I.II.1 MESURE DU RISQUE GAUSSIEN
I.II.1.1 DISTRIBUTION DE GAUSS
I.II.1.2.1 Loi des grands nombres
D'un point de vue théorique, une variable continue prend
une infinité de valeurs à l'intérieur de son intervalle
de définition. La loi des grands nombres compte pour ce faire
un échantillon assez important de variables aléatoires. En
ce sens, la théorie des grands nombres est simple: Si la taille de
l'échantillon est assez importante, la moyenne empirique de la
variable étudiée tend vers celle théorique de somme
unitaire . Par conséquent, considérons un
échantillon d'observation x1,
x2...xn d'une variable aléatoire
X1 ,
d'espérance u et d'écart-type finis. Des
lors, la loi des grands nombres
Nous avons alors: P(lim Mn = u) =1.
La loi
n
énonce que, quand n , l
converge en direction de u .
a moyenne empirique
+...
Mn = (x1 +
x2 + xn)
n
des grands nombres est une loi asymptotique qui assure ainsi
que la moyenne empirique est un estimateur convergent de l'espérance
mathématique.
I.II.1.2.2 Loi de Gauss
La loi normale de la lois continues 21
partie
fait famille des . Elle est associée
aux noms de Carl Friedrich Gauss et de Pierre Simon Laplace.
Appelé, le théorème central limite, celui-ci indique que
la somme des variables est distribuée de facon aléatoire et
indépendante lorsque le nombre de données dans la somme augmente.
Cette loi est définie par la moyenne u , et la
2
variance parce qu'elle est symétrique par rapport
à la tendance centrale.
Nous exprimons la fonction de densité de
probabilité de la loi normale avec X + comme:
1
P(x) =
2
|
e
|
1X m
( )2
22
|
|
La loi normale a une tendance centrale nulle et un
écart typeégale à 1. Nous avons donc par
définitionN (0,1). Puisque P( x) =
P(x), pour toute
variable centrée et réduite, la médiane,
la moyenne et le mode sont confondus. Pour exprimer la continuité de ce
théorème, nous pouvons écrire la fonction de distribution
cumulée pour P(x) = P(X x):
x P(x) =
P(t)dt
2 1 Une loi de probabilité est dite continue
lorsqu'elle se rapporte à une mesure de Lebesgue. Pour plus
d'explication, se référer à l'ouvrage de G. Saporta:
Ç Probabilités, analyse des données et statistiques
È.
Si les différents écarts-types pris un à
un sont dérisoire s par rapport à l'ensemble, le
théorème de la limite centrale reste valide. La
distribution gaussienne d'écart-type proportionnel
Nb of standard deviations
Number 4000 of data
in
interval
3000
2000
1000
0
-6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0
1
à représente la différence entre le
n
moyenne empirique Mde
n
l'échantillon et l'espérance ude la
variable aléatoire X . L'approximation de
la moyenne théorique upar la
moyenne empirique Mn permet de
contrôler l'erreur énoncée
précédemment. La probabilité que
Mn
soit dans l'intervalle [ u t ,u + t ]
se retrouve représentée par l'aire sous la courbe comprise
entre les abscisses t et + t . Sur les marchés
financiers, la plupart des mouvements sont inférieurs
à une fois l'écart-type. Cette mesure représente 68% des
amplitudes à la hausse comme à la baisse. 95% doivent être
à moins de deux écarts-types et 98% à moins de trois
écarts-types. Selon cette loi de probabilité, il existe
très peu de grands mouvements.
La thèse de L. Bachelier fut largement ignorée
par ses contemporains. Cependant, ses travaux furent traduits,
réédités, puis développés pour aboutir au
grand édifice de l'économie et de la finance
moderne22.
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