendements sur 10 jours (glissants)
N	2 383
Moyenne	-0.0023
?	0.0433
Skew	-0.9724
Kurtosis	3.50
p(0)	1.000
p(1)	0.862		p(2)
0.731	p(3)
0.622	p(4)
0.535	p(5)
0.429
Bartlett std.	0.020

2. Résultats de la stratégie des moyennes mobiles oscillantes

Les tableaux suivants présentent les résultats de performance de la méthode des oscillateurs flottants ou VMA, ainsi que les résultats de performance de la méthode FMA. Nous y avons réalisé, pour chaque méthode, une synthèse des résultats des 5 oscillateurs évoqués précédemment.

Pour chaque oscillateur, nous avons distingué les 3 règles déjà auparavant énoncées, sur 3 lignes successives.

Nous avons donc testé les performances de 30 oscillateurs au total, dans les deux tableaux qui suivent.

En première ligne, nous présentons les résultats de l'oscillateur classique, sans contrainte. En deuxième ligne, ceux de l'oscillateur muni d'une bande absorbante de 1% sur sa moyenne mobile long terme. En troisième ligne enfin, nous présentons les résultats de l'oscillateur muni d'un filtre évitant les signaux s'annulant d'une journée à l'autre. Rappelons que les signaux de trading de ces oscillateurs sont initiés lors du croisement des moyennes mobiles

court-terme et long-terme. Un signal d'achat (vente) est généré quand la moyenne mobile court terme passe au dessus (dessous) de la moyenne mobile long terme.

N(SAchat) ^et_N(SVente) représentent le nombre de signaux d'achat et de vente générés par la méthode. Des ratio sont ensuite calculés. Nous présentons ensuite la moyenne des log- rentabilités journalières cumulées des signaux d'achat, puis celle des signaux de vente. Vient ensuite le calcul des écart-types. Les colonnes suivantes montrent la proportion de signaux d'achat ayant engendré des rentabilités positives pour le praticien de l'analyse technique. Enfin, en dernière colonne sont présentés les rendements obtenus au moyen de ces oscillateurs sur l'ensemble de la période de l'échantillon.

Il est intéressant de constater que pour les oscillateurs VMA, plus de 50% des signaux d'achat sont gagnants. Ce résultat est en parfaite cohérence avec les résultats de Brock et al. (1992), mais leur interprétation ne fonctionne pas sur l'échantillon considéré ici. En effet, ceux-ci affirment, après avoir trouvé ces mêmes proportions de signaux d'achats gagnants, que cela est consistant avec un marché à tendance haussière. Or on sait que sur l'échantillon choisi, la tendance du marché n'était pas haussière. Il se caractérise en effet par la création de la bulle Internet, son éclatement, une tendance haussière, puis une crise sans précédent, celle des subprime. Celle-ci a fait perdre 59,2% de sa valeur au CAC40 en l'espace de 21 mois et demi, entre le 1 juin 2007, et le 9 mars 2009. Ce qui a eu pour effet d'annuler 6 ans de tendance haussière et d'atteindre un « plus bas » à cette date. Il semble donc, empiriquement, que cette importante proportion de signaux d'achat gagnants, soit due à un autre élément. Probablement l'outil en lui-même.

Pour les tests de FMA, deux cas nous donnent cependant des résultats inférieurs (supérieurs) à 50% et inférieurs (supérieurs) au nombre de signaux d'achat (vente). Il s'agit des oscillateurs 5-150 et 2-200, avec une bande filtrante de 1%. Cela indique, puisque la moyenne journalière des rendements cumulés Achat-Vente est toujours strictement positive, que cette règle de trading implique implicitement que l'on réalise régulièrement des opérations de moyenne à la baisse. Ce qui est clairement illustré par le ratio de signaux d'achat à 26% selon nos résultats, et de vente à près de 73% de l'oscillateur 2-200-(1%).

Dans la dernière colonne des tableaux, Achats-Ventes, on constate de plus que les log- rentabilités journalières espérées sont bien supérieures à celles du marché. En synthèse, les stratégies VMA et FMA permettent respectivement, toutes règles confondues d'espérer des rentabilités journalières de 0.0026, et 0.0 178, alors que le marché propose, nous l'avons vu dans la section 1. b., une rentabilité journalière moyenne de -0.00025.

3. Résultats de la stratégie des bandes de Bollinger

Suivant cette stratégie, rappelons-le, les agents interprètent respectivement les traversements des bandes hautes et basse de Bollinger comme des signaux de vente et d'achat. Les positions de trading sont maintenues pendant 10 ou 20 jours selon la règle testée, et les rendements moyens journaliers sont exprimés dans le tableau. Il s'en suit par construction, que seuls les signaux apparaissant dans un ?t > 10 jours, ou ?t > 20 jours pour la seconde règle, sont générés.

On constate alors qu'imposer un enfoncement à travers le support ou la résistance supérieur 1% pour générer un signal, engendre des pertes plus importantes.

Cela reste cohérent avec le fait que cet outil est fait pour rendre compte de la faible probabilité du cours de traverser cette bande. D'autre part, cet outil doit sa notoriété à sa réactivité. Attendre un enfoncement de 1% est synonyme de perte de profit. Cependant, concrètement, cet outil ne donne pas de résultats probants. Et clairement, l'espérance de gain est négative.

De plus, le nombre de signaux d'achat est anormalement élevé, et très nettement supérieur au nombre de signaux de vente. Ce qui est incohérent avec la tendance du marché sur les 10 ans. Par ailleurs, en gardant ses positions sur 20 jours, plutôt que de les garder sur 10, on observe que les pertes sont moins importantes, mais que la méthode ne permet toujours pas de gagner de l'argent.

D'autant que les frais de transactions ne sont pas modélisés ici dans le calcul des rentabilités.

Bandes de Bollinger - rentabilités sur 10j

Canal

N(SAchat)

N(SVente)

^Ratio SAchat

Ratio SVente

Moyenne
journalière des
signaux
d'achat

Moyenne
journalière des
signaux de
vente

SAchat

Rendement
> 0

SVente

Rendement
> 0

Achat-Vente

MM (j)

Haut

Bas

Filtre
(%)

MM20
MM20

+2 g
+2 g

-2 g
-2 g

0%
1%

50
21

48
5

51.02%
80.77%

48.98%
19.23%

-0.0298583
-0.0504645

0.0083102
0.0172875

0.0176
0.0260

45.20%
42.86%

53.13%
50.00%

-0.0381685
-0.0677521

Moyenne journalière -0.0402 0.0128 0.0218 -0.0530

Bandes de Bollinger - rentabilités sur 20j

Canal

N(SAchat)

N(SVente)

Ratio

SAchat

Ratio

SVente

Moyenne
journalière des
signaux
d'achat

Moyenne
journalière des
signaux de
vente

SAchat

Rendement
> 0

SVente

Rendement
> 0

Achat-Vente

MM (j)

résistan
ce

suppo
rt

Filtre
(%)

MM20
MM20

+2 g
+2 g

-2 g
-2 g

0%
1%

39
19

35
5

52.70%
80.51%

47.30%
19.49%

-0.0168600
-0.0388239

0.0069475
0.0151060

0.0163
0.0241

46.79%
47.89%

52.14%
48.91%

-0.0238076
-0.0677521

Moyenne journalière -0.0278 0.0110 0.0202 -0.0458

4. Synthèse de la performance des différentes stratégies par rapport au ratio Sharpe

Afin de déterminer si les résultats précédents, qui semblent démontrer que VMA et FMA, permettent de réaliser des profits plus élevés que ceux du marché, reflètent la réalité, nous réalisons une analyse des ratios de Sharpe de l'ensemble des stratégies présentées dans cette étude. Nous pourrons ainsi montrer si les rentabilités obtenues ne sont que la juste rémunération d'une prise de risque plus élevée.

Stratégie :	VMA		FMA		Bollinger (rendements 10j)		Bollinger (rendements 20j)		B&H
Rendements journaliers moyens	0.00260		0.01782		-0.05296		-0.04578		-0.00025
Volatilité journalière moyenne	0.0158		0.0124		0.0218		0.0202		0.0159
ratio de Sharpe		0.1804		1.4527		-2.41 51		-2.2573		0.0000

Ces ratios nous indiquent sans surprise que les bandes de Bollinger sous-performent réellement la simple stratégie d'achat conservation. En ce qui concerne les stratégies VMA et FMA, les résultats sont plus intéressants, et montrent une sur-performance du marché. Ces résultats semblent en adéquation avec les résultats de Brock, Lakonishok, & Blake (1992) et Sullivan, Timmermann, & White (1999). Mais ces résultats sont à nuancer, car la faiblesse du Sharpe de VMA, indique que le rendement obtenu < 0.5 rémunère une prise de risque trop élevée pour le rendement obtenu. Quand au fort ratio de Sharpe observé pour FMA, nous restons mitigé, et un rééchantillonage par bootstrap s'impose pour vérifier sa significativité.

C. Bootstrap

Afin de vérifier la significativité des résultats semblant remettre en cause l'efficience faible des marchés, nous nous sommes attachés à créer un modèle de Bootstraping qui pourra sans doute nous apporter des éléments complémentaires de réponse. En effet, le bootstraping consiste en une méthode informatique de rééchantillonage, sans données supplémentaires que celles de l'échantillon de départ. Dans cette étude, le modèle stochastique utilisé pour réaliser ce bootstrap diffère de celui de Brock et al. (1992), qui en en ont choisi plusieurs, soit plus simples, comme celui de la marche aléatoire, ou plus élaborés, comme les modèles GARCH ou ARCH, dont l'inventeur, Robert Engel, reçu un prix Nobel en 2003. La méthodologie abordée ici différera également de celle de Brock et al. (1992), et tendra davantage vers celle

adoptée par Sullivan, Timmermann, et White (1999). Effet, nous analyserons les résultats ainsi que leur significativité par rapport aux critères du ratio de Sharpe.

1. Le choix du modèle

Notre étude empirique sur l'historique des cours du CAC40, nous a conduit à la très faible auto-corrélation des log-rentabilités. Nous choisirons donc un modèle de formation des prix S(k), cohérent avec la non-corrélation des rentabilités logarithmiques R = lnS(k+1) - lnS(k). En outre, cette représentation est cohérente avec le marché, car les prix ne peuvent être négatifs, (le domaine de définition de la fonction ln x est ]0,+oo[ ) et est cohérente avec l'efficience faible. En effet, une auto corrélation des log rentabilités serait exploitée pour tirer des profits anormaux. Comme on le sait, le TCL (Théorème Central Limite) implique la normalité des rentabilités logarithmiques. Malgré les limites de ce modèle face à la réalité empirique (nous avons en effet constaté la forte lepto-kurticité des log-rentabilités des cours dans nos premiers résultats), c'est celui que nous adoptons et choisissons de représenter pour notre Bootstrap. Il a également l'avantage d'être cohérent avec les moyennes mobiles simples utilisées dans nos tests de performances. En effet, si les moyennes mobiles avaient été pondérées en accordant davantage d'importance aux dernières volatilités des cours, par des oscillateurs pondérés ou MACD, il aurait été cohérent d'utiliser un modèle autorégressif intégrant en plus l'hétéroscédasticité des cours, comme le ARCH.

La représentation que nous avons choisie des log-rentabilités est donc faite à l'aide d'un mouvement brownien géométrique, ainsi caractérisé en temps discret :

lnS(t+At) - lnS(t) ? AlnS=mAt+oAW avec W, un processus de Wiener, et oAW distribué selon une N(0, o²At)

Nous choisissons d'adopter un pas de 1 entre les points de la trajectoire, ce qui a pour but de réduire la complexité algorithmique, car la variable t disparaît.

Ayant calculé nos paramètres sur l'échantillon que constituent les cours du CAC40 sur une période de près de 10ans, nous avons obtenu ces valeurs :

Puis nous avons implémenté l'algorithme suivant, dont le code VBA Excel figure en annexe, pour un nombre n de points de la trajectoire Brownienne géométrique souhaitée :

Dans notre modèle algorithmique, nous avons choisi, plutôt que d'utiliser le générateur de v.a.r gaussiennes centrées réduites d'Excel, de concevoir personnellement un tel générateur suivant la méthode de Box-Muller, pour ses propriétés de convergence rapide. Il faudrait réaliser plusieurs centaines, voir un millier d'itération pour obtenir des résultats significatifs pour une loi gaussienne. Par cette méthode, dans la pratique et pour obtenir des résultats intéressants, une cinquantaine d'itérations suffisent. Aussi, pour chaque point d'une trajectoire brownienne affiché, une cinquantaine sont calculés.

Nous avons donc choisi pour notre bootstrap, de ne simuler qu'une centaine de trajectoires browniennes géométriques. Cent une, exactement. Mais ces 101 trajectoires affichées pour le calcul des significativités correspondent à un total de 50 x 101, ie 5 050 trajectoires calculées en chaque point, à l'issu des 101 itérations.

Voici 3 exemples de trajectoires obtenues avec notre modèle Brownien géométrique (2^e au 4e chart), comparé aux cours réels (1^er chart) :

2. Synthèse des résultats des différentes stratégies par rapport au ratio Sharpe

A l'issu de ce test, de nouvelles conclusions s'imposent. Tout d'abord, les gains spectaculaires de la méthode FMA ne sont pas significatifs. Car même si dans 71% des cas, les rendements journaliers espérés sont supérieurs à ceux observés sur notre échantillon initial, le ratio de Sharpe montre que dans 99% des cas il sous performe la stratégie Buy & Hold. Ce qui semble en accord avec l'hypothèse selon laquelle, cette méthode induit implicitement des stratégies de moyenne à la baisse, capable de faire gagner beaucoup, mais de mener à des catastrophes également.

Autres résultats, les tests de Bollinger I à 10 jours, et Bollinger II à 20 jours montrent un ratio de Sharpe, certes significativement supérieur à celui observé sur les cours réels du CAC40, mais ce ratio reste négatif. Ce qui implique qu'ils sous-performent systématiquement la stratégie d'achat-conservation. Un résultat intéressant est donné par la VMA. On peut en effet affirmer avec une erreur de 1%, relativement au modèle de formation de prix adopté, que cette stratégie est plus performante que la stratégie Buy & Hold. Ce qui induirait l'invalidité de l'hypothèse nulle selon laquelle les méthodes d'analyse technique ne permettent pas de réaliser des profits systématique supérieurs au marché. Et là même, invaliderait, du moins partiellement, l'hypothèse d'efficience faible des marchés, conjointement au modèle de formation de prix choisi. Mais l'invalidation est à nuancer et demeure partielle pour trois raisons. La première est que nous savons que le modèle de formation des prix n'est pas vraiment log normal. Celui-ci est leptokurtique et hétéroscedastique. De plus, les ratios de Sharpe montrent que les rendements anormalement élevés observés rémunèrent simplement une prise de risque trop élevée même pour le rendement obtenu car < 0.5. Enfin, ces rendements finalement faibles pour la prise de risque acceptée, sont calculés sans coûts de transaction.

CONCLUSION

L'objectif de ce mémoire était de déterminer, si en temps de crise, l'efficience de marché pouvait toujours être considérée comme une hypothèse raisonnable, au sens faible de la définition donnée par Fama (1991). Pour cela, nous avons utilisé les tests d'efficiences faibles moyennes mobiles nommés VMA et FMA selon la terminologie de Brock et al. (1992), et les bandes de Bollinger bornant les cours boursiers par +/- 2 écart-types. Avec différentes règles de stratégie, notre analyse nous a conduit à tester 34 méthodes de trading différentes utilisées en analyse technique. (2 fois 15 pour les oscillateurs, et 2 fois 2 pour les bandes indirects que sont les outils de l'analyse technique. Nous avons ainsi utilisé 2 oscillateurs de Bollinger) Pour évaluer les résultats observés, nous avons utilisé un ensemble de tests statistiques classiques, tels que les études d'auto-corrélation des cours avec p-values, écart-types, et autres moyennes et tests de Bartlett standard. Synthétisant ces résultats, nous avons alors choisi de comparer les performances des outils d'analyse technique testés à la stratégie d'achat conservation sur l'ensemble de la période définie par l'échantillon. L'analyse de la significativité des nos résultats nous a alors amené à élaborer et implémenter un modèle de formation des prix par des méthodes de Monte-Carlo. Nous avons ainsi choisi, pour des raisons de cohérence avec l'efficience informationnelle faible des marchés financiers, de représenter les rentabilités logarithmiques du CAC40 par un mouvement brownien géométrique. A partir de cela, nous avons pu utiliser des tests statistiques non standards, le bootstrapring, pour valider la significativité des résultats que nous avions observés. Ces résultats ont abouti à la remise en cause partielle de l'hypothèse nulle d'efficience informationnelle faible des marchés financiers. Notamment par la possibilité d'obtenir des profits anormaux et systématiques la méthode nommée VMA par Brock et al. (1992). Cependant, l'analyse des ratios de Sharpe nuance ce rejet de l'hypothèse nulle, en faisant ressortir que les rentabilités obtenues sont trop faibles pour le risque accepté. De plus, ce ratio pourrait s'inverser si les coûts de transactions étaient intégrés aux algorithmes des méthodes d'analyse techniques considérées.

Pragmatiquement, cette étude montre que les stratégies de trading à partir des bandes de Bollinger 20 jours, sont intrinsèquement vouées à l'échec. De même, elle montre que les méthodes de trading basées sur les croisements de moyenne mobile sur une durée fixe, FMA, sont in fine des méthodes perdantes. Mais cette dernière remarque n'est significative que conjointement à l'acceptation de l'hypothèse log-normale des rentabilités boursières.

Finalement, nous ne pouvons certes pas expliquer les rendements de la méthode VMA, mais nous pouvons les observer. Et immanquablement, force est de constater que s'il existait des agents, ayant utilisé cet outil technique durant toute la période définie par l'échantillon, sur le même indice, et avec rigueur, c'est-à-dire sans déroger à la règle, alors ces agents auraient très certainement navigué sur l'éclatement de la bulle internet, et sur la dernière crise des subprimes, avec sérénité en engrangeant des bénéfices bien supérieurs au marché nonobstant les coûts de transaction. En effet, nous l'avons dit, dans notre étude, toutes les stratégies adoptées sont à coût de transaction nulle. Et c'est là une critique acceptable. Mais au-delà de celle-ci, le problème soulevé est celui de la rationalité des agents, déjà évoqué par Orléan (2008). Et des études visant à mesurer leur impact seraient un prolongement naturel à cette étude concluant à l'inefficience faible des marchés. Il faudrait pour cela réaliser des tests de stratégies d'analyse techniques, basées entre autres sur les volumes de trading et des coûts de transactions non nuls. Mais implémenter de telles stratégies informatiquement n'est pas aisé, même si des travaux comme ceux réalisés par Lo, Harry, & Wang (2000) permettent déjà d'avancer dans ce sens.

ANNEXES

Minimum	1er quartile		Médiane		Moyenne		3ème quartile
-7.73E-03	9.50E-05		-2.30E-04		7.63E-03		1.06E-01
Minimum		1er quartile		Médiane		Moyenne		3ème quartile
-0.007709		0.000108		-0.000216		0.00763		0.1059

Minimum	1er quartile		Médiane		Moyenne		3ème quartile
-0.008	0		-0.000239		0.008		0.106
Minimum		1er quartile		Médiane		Moyenne		3ème quartile
-0.008		0		-0.000249		0.008		0.106

Minimum	1er quartile		Médiane		Moyenne		3ème quartile
-0.007709	0.000121		-0.000214		0.007631		0.1059
Minimum		1er quartile		Médiane		Moyenne		3ème quartile
-0.007719		0.000108		-0.000221		0.007627		0.1059

Minimum	1er quartile		Médiane		Moyenne		3ème quartile
-0.008	0		-0.000251		0.008		0.106
Minimum		1er quartile		Médiane		Moyenne		3ème quartile
-0.008		0		-0.000251		0.008		0.106

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TABLE DES MATIERES

II. Analyse empirique de la performance de méthodes simples d'analyse technique, et

4. Synthèse de la performance des différentes stratégies par rapport au ratio

RESUME ET ABSTRACT

Ce mémoire a pour but de tester l'efficience faible des marchés au moyen de l'analyse technique et conjointement avec l'hypothèse stochastique de formation des prix.

This paper has the purpose to test market efficiency under Technical Analysis rules, jointly with the stochastic hypothesis of stock returns shaping.