Introduction générale
Les Hommes recherchent en général ce qu'il y'a
de meilleur, et lorsqu'ils sont face à un problème de prise de
décision, tous voudraient prendre la décision optimale.
Un des traits caractéristiques de notre époque
est l'intérêt croissant porté aux problèmes de
planification économique, de gestion, et de contrôle de
systèmes. Comme jamais dans l'histoire, on ressent de nos jours la
nécessité d'une gestion fructueuse et efficace des ressources
naturelles et humaines, des moyens matériels et techniques.
Ainsi se pose le besoin de disposer d'outils objectifs
susceptibles d'aider à prendre face à un problème, la
meilleure décision.
Le domaine des mathématiques qui permet de
modéliser les processus de prise de décision est la programmation
mathématique. Au fil du temps et en fonction des besoins, se sont
développées la programmation linéaire (PL), la
programmation non linéaire (PNL), la programmation multiobjectif (POM)
et la programmation à deux-niveaux.
La PL et la PNL permettent de modéliser des processus
de prise de décisions dans les systèmes centralisés;
c'est-à-dire dans les systèmes où un seul décideur
est préoccupé par l'optimisation d'une fonction objectif soumise
à des contraintes éventuelles. La POM quant à elle permet
d'aborder les problèmes d'optimisation dans lesquels le décideur
voudrait atteindre plusieurs objectifs simultanément.
Pour ce qui est de la programmation à deux-niveaux
(PBN), elle permet de modéliser des processus de prises de
décision dans un système décentralisé. Ici, deux
décideurs ne pouvant agir indépendamment l'un de l'autre, mais
suivant une certaine hiérarchie, souhaitent prendre chacun la meilleure
décision par rapport à des objectifs généralement
différents. La stratégie choisie par l'un des décideurs
(le leader ou décideur du premier niveau) influence la fonction objectif
et/ou la région réalisable de l'autre (le suiveur ou
décideur du second niveau). Par conséquent, la décision de
ce dernier est fortement liée à celle du leader. Ainsi un PBN est
constitué de deux problèmes d'optimisation qu'on ne peux
résoudre séparément.
La PBN suscite depuis quelques décennies
déjà un grand intérêt dans la communauté de
la programmation mathématique; ceci grace à ses nombreuses
applications en économie, en ingénierie et dans plusieurs autres
domaines des sciences.
La plupart des méthodes de résolution des PBN
développées dans la littérature suppose au
préalable que le problème du second niveau admet une solution
unique; ceci dans le but de transformer le PBN en un problème
d'optimisation à un niveau classique. Mais il se trouve que la
majorité des problèmes modélisés sous forme de PBN
sont tels que le problème du suiveur n'admet pas une solution unique
[11].
C'est pourquoi la recherche depuis plus d'une décennie
déjà, est tournée vers la résolution des PBN dans
le cas de la non unicité de la solution du problème du second
niveau.
Notre travail consiste à présenter une approche
de résolution des PBN qui fait actuellement l'objet de recherches
profondes : l'approche de résolution par régularisation des PBN
dans le
TABLE DES FIGURES 0
Mémoire de DEA * Laboratoire
d'analyse numérique * UYI Francisque.D.Fouodji
c~UYI 2007-2008
cas de la non unicité de la solution du problème du
suiveur.
Ce travail est organisé ainsi qu'il suit :
? au chapitre un, nous
présentons les généralités sur la PBN dans le cas
de l'unicité de la solution du problème du second plan;
? au chapitre deux nous
présentons les différentes techniques d'approches des PBN dans le
cas de la non unicité;
? enfin au chapitre trois nous
présentons l'approche par régularisation, ainsi qu'un algorithme
de résolution basé sur cette approche développé par
S.Dempe, dont nous étudions la convergence.
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