II.II.1.2 MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE
Supposons que notre échantillon des excès
X=(X1,X2,...,XN!) est
indépendante et identiquement identifiée avec
comme fonction de distribution la GPD. Nous obtenons les équations de
maximisation à partir desquelles nous calculons les estimateurs du
maximum de vraisemblance. Nous avons donc la log-vraisemblance de chaque loi
estimée à partir de la distribution réelle. Ces
données sont présentées dans le tableau suivant:
TAB 8: MDA
NORMALE STUDENT PARETO LAPLACE
DJIA 41,85 75,77 86,54 82,83
Le maximum de vraisemblance le plus proche est celui de la
loi de Pareto avec 86.54. Le domaine d'attraction maximum est donc celui de la
loi de Fréchet.
II.II.2 MODéLE DE SÉLECTION DE
MAXIMA
II.II.2.1 RÉALITÉ ERRATIQUE
La théorie de la normalité des marchés
financiers est spécifiquement remise en cause avec la théorie des
valeurs extremes. Particulièrement en haute fréquence oü la
stationnarité des cours est plus erratique. L'étude menée
précédemment nous a permis de comprendre que le
développement de la gestion du risque dans un univers gaussien,
introduit par la normalité des rendements, est inadapté à
l'appréhension des comportements extremes.
44
L' << homme moyen >> de A. Queteletn'existe pas en
finance. Dans ce préambule sur les extremes de marché, nous
étudions les variations du DJIA sur la période de test. Cette
étude comprend 1 148 données de prix, du 13/06/2006 au
31/12/2010. Nous avons choisi d'illustrer nos propos en sélectionnant le
maximum |Dt| des variations Intra-Day45 en valeur absolue
en t, à partir d'un seuil s
prédéfini.
Placé sur une fenétre glissante
D1,D2,...,D! de taille F, lorsque le
seuil s est supérieure à |Dt|, la
rentabilité réelle du DJIA en t en valeur absolue est
donnée par:
+
Pt
b
1
1
;
Pt
1
1
Pt
+
Pt
?? Pt
= 1; c=
Pt
D = max a =
t
44 A. Quetelet est un mathématicien,
astronome, naturaliste et statisticien belge du XIXème siècle. Il
présenta dans son ouvrage: << Sur l'homme et le
développement de ses facultés, essai d'une physique
social>> la notion d'homme moyen. << L'homme moyen d'une
population est un individu dont les caractéristiques physiologiques sont
chacune égale à la moyenne des autres caractéristiques
physiologiques de la population>>
45 Ensemble des variations comprises dans une
journée boursière.
Oü et !!! est le plus haut du jour,
P!! est le plus bas et P!_1 est le cours de
clTMture du jour précédent. Nous indiquons le
dépassement relatif.
0.00% 5.00% 10.00% 15.00%
6/13/2006
2/13/2007 10/13/2007 6/13/2008 2/13/2009 10/13/2009
6/13/2010
True Range
Soit IF, la fenétre de test, dont la
série des violations définie par la variable dichotomique est la
suivante:
1 siD > s
IF =
0 si D < s
s est le seuil appartenant à la fenétre
F compris entre 1 et F. Fest un nombre > 1, pour lequel le
nombre de donnée |D| est inférieure au nombre
t
total de données compris dans l'échantillon.
Soit F < Dt Il s'agit de
2
déterminer jusqu'à quel point les variations du
marché se sont rendues en Çintraday È. A ce stade, nous
choisissons une fenêtre de 50 jours. Cette taille permet de lisser les
variations erratiques sans biaiser les informations d'une part, tout en
laissant appara»tre une légere variance d'autre part. Nous avons
également choisi d'étudier plusieurs seuils s distincts.
Nous avons donc :
TAB 9 : Seuil
S = 2% 3% 5% 8% 10% 12%
Nous donnons ci-après deux représentations
graphiques qui permettent de visualiser les valeurs ayant
dépassées s. Nous avons préféré les
présenter à partir d'une échelle logarithmique,
plutôt que sur échelle linéaire simple. Lorsque l'on
exprime un nombre en logarithme, on effectue une mise à l'échelle
ce qui permet, plutôt que de se concentrer sur la valeur absolue du
nombre comme on le fait couramment, de le comparer aux autres nombres qui
l'entourent. Ainsi, nous pourrons juger de la pertinence de chaque seuil sur la
fenétre F = 50.
LN(Dt) > S
6/13/2006
2/13/2007
10/13/2007
|
6/13/2008
|
2/13/2009
|
10/13/2009
|
6/13/2010
|
2%
|
3%
|
5%
|
8%
|
10%
|
12%
|
|
Les résultats sont évocateurs. Les variations
laissent appara»tre une majorité
LN(Dt) > S
10
1
1/17/2008 9/17/2008 5/17/2009
2% 3% 5%
8% 10% 12%
des variations journalières supérieures ou
égales à 3%. Celles-ci se concentrent sur une période de
615 jours, du 17/01/2008 au 23/09/2009. Cela représente 53.57% des
données de l'étude46. Le DJIA, pendant la crise des
Subprimes, a donc connu statistiquement une distribution des cours formant des
queues de distribution épaisses en valeur absolue.
46 615
Le calcul est le suivant: .100=53.57, soit 53.57%
1148
Nous pouvons aussi émettre l'idée qu'il y a eu un
effet <<Clustering>> et un effet <<Momentum47
>> sur la période ventrale.
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