III.1 Présentation de l'échantillon du
l'étude
Les donnés de notre étude sont
constituées de vingt actions de CAC40 cotées à la bourse
française sur dix ans. Ces actions sont : Air France, Air Liquide,
Alcatel-Lucent, Axa, BNP, Bouygues, Carrefour, Danone, Essilor-Intl, Lafarge,
LVMH, Michelin, L'orial, Peugeot, Renault, Schneider Electrique,
Société Générale, Total, Vallourec et Vinci.
Les cotations journaliers de ces actions sont comptés
à partir des cours correspondant à une période qui
s'étale de 01 janvier 1997 jusqu'au 17 décembre 2007, la taille
de l'échantillon et donc de 2859 observations.
A partir de ces cotations, on a calculé les taux de
rentabilité journaliers de chaque action pour déterminer les
caractéristiques de chaque titre ; parmi ces caractéristiques on
citera dans
le tableau suivant, la moyenne de chaque actif financier, la
variance, l'étendu, ainsi les taux de rendement maximal et minimal sur
l'horizon de temps considéré :
Tableau 2 : caractéristiques des actions de
l'échantillon
|
Actions
|
Moyenne
10^- 3
|
Variance
10^- 3
|
Ecart
type
|
Rmin
|
Rmax
|
Etendu
|
|
Air France
|
0.7
|
1.07584
|
0.0328
|
-0,12022
|
0,8215
|
0,94172
|
|
Air Liquide
|
0.5
|
0,31329
|
0.0177
|
-0,1099
|
0,0836
|
0,1935
|
|
Alcatel-Lucent
|
0.3
|
1.14244
|
0.0338
|
-0,3839
|
0,4054
|
0,7893
|
|
Axa
|
0.5
|
0,53824
|
0.0232
|
-0,1707
|
0,1332
|
0,3039
|
|
BNP
|
0.8
|
0,46656
|
0.0216
|
-0,1178
|
0,1437
|
0,2615
|
|
Bouygues
|
1
|
0,56644
|
0.0238
|
-0,1504
|
0,1584
|
0,3088
|
|
Carrefour
|
0.2
|
0,37249
|
0.0193
|
-0,1037
|
0,1172
|
0,2209
|
|
Danone
|
0.6
|
0,256
|
0.0160
|
-0,1019
|
0,1019
|
0,2038
|
|
Essilor Intl
|
0.6
|
0,35721
|
0.0189
|
-0,1311
|
0,1251
|
0,2562
|
|
Lafarge
|
0.6
|
0,41209
|
0.0203
|
-0,169
|
0,1308
|
0,2998
|
|
LVMH
|
0.5
|
0,44944
|
0.0212
|
-0,1074
|
0,1226
|
0,23
|
|
Michelin
|
0.4
|
0,43264
|
0.0208
|
-0,097 1
|
0,1283
|
0,2254
|
|
L'orial
|
0.6
|
0,38416
|
0.0196
|
-0,1507
|
0,1112
|
0,2619
|
|
Peugeot
|
0.6
|
0,38809
|
0.0197
|
-0,1297
|
0,1102
|
0,2399
|
|
Renault
|
0.9
|
0,56644
|
0.0238
|
-0,1297
|
0,1294
|
0,2591
|
|
Schneider.Elec
|
0.6
|
0,47524
|
0.0218
|
-0,204
|
0,1126
|
0,3 166
|
|
Sté générale
|
0.8
|
0,49284
|
0.0222
|
-0,1334
|
0,1185
|
0,2519
|
|
Total
|
0.6
|
0,32761
|
0.0181
|
-0,1233
|
0,0921
|
0,2154
|
|
Vallourec
|
1.4
|
0,58564
|
0.0242
|
-0,2578
|
0,1012
|
0,359
|
|
Vinci
|
1.1
|
0,33856
|
0.0184
|
-0,096
|
0,0809
|
0,1769
|
Ce tableau, devanture que l'action Alcatel-Lucent est plus
risqué que les autres actifs : D'une part, il dispose, à peu
près, la plus petite moyenne et la variance aussi élevée.
D'autre part, il possède un étendu le plus grand par rapport aux
autres titres à cause de la faible valeur de Rmin.
Pareillement, à partir de la moyenne, on conclue que
l'action Vallourec est plus rentable, soit un taux de rendement moyen
égal à 1,4. Contrairement au titre Carrefour qui est le plus
risqué dans notre échantillon d'un taux équivalent
à 0,2.
Également, pour les investisseurs averses au risque,
l'actif Danone est préférable que les autres titres, car sa
variance est la moins élevée d`une valeur 0,256.
Cependant, Nicolas Bernoulli a montré dans la
première moitié du 18émme siècle que la
maximisation du rendement espéré est un critère de choix
très anciens. De plus, il a mentionné certains
inconvénients de cette approche telle que la négligence du risque
lors de sélection de portefeuille.
A cet effet, l'approche Moyenne-Variance de Markowitz, qu'on
va l'évoquer dans le paragraphe suivant, est plus
généralisé que le critère de maximisation du
rendement espéré, puisqu'elle regroupe la moyenne et le risque
lors de choix des titres optimaux.
III.2 L'approche Moyenne-Variance
Selon Markowitz, l'analyse de la sélection de
portefeuille peut être formalisée comme un système
d'optimisation composé par une fonction de minimisation de variance sous
une contrainte d'un taux de rendement fixé.
Pour résoudre ce système, Markowitz suppose que les
taux de rendements sont normalement distribués
(1).
Figure 10 : Histogramme de l'échantillon
sélectionné
La figure (10), représente l'histogramme des taux de
rendement de portefeuille des actions triés. En effet, cet histogramme
semble être symétrique par rapport à un axe
parallèle à l'axe des coordonnés passant par le point
d'abscisse 0. Cela est un indicateur d'une distribution normale et
centrée. De ce fait, on peut utiliser l'approche classique pour la
sélection de portefeuille optimal.
L'objectif d'investisseur rationnel, d'après la
théorie Moyenne-Variance, est la construction d'un portefeuille qui
offre le risque le plus faible possible pour un niveau de rendement
désiré. Dans ce cas, le risque est contrôlé par un
seul instrument, qu'est la variance
(1) : Une loi normale est
caractérisée par deux propriétés ; la
première est le coefficient de Kurtosis (d`aplatissement) qui est
égale à 3 et la deuxième le coefficient de Skewnes
(d'asymétrie) qui est équivalent à 0.
En choisissant les proportions de chaque titre dans le
portefeuille, un investisseur choisit parmi les paires disponibles de
Moyenne-Variance, les actions intéressées. Afin de calculer
les allocations pour une paire possible, nous fixons un taux de
rendement espéré R.
Pour se faire, le portefeuille optimal pour tous les
investisseurs averses au risque est celui qui résoudre ce système
:
Min X' i Ó X (46)
i
x
X
' . 1 i ô =
) = R
S/c
X' . E (R
i i
Avec Ó matrice Variance-Covariance de portefeuille (voir
annexe).
X1
Xi = : Vecteur des poids des titres dans le
portefeuille choisi.
X20
1
ô Vecteur unitaire de vingt colonnes et une
ligne.
1
= :
E R
( )
1
|
E R i
( ) =
|
: Vecteur des espérances des titres (voir tableau (1),
colonne
|
E R
( )
20
« Moyenne »).
À travers une programmation sur le logiciel de Matlab,
on détermine les proportions Xi à investir dans les
différentes actions. Or pour tracer la frontière d'efficience, on
fixe chaque fois un taux de rendement espéré et on
détermine la variance minimale de portefeuille. Ainsi, dans le tableau
(3), nous comptons les vecteurs d'allocation d'actifs ainsi la variance de
portefeuille pour des espérances équivaut à ; 0.02% ;
0.04%; 0.06%; 0.08% ; 0.09% et 0.1%.
Tableau 3 : Les proportions des actions dans les
portefeuilles optimaux
|
Xi R
|
0.02%
|
0.04%
|
0.06%
|
0.08%
|
0.09%
|
0.1%
|
|
X1
|
0.0352
|
0.0434
|
0.0782
|
0.0385
|
0.0555
|
0.0567
|
|
X2
|
0.0000
|
-0.0000
|
0.0391
|
0.0186
|
0.0619
|
0.0393
|
|
X3
|
0.3637
|
0.3465
|
0.3163
|
0.0559
|
0.1471
|
0.1590
|
|
X4
|
0.0281
|
0.0002
|
0.0487
|
0.0361
|
0.0557
|
0.0316
|
|
X5
|
0.0486
|
0.0818
|
0.0131
|
0.0406
|
0.0427
|
0.0272
|
|
X6
|
-0.0000
|
0
|
0
|
0.0308
|
0.1007
|
0.0523
|
|
X7
|
0.1154
|
0.0944
|
0.1340
|
0.1071
|
0.0928
|
0.0555
|
|
X8
|
0
|
0.0193
|
0.0560
|
0.0726
|
0.0900
|
0.0637
|
|
X9
|
0
|
0.0186
|
-0.0000
|
0.0766
|
0
|
0.0276
|
|
X10
|
0.0014
|
0.0000
|
0.0031
|
0.0594
|
0.0017
|
0.0351
|
|
X11
|
0.1012
|
0.0540
|
0.0633
|
0.0739
|
0.1060
|
0.1054
|
|
X12
|
0.0000
|
-0.0000
|
0.0078
|
0.0694
|
0.0458
|
0
|
|
X13
|
0.0876
|
0.0638
|
0.0607
|
0.0225
|
0.0364
|
0.0820
|
|
X14
|
0.0948
|
0.0934
|
0.0732
|
0.0689
|
0.0183
|
0.0703
|
|
X15
|
0.0228
|
0.0186
|
0.0378
|
0.0885
|
0.0836
|
0.0105
|
|
X16
|
0
|
0.0259
|
0.0264
|
0.0174
|
0.0396
|
0.0568
|
|
X17
|
0.0940
|
0.0783
|
0.0338
|
0.0903
|
0.0054
|
0.0658
|
|
X18
|
0.0070
|
0.0618
|
0.0085
|
0.0118
|
0.0167
|
0.0612
|
|
X19
|
0
|
0
|
0
|
0.0101
|
0
|
0
|
|
X20
|
-0.0000
|
-0.0000
|
0
|
0.0110
|
0
|
0
|
|
Variance
|
0. 987
|
1.026
|
1.0607
|
1.3001
|
2.2677
|
2.335
|
|
10-4
|
|
|
|
|
|
|
|
VaR99%
|
0.0237
|
0.0243
|
0.0251
|
0.0358
|
0.0360
|
0.0365
|
En conséquence, on remarque que plus le niveau du
rendement espéré est élevé plus le risque, qui est
mesuré par la variance, est grande. Par exemple, pour une
espérance égale à 0,02%, on a une variance
équivalente à 0,987.10-4. Par contre, en augmentant le
taux de rendement espéré à une valeur 0, 1%, le risque
accroît également pour atteindre une valeur de 2,335.1
0-4. Pareillement, on peut mesurer le risque de portefeuille
à partir du VaR. A ce fait, nous avons calculé la VaR de
portefeuille pour un niveau de confiance égale à 99%. Comme la
variance, chaque fois l'espérance est augmentée, la
VaR99% amplifie.
Pour bien marquer la relation entre le taux de rendement
espéré et la variance d'un portefeuille, nous traçons dans
le graphique suivant, la frontière efficiente dont ainsi définie
:
Figure 11 : La frontière efficiente de
l'approche Moyenne -Variance
Cette frontière contient les portefeuilles optimaux
pour chaque niveau de rentabilité espéré où le
risque est minimum. Ces portefeuilles forment une courbe concave et elliptique
dont les coordonnées sont le risque et la rentabilité
espérée.
Une question fondamentale s'interroge dans cette partie qu'est ;
comment un investisseur averse au risque choisit son portefeuille parmi ces
derniers ?
III.2.1 Courbe d'indifférence
Chaque investisseur sélectionne une fonction
d'utilité qui est spécifique à son niveau d'aversion au
risque. Or pour un investisseur averse au risque, construit son portefeuille en
maximisant l'espérance de rendement et en réduisant le risque. La
fonction qui satisfait ces deux conditions est la fonction quadratique. Or,
pour déterminer la courbe d'indifférence, on doit maximiser la
fonction d'utilité espérée :
'
(47)
Max = ë Ó
E(U(w)) E (R ) X - (1/2) X X
i i i i
x
20
S/c 1
X i
=
i
Où ë est le degré d'aversion au
risque.
Pour illustrer la courbe d'indifférence, on fixe, au
départ, ë à une valeur équivalente à
1.3 et on augmente chaque fois l'espérance pour déterminer la
variance. Ainsi on trouve les différentes valeurs dans le tableau 4.
Tableau 4 : Variances des portefeuilles optimums pour
un degré d'aversion ë= 1.3
|
E(Ri)
|
0.02%
|
0.04%
|
0.06%
|
0.08%
|
0.09%
|
0.1%
|
|
ó 2(10)-4
|
1.005
|
1.108
|
1.1214
|
1.068
|
1.0091
|
1.008474
|
À partir des valeurs trouvées, on trace la courbe
d'indifférence dans un plan des coordonnés variance et
espérance :
Figure 12 : Courbe d'indifférence et
frontière efficiente
Sur la figure (12), sont représentées deux
courbes ; la première, tracé en bleue, est la frontière
efficiente et la deuxième en verte, est la courbe d'indifférence.
On remarque que la courbe d'indifférence est convexe ce qui provoque que
le risque n'augmente pas linéairement en fonction du poids des actifs
dans le portefeuille. De plus elle coupe la frontière de Markowitz en
deux points A et B ; ces deux points représente deux portefeuilles
optimums.
Ainsi, selon sa tolérance au risque, l'investisseur
choisit son portefeuille parmi ces deux points. à titre d'exemple, s'il
est moins averse au risque, il sélectionne le portefeuille A, sinon, le
portefeuille B sera plus efficace.
Cependant, chaque investisseur dispose un degré
d'aversion au risque spécifique à sa position selon sa
préférence du risque. De ce fait, on va étudier par suite,
l'effet d'augmenter ë à une valeur 5, sur le choix de
portefeuille efficient.
Tableau 5 : Variances des portefeuilles optimums pour
un degré d'aversion ë= 5
|
E(Ri)
|
0.02%
|
0.04%
|
0.06%
|
0.08%
|
0.09%
|
0.1%
|
|
ó 210-4
|
3.9070
|
4.1922
|
4.3370
|
4.007
|
3.9377
|
3.8025
|
A partir des valeurs trouvées dans les tableaux 4 et 5, on
trace les courbes d'indifférence dans le plan des coordonnés
variance et espérance :
Figure 13 : Courbes d'indifférence et
frontière efficiente
Sur la figure 13, sont représentées deux courbes
d'indifférence C et C' pour deux
niveaux d'aversion successifs 1,3 et 5. La courbe C'
représente un niveau de risque plus élevé que
C, pour cela son intersection avec la frontière
d'efficience se réalise à deux points ; la première,
à un niveau d'espérance plus haut que le point A (Figure 12), par
contre la deuxième à un niveau plus faible que le point B (Figure
12). En conséquence, la courbe C' offre un niveau de
satisfaction plus faible que la courbe C. Mais ces deux
courbes ne produisent pas le niveau d'utilité le plus
élevé puisqu'elles ne sont pas tangentes à la
frontière efficiente.
III.2.2 Introduction d'un actif sans risque
Supposons maintenant qu'il existe un actif sans risque dont le
taux de rentabilité Rf est fixé à une valeur égale
à 6.10-4 sur l'horizon de temps considéré. Dans
ce cas, le risque de l'actif est nul (c'est-à-dire variance = 0) et son
espérance égale à 0.06%.
Dans ce cas le système d'optimisation de portefeuille
devient :
|
Min
x
|
20 20
i j
|
Xi Xj cov( , )
R R (48)
i j
|
20
|
Xi Ri
|
+
|
X f R f R
=
|
|
s/c
|
i
20
|
Xi X 1
+ =
f
i
Où Xf désigne la proportion prise par
l'investisseur dans l'actif sans risque.
A cet effet, dans le tableau 6, nous déterminons les
vecteurs d'allocation des actions ainsi la variance de portefeuille lorsqu'on
introduit un actif sans risque.
Tableau 6: Les proportions des actions dans les
portefeuilles optimaux suite à
l'introduction d'un actif sans
risque
|
Xi
|
R =0.6 10-3
|
|
X1
|
0
|
0
|
|
X2
|
0
|
0
|
|
X3
|
0
|
0
|
|
X4
|
0
|
0
|
|
X5
|
0
|
0
|
|
X6
|
0
|
0
|
|
X7
|
0
|
0
|
|
X8
|
0.1481
|
0.1020
|
|
X9
|
0
|
0
|
|
X10
|
0
|
0
|
|
X11
|
0
|
0
|
|
X12
|
0
|
0
|
|
X13
|
0.8199
|
0.8227
|
|
X14
|
0
|
0
|
|
X15
|
0
|
0
|
|
X16
|
0
|
0
|
|
X17
|
0
|
0
|
|
X18
|
0
|
0
|
|
X19
|
0
|
0
|
|
X20
|
0
|
0
|
|
Xf
|
0.0321
|
0.0752
|
|
Variance 10-4
|
1,0506
|
1,0432
|
Pour R égal à 0.06%, on remarque que
l'ajout d'un actif sans risque fait diminuer le risque, mesuré par la
variance, de 1,0607.10-4 à 1,0506.10-4. De plus
lorsqu'on augmente la proportion de l'actif sans risque dans le portefeuille de
3.21% à 7.52% la variance diminue de 1,0506.10-4 à
1,04320.10-4.
Suite à l'introduction d'un actif sans risque, la
frontière efficiente n'est plus elliptique, elle se transforme en une
droite linéaire passant par le taux de rentabilité Rf et tangente
à l'ancienne frontière. Donc on peut schématiser cette
frontière comme suite :
Figure 14 : Effet de l'actif sans risque sur la
frontière efficiente
Ainsi, l'investisseur place une fraction Xf dans l'action sans
risque et les restes dans le portefeuille risqué. La frontière
d'efficience prend alors la forme d'une demi droite qui est [Rf , M[. Le point
M qui correspond au point de tangence entre l'ancienne frontière et la
récente. On remarque aussi, que l'introduction d'un actif sans risque
fait augmenter le rendement espéré de p'
à p, pour un même niveau de risque
égale à 0,012.10-2.
Le portefeuille optimal est celui qui correspond au point de
tangence entre la demie droite [Rf , M[ et la courbe d'indifférence la
plus élevée qu'il peut l'atteindre.
Figure 15 : évaluation des cours de
portefeuille
Bien que l'approche Moyenne-Variance est la plus
utilisé en pratique par la plupart des investisseurs, elle souffre de
certaines limites, telle qu'elle se base sur la variance comme mesure de
risque, qui analyse les pertes et le les gains de même façon et
n'est valable que dans un univers gaussien. Or puisque la loi normale
possède une queue fine, l'approche classique ne tient pas compte des
valeurs extrêmes situant au niveau des queues. Ainsi, dans la figure 15,
nous avons illustré les cours du portefeuille examiné sur
l'horizon de temps considéré. On enregistre, pendant les dix ans,
des valeurs qui dépassent les variances maximum et minimum #177; 0.2.
De ce fait, on va introduire dans la partie suivante une autre
mesure de perte dont elle tient compte des valeurs extrêmes, la
Value-at-Risk, et on étudiera son effet sur le choix de portefeuille
efficient.
III.3 Estimation de la VaR
Nous étudierons dans cette section deux méthodes
d'estimation du VaR : la méthode paramétrique et la
méthode empirique.
III.3.1 VaR paramétrique
Afin de calculer la VaR paramétrique, nous supposons
que les rendements des actions ainsi de portefeuille suivent une loi normale. A
partir, d'une programmation sur Matlab, on calcule la VaR pour trois niveau de
confiance 99%, 95% et 90%. Les résultats trouvés sont
enregistrés dans le tableau 7 :
Tableau 7 : Estimation de la VaR par la méthode
paramétrique
|
VaR(á)
Actions
|
VaR (0.99)
%
|
VaR (0.95)
%
|
VaR (0.90)
%
|
|
Air France
|
-7,56
|
-5,32
|
-4,13
|
|
Air Liquide
|
-4,07
|
-2,86
|
-2,22
|
|
Alcatel-Lucent
|
-7,84
|
-5,54
|
-4,31
|
|
Axa
|
-5,33
|
-3,75
|
-2,91
|
|
BNP
|
-4,94
|
-3,47
|
-2,68
|
|
Bouygues
|
-5,43
|
-3,81
|
-2,95
|
|
Carrefour
|
-4,46
|
-3,15
|
-2,45
|
|
Danone
|
-3,65
|
-2,56
|
-1,98
|
|
Essilor Intl
|
-4,34
|
-3,05
|
-2,36
|
|
Lafarge
|
-4,67
|
-3,28
|
-2,55
|
|
LVMH
|
-4,89
|
-3,45
|
-2,68
|
|
Michelin
|
-4,81
|
-3,39
|
-2,63
|
|
L'orial
|
-4,49
|
-3,16
|
-2,45
|
|
Peugeot
|
-4,51
|
-3,17
|
-2,46
|
|
Renault
|
-5,44
|
-3,82
|
-2,96
|
|
Schneider.E
|
-5,02
|
-3,53
|
-2,74
|
|
Sté générale
|
-5,08
|
-3,57
|
-2,76
|
|
Total
|
-4,14
|
-2,91
|
-2,26
|
|
Vallourec
|
-5,49
|
-3,84
|
-2,96
|
|
Vinci (EXSGE)
|
-4,19
|
-2,93
|
-2,26
|
Le Tableau 7, nous permet de constater que chaque fois le
niveau de confiance diminue, la VaR baisse. Par exemple la VaR (99%) de
l'action Air France équivalente à 7.56% en valeur absolu,
cependant, elle diminue lorsque le niveau de confiance devient 90% à une
valeur 4.13%. On peut expliquer cette résultat de la façon
suivante : la VaR (99%)=7.56% cela signifie qu'il y a 1% d'avoir une perte
maximale sur l'action Air France dépasse 7.56%. Mais
pour la VaR (90%) on a 10% de chance d'enregistrer une perte
maximale dépasse 4.13% ; C'est -à- dire qu'on est moins douteux
d'avoir un résultat parfait lorsque on estime la VaR à un niveau
de confiance de 99% que d'un niveau de confiance équivaut à
90%.
De plus, pour différent niveau de confiance, on voit
que l'action Alcatel-Lucent est plus risquée que les autres actifs. Par
contre l'action Danone est la plus efficace en terme de perte, puisqu'elle
possède la plus petite valeur de VaR.
III.3.2 VaR historique / empirique
Cette méthode présume que le futur est le
prolongement de passé. Autrement-dit, à partir des cours
passés, on estime les cours futurs. Selon une programmation sur Matlab,
on calcule la VaR pour trois niveaux de confiance 99%, 95% et 90%. Les
résultats trouvés sont enregistrés dans le tableau 8 :
Tableau 8 : Estimation de la VaR par la méthode
historique
|
VaR(á)
Actions
|
VaR (0.99)
%
|
VaR (0.95)
%
|
VaR (0.90)
%
|
|
Air France
|
-7,79
|
-3,63
|
-2,72
|
|
Air Liquide
|
-4,43
|
-2,80
|
-2,06
|
|
Alcatel-Lucent
|
-8,69
|
-5,07
|
-3,46
|
|
Axa
|
-6,50
|
-5,07
|
-2,42
|
|
BNP
|
-6,05
|
-3,24
|
-2,27
|
|
Bouygues
|
-6,50
|
-3,58
|
-2,51
|
|
Carrefour
|
-5,20
|
-3,05
|
-2,14
|
|
Danone
|
-3,87
|
-2,36
|
-1,63
|
|
Essilor Intl
|
-4,93
|
-2,81
|
-1,97
|
|
Lafarge
|
-5,54
|
-3,21
|
-2,30
|
|
LVMH
|
-5,27
|
-3,29
|
-2,30
|
|
Michelin
|
-5,54
|
-3,35
|
-2,29
|
|
L'orial
|
-4,96
|
-3,11
|
-2,18
|
|
Peugeot
|
-4,88
|
-3,09
|
-2,13
|
|
Renault
|
-5,92
|
-3,74
|
-2,61
|
|
Schneider.E
|
-5,58
|
-3,36
|
-2,40
|
|
Sté générale
|
-6,39
|
-3,47
|
-2,33
|
|
Total
|
-4,71
|
-2,90
|
-2,10
|
|
Vallourec
|
-6,12
|
-3,63
|
-2,52
|
|
Vinci (EXSGE)
|
-4,59
|
-2,77
|
-1,94
|
De même que la VaR paramétrique, on constate que,
plus le niveau de confiance est élevé, plus la perte subie par
l'investisseur est grande. Toutefois, pour toutes les actions on remarque
que la VaR(99%) empirique est inférieur à celle
paramétrique ; à titre d'exemple, pour l'action Air France, on a
une VaR paramétrique équivalente à 7.56% en valeur
absolue, par contre lorsque on l'estime par la méthode empirique, elle
augmente pour atteindre une valeur 7,79%. Nonobstant, pour des niveaux de
confiance inférieure à 99%, la VaR empirique devient
supérieure à celle paramétrique.
Une question fondamentale se pose ici; qu'elle est la meilleure
méthode d'estimation du VaR?
L'estimation de VaR par la méthode historique est plus
efficace, dans certain cas, que par la méthode paramétrique. En
effet, elle n'impose aucune hypothèse sur la nature de distribution des
rendements, contrairement à la méthode paramétrique que
suppose que les taux de rendement soient normalement distribués. Mais La
rareté des donnés peut apporter des problèmes quant
à l'application de cette méthode.
III.4 Approche Moyenne-VaR
Puisque l`approche de Markowitz est imparfaite pour le choix
de portefeuille à cause de la non considération des valeurs
extrêmes, dans cette partie, nous nous intéressons à
l'optimisation de portefeuille avec la VaR. Pour cette raison, et comme
l'approche Moyenne- Variance, nous examinons l'effet d'introduire la VaR au
lieu de la variance comme mesure de risque sur la sélection de
portefeuille. Pour ce faire on a procédé à une
programmation sur Matlab ; il s'agit de minimiser la fonction objective, la
VaR, sous contrainte un niveau désiré de taux de rendement
espéré. Le portefeuille optimal pour cette approche est celui qui
résoudre la programme suivante ;
X
' . 1 i ô =
) R
S/c
X'. E (R
i i
Pour faciliter les calcules, on utilise la méthode
paramétrique afin d'estimer la VaR des actions ainsi de portefeuille,
pour cela on peut récrit le système de manière suivante
;
Min X ' E ( R ) - Z
á X ' Ó X (50)
i i i i
x
X
' . 1 i ô =
S/c
X' . E (R)
i i R
avec Zá le quantile d'ordre
á de la loi normale N (0,1).
Par ailleurs, notre objectif est de déterminer les
proportions Xi représentant les poids des actions dans le portefeuille
optimum. A cet effet, dans le tableau (9) nous calculons les vecteurs
d'allocation des actifs ainsi la VaR de portefeuille pour un niveau de
confiance 99%.
Tableau 9 : Les proportions des actions dans les
portefeuilles optimaux (á =99%)
|
Xi R
|
0.02%
|
0.04%
|
0.06%
|
0.08%
|
0.09%
|
0.1%
|
|
X1
|
0.0431
|
0.0032
|
0
|
0.0574
|
0.0158
|
0.1115
|
|
X2
|
0.0092
|
0.0622
|
0.0697
|
0.0636
|
0.1103
|
0.0418
|
|
X3
|
0
|
0
|
0
|
0.05 13
|
0.0205
|
0
|
|
X4
|
0.0091
|
0.0163
|
0
|
0.0698
|
0.0916
|
0.0786
|
|
X5
|
0.057 1
|
0
|
0
|
0.0899
|
0.0449
|
0.0962
|
|
X6
|
0.0263
|
0.1045
|
0.1501
|
0.0058
|
0.0637
|
0.0245
|
|
X7
|
0.0531
|
0.1079
|
0.1294
|
0.0278
|
0.0169
|
0
|
|
X8
|
0.0746
|
0.0724
|
0.0089
|
0.0809
|
0.0052
|
0.0523
|
|
X9
|
0.0871
|
0.0687
|
0.0589
|
0.0310
|
0.0303
|
0.0079
|
|
X10
|
0.0889
|
0.0602
|
0.0365
|
0.0968
|
0.0230
|
0.0719
|
|
X11
|
0.0101
|
0.0131
|
0.0098
|
0.0672
|
0.0919
|
0.1005
|
|
X12
|
0.0560
|
0.0652
|
0.0412
|
0.0073
|
0.0205
|
0.0491
|
|
X13
|
0.0730
|
0.0791
|
0.1745
|
0.0057
|
0
|
0.0568
|
|
X14
|
0.0467
|
0.0259
|
0.0665
|
0.0000
|
0.0300
|
0
|
|
X15
|
0.0224
|
0.0606
|
0.0654
|
0.0226
|
0.0795
|
0.0501
|
|
X16
|
0.0865
|
0.0882
|
0.0392
|
0.0536
|
0.0997
|
0.0459
|
|
X17
|
0.0567
|
0.0059
|
0
|
0.0455
|
0.0559
|
0.0272
|
|
X18
|
0.0840
|
0.0850
|
0.0341
|
0.0698
|
0.01 14
|
0.0248
|
|
X19
|
0.0423
|
0.0552
|
0
|
0.0943
|
0.1381
|
0.1401
|
|
X20
|
0.0738
|
0.0263
|
0.1157
|
0.0596
|
0.0508
|
0.0208
|
|
VaR(á)
|
-0.0264
|
-0.0267
|
-0.0269
|
-0.027 1
|
-0.0273
|
-0.0274
|
|
ó2(10)-4
|
1.4478
|
1.4838
|
1.5639
|
1.7390
|
1.8584
|
1.8743
|
De même que l'approche de Markowitz, on constate que le
niveau de risque, mesuré par la VaR, augmente chaque fois que le
rendement espéré accroît. En effet, pour une
espérance
égale à 0.02%, la VaR (99%) équivalente
à 2.64% en valeur absolu, par contre, lorsqu'on augmente le taux de
rendement espéré à une valeur 0.1%, le risque
accroît, également, pour atteindre une valeur égale
à 2.74%.
Le calcul de la variance de portefeuille nous amène
à déduire que, chaque fois l'espérance est
augmentée, la variance de portefeuille est amplifie. De plus, pour
différent niveau @e taux de rendement espé0é, on voit que
le poids de l'action Alcatel-Lucent (x3) dans la plupart des portefeuilles, est
nul. Cela est expliqué de faite que ce titre est plus risqué (on
a déjà montré ça dans le paragraphe «
estimation de VaR »).
|
|
