III.6 Estimation paramétrique de la CVaR
Afin de calculer la CVaR paramétrique, nous supposons que
les rendements des actions ainsi de portefeuille suivent une loi normale. De ce
fait, la formule de CVaR est donnée par :
CVaR ( R p ) = VaR +
Moyenne de perte dépassant la VaR (52)
á á á
A partir, d'une programmation sur Matlab on calcule la CVaR pour
trois niveaux de confiance 99%, 95% et 90%. Les résultats trouvés
sont enregistrés dans le tableau suivant :
Tableau 17 : Estimation paramétrique de la
CVaR
|
Action
CVaR(á)
|
CVaR(0.99)%
|
CVaR(0.95)%
|
CVaR(0.90)%
|
|
Air France
|
-15.31
|
-1094
|
-866
|
|
Air Liquide
|
-8.26
|
-5.96
|
-4.8 1
|
|
Alcatel-Lucent
|
-15.87
|
-11.44
|
-9.15
|
|
Axa
|
-10.86
|
-7.81
|
-6.24
|
|
BNP
|
-10.07
|
-7.23
|
-5.77
|
|
Bouygues
|
-11.07
|
-7.96
|
-6.38
|
|
Carrefour
|
-9.04
|
-6.54
|
-5.24
|
|
Danone
|
-7.43
|
-5.35
|
-4.26
|
|
Essilor-Intl
|
-8.82
|
-6.35
|
-5.05
|
|
Lafarge
|
-9.5
|
-6.85
|
-5.51
|
|
LVMH
|
-9.92
|
-7.17
|
-5.74
|
|
Michelin
|
-9.76
|
-7.06
|
-5.65
|
|
L'orial
|
-9.13
|
-6.6
|
-5.27
|
|
Peugeot
|
-9.17
|
-6.63
|
-5.31
|
|
Renault
|
-11.08
|
-7.99
|
-6.41
|
|
Schneider.Elec
|
-10.2
|
-7.34
|
-5.9
|
|
Sté générale
|
-10.37
|
-7.48
|
-5.96
|
|
Total
|
-8.42
|
-6.09
|
-5.48
|
|
Vallourec
|
-11.22
|
-8.06
|
-6.43
|
|
Vinci (EXSGE)
|
-8.56
|
-6.15
|
-8.66
|
Le Tableau (17) nous permet de constater que chaque fois le
niveau de confiance diminue, la CVaR baisse. De plus, on remarque que la CVaR
est plus grande que la VaR pour toutes les actions, ceci est dû au fait
que l'Expected Shortfall est une mesure de risque plus générale
que la Value-at-Risk. En outre, pour différent niveau de confiance on
voit que l'action AlcatelLucent est plus risquée que les autres actifs.
Par contre l'action Danone est la plus efficace en terme de perte, puisqu'elle
possède la plus petite valeur de CVaR.
III.7 L'approche Moyenne-Variance-CVaR
Un investisseur rationnel cherche toujours à minimiser
le risque du portefeuille et par suite limité sa perte maximale pour des
niveaux de risque fixés par lui même. Or, puisque la Valueat-Risk
n'est pas une mesure cohérente dans le sens d'Artzner, dans cette partie
nous allons traiter l'impacte d'ajouter une contrainte de type CVaR au
modèle classique Moyenne- Variance. En outre, dans ce cas le risque de
portefeuille sélectionné est contrôlé par deux
mesures ; la variance et la CVaR.
Le portefeuille optimal pour cette approche est celui qui
minimise la variance et se borne le CVaR à une valeur absolu maximale
égale à C.
Ce portefeuille est trouvé à partir la
résolution de système suivante :
Min X' i Ó X (53)
i
x
) = R
S/c X' . E (R
i i
CVaR á C
=
Afin de résoudre ce système et trouver les
justes proportions de chaque action dans le portefeuille optimal, et
pourá =99%, on fixe deux valeurs pour C et on compare chaque
fois les résultats trouvés avec les résultats vues
auparavant.
À cet instar, on choisit pou la première valeur
C=0.756%. Ainsi, dans le tableau (18) nous déterminons les poids des
actions dans les portefeuilles efficaces et ces variances :
Tableau 18 : Les proportions des actions dans les
portefeuilles optimaux
pour á =99% et C=
0.756%.
|
Xi R
|
0.02%
|
0.04%
|
0.06%
|
0.08%
|
0.09%
|
0.1%
|
|
X1
|
0.0150
|
0.0850
|
0.0172
|
0.0352
|
0.0796
|
0.0869
|
|
X2
|
0.0000
|
0.0295
|
0.0403
|
0.0395
|
0
|
0.0709
|
|
X3
|
0.2596
|
0.1049
|
0.0367
|
0.0423
|
0
|
0.0136
|
|
X4
|
0.0188
|
0.0863
|
0.0459
|
0.0789
|
0.0008
|
0.0540
|
|
X5
|
0.0224
|
0.0568
|
0.0869
|
0.0595
|
0.1090
|
0.0151
|
|
X6
|
0.0598
|
0.0701
|
0.0336
|
0.0358
|
0.0166
|
0.0308
|
|
X7
|
0.0637
|
0.0760
|
0.0311
|
0.0668
|
0.0963
|
0.0226
|
|
X8
|
0
|
0.0338
|
0.0344
|
0.0917
|
0.0188
|
0.0538
|
|
X9
|
0.0726
|
0.0619
|
0.0703
|
0.0295
|
0.095 1
|
0.0398
|
|
X10
|
0.0397
|
0.0123
|
0.0609
|
0.0974
|
0.0739
|
0.0738
|
|
X11
|
0.0610
|
0.0910
|
0.0948
|
0.0328
|
0.0673
|
0
|
|
X12
|
0
|
0.0118
|
0.0761
|
0.0063
|
0.0583
|
0.0718
|
|
X13
|
0.0 168
|
0.0740
|
0.0492
|
0.0202
|
0.0026
|
0.0595
|
|
X14
|
0.1454
|
0.0614
|
0.0653
|
0.0568
|
0.0276
|
0.0761
|
|
X15
|
0.0912
|
0.0133
|
0.0051
|
0.0479
|
0.0810
|
0.0367
|
|
X16
|
0.0124
|
0.0030
|
0.0518
|
0.0077
|
0.0196
|
0.0043
|
|
X17
|
0.0992
|
0.0329
|
0.0484
|
0.0098
|
0.0069
|
0.0227
|
|
X18
|
0.0223
|
0.0883
|
0.0850
|
0.0886
|
0.0711
|
0.0544
|
|
X19
|
0
|
0.0061
|
0.0336
|
0.1195
|
0.1371
|
0.1780
|
|
X20
|
- 0.0000
|
0.00 13
|
0.0334
|
0.0338
|
0.0383
|
0.0352
|
|
ó2(10)-4
|
0.87538
|
0.88911
|
0.90762
|
0.96580
|
0.98852
|
0.99122
|
De même que les autres approches, on constate que le
niveau de risque augmente chaque fois que le rendement espéré
accroît. En outre, pour une espérance 0.02%, on a un portefeuille
optimal où la variance est minimum de valeur 0.87538.10-4.
Cependant, lorsqu'on augmente le taux de rendement espéré
à 0.1%, la variance de portefeuille optimal aussi augmente pour prendre
une valeur de 0.99122.10-4.
Pour bien marquer la relation entre le taux de rendement
espéré et la variance d'un portefeuille, nous traçons dans
le graphique suivant la frontière efficiente dont ainsi définie
:
Figure 21 : La frontière efficiente de l'approche
Moyenne-Variance-C VaR
Cette figure illustre la frontière efficiente de
l'approche Moyenne-Variance-CVaR (99%) quand C = 0.756%. On constate que cette
frontière n'est plus sous forme elliptique, puisque la variance
évalue avec une proportion très faible par rapport à
l'espérance.
| 
