1.5. Espace affine1
Soient un corps (K, +, x), un espace vectoriel
(V, +, ·) sur ce corps, et un ensemble E non
vide dont les éléments sont appelés points et
notés par des lettres latines majuscules : A, B,...
Les couples d'éléments de E,
éléments de E x E, seront appelés
bipoints.
Définition 1.11.
Un espace affine peut alors être défini
comme le triplet C = ( E, V, ? où
? : E × E ? V est une application
satisfaisant aux deux propriétés suivantes (appelées
axiomes des espaces affines) :
?
, , ? 3 , ? , + ? , = ? ,
( A B C E A B B C ) ( A
C (1.10.)
A ? E, ?u?V, ? !
B?E/ ? ( A , B ) =u
(1.11.)
Notation : pour tout couple de points (A, B), et si
toute confusion est impossible, on note
« AB » le vecteur ? ( A, B)
.
La propriété (1.10.) s'écrit alors :
? ( A , B , C ) ?
E3,AB+BC= AC
1 Historiquement, la notion d'espace
affine est issue du choc dû à la découverte de
nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais
différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles
remettaient en cause les notions de longueur et d'angle, qui reposaient
elles-mêmes sur celle de distance, et poussèrent à
redéfinir l'espace euclidien, en excluant ces notions et tout ce qui s'y
rapportait. Le résultat fut une géométrie affine,
où l'espace apparaît comme une structure algébrique,
voisine de celle d'espace vectoriel qui en fut dégagée par la
suite (donnant ainsi naissance à l'algèbre linéaire),
Espace affine, Wilkipédia, http://www.wilkipeadia.com/
Remarques 1.10.
Cette propriété est souvent appelée
Relation de Chasles.
La propriété (1.11.) dit tout simplement que
lorsqu'on fixe un point P dans E, l'application
?P : E V
M PM
est une bijection. Elle permet aussi de définir une
opération (qui est plus utilisée comme une notation)
correspondant à l'addition d'un vecteur à un point :
3 ' '
( )
A B E i V A i B AB i
, ? ? ?
? , , + = ? = '
Définition 1.12.
La dimension d'un espace affine est la dimension de
l'espace vectoriel qui lui est associé.
L'espace vectoriel V est appelé
direction de E.
1.5.1. Propriétés
élémentaires
Les propriétés suivantes découlent
directement de la définition d'espace affine (c'est-àdire des
axiomes (1.10.) et (1.11.). Soient A, B, C, D et A1,..., An des points
quelconques dans
un espace affine C. Nous avons alors :
AB = 0 ?A=B; (1.12.)
BA=-AB; (1.13.)
n
-1
A A n = ? A i A i
(Relation de Chasles généralisée) ; (1.14.)
1 + 1
i
=1
AB = DC ? AD = BC (Relation
du parallélogramme). (1.15.)
1.5.2. Sous-espaces affines
Définitions 1.13.
Un sous-espace affine d'un espace affine å = (E,
V, ? est un triplet (F, W,? où F
est
inclus dans E et West un sous-espace vectoriel
de V, le tout satisfaisant aux deux propriétés suivantes
:
Pour tout couple de points A et B de F, le vecteur
AB appartient à W; (1.16.)
Pour tout point A de F et tout vecteur i ' de
W, le point A + i ' appartient à
F.(1.17.) Le sous-espace vectoriel W est appelé la
direction du sous-espace affine. La dimension d'un sous-espace affine est
tout simplement la dimension de sa direction.
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