VI-3. Opérations sur les Ensembles Flous
Les opérations sur les ensembles flous sont des extensions
des opérations connues sur les ensembles classiques:
VI-3-1. Egalité
Soit deux ensembles flous A et B dans un univers X. On dit que A
et B sont égaux (A = B) si leurs fonctions d'appartenance ont la
même valeur en tout point x de X :
ì = ì ? ?
A B
(x) (x) x X.
? xX telque
? ì A
x) (x) A B
? ì ?
B
Si
(
(VI-6)
VI-3-2. Inclusion
Soit deux ensembles flous A et B dans un univers X. On dit que A
est inclus dans B noté A ? B si leurs fonctions d'appartenance sont
telles que:
?x? X;ìA(x) = ì B(x)
(VI-7)
L'inclusion définit une relation d'ordre. VI-3-3.
Intersection
L'intersection de deux sous-ensembles flous A et B de X est un
sous-ensemble de X qui contient tous les éléments x de X
appartenant à la fois à A et B. L'intersection de deux sous-
ensembles flous A et B (A n B) de X est le sous-ensemble flou C tel que
[16,35,36]:
( x))
? ? ì C = ì A ì B
x X; (x) min( (x) ,
Où
ìC = ì A(x)* ì
B(x) (VI-8)
VI-3-4. Union
L'union de deux sous-ensembles flous A et B de X est un sous
ensemble flou de X qui contient tous les éléments appartenant ou
bien à A ou bien à B.
L'union de deux sous-ensembles flous A et B (A ? B) de X est le
sous-ensemble flou D
deX tel que:
|
? ? ì D = ì A ì B
x X; (x) max( (x), (
|
x))
|
Où
)
ì = ì + ì - ì ì
D A B A B
(x) (x) (x) (x) * (x
|
ì = ì
D A
(x) (
|
x) (
? ì B
|
x)
|
(VI-9)
VI-3-5. Complément d'un sous-ensemble Flou
Soit un sous-ensemble flou A de X, son complément est un
sous-ensemble contenant tous le x n'appartenant pas àA. Le
complément C
A d'un sous-ensemble flou A de X est définit comme le
sous-ensemble flou de X de fonction d'appartenance :
?x?X; ìAC(x)=1-ìA(x)
(VI-10)
VI-4. Raisonnement en Logique Floue
La logique floue permet le traitement souple de connaissances
imprécises ou incertaines, ce qui serait impossible avec le logique
classique.
On peut considérer que la logique floue est une
extension de la logique classique. Les propositions sont des propositions
floues définies à partir d'un ensemble L de variables
linguistiques (x, T(x), X). Leurs valeurs de vérité appartient
à tout l'intervalle [0; 1] et elle est
fournie par la fonction d'appartenance de la
caractérisation floue utilisée dans la proposition floue
[36,37].
Soit x une valeur linguistique et A une
caractéristique.
> Proposition
Une proposition floue est définie à partir d'une
variable linguistique (x, T(x), X) par la qualification: « x est A
»
> Conjonction
La conjonction de deux propositions floues est
réalisée par l'opérateur ET par exemple : « x1 est A1
ET x2 est A2 »
> Disjonction
La disjonction de deux propositions floues est
réalisée par l'opérateur OU par exemple : « x1 est A1
OU x2 est A2 »
> Implication
Une implication entre deux propositions floues définit
aussi une proposition floue que l'on peut exprimer par : « SI x1 est A1
ALORS x2 est A2 »
> Règle Floue
Une règle floue est une proposition floue utilisant une
implication entre deux propositions floues quelconques. Par exemple: « SI
x1 est A1 ET x2 est A2 ALORS x3 est A3 »
Où :
SI x1 est A1 ET x2 est A2 est la permise.
x3 est A3 est la conclusion.
En utilisant les règles de composition
d'inférences, nous pouvant formaliser une procédure
d'inférence appelé raisonnement flou sur l'ensemble des
règles (Si - Alors)
La règle de base d'inférence est le
Modus-Ponens, selon qu'on peut déduire la vérité
de la proposition A2 de la vérité de la proposition A1 et de
l'implication A1 A2. Ce concept est illustré ci-dessous:
Pr emisse1 (fait observé) x1 est A1
|
Pr
|
emisse2 (règle)
|
SI
|
x1 est A1 ALORS
|
x2 est A2
|
|
|
|
|
|
|
Conclusion x2estA2
Le Modus-Ponens de la logique classique ne permet
d'obtenir une conclusion à la seule condition que la proposition soit
exactement vérifiée. Il convient donc d'adapter cette forme de
raisonnement aux ensembles flous. Il convient donc d'utiliser le
Modus-Ponens Généralisé énoncé sous
la forme [16, 35]:
|
Pr
|
emisse1 (fait observé)
|
x1 est A1
|
|
|
Pr
|
emisse2 (règle)
|
SI
|
x1 est A1 ALORS
|
x2 est A2
|
|
Conclusion x2 est A2'
| 
