I.II.1.2 VALUE-AT-RISK CLASSIQUE
La Value at Risk est une mesure de risque statistique
popularisée dans les années 1990 par JP Morgan. La Value-at-Risk
peut se définir par la perte maximale que peut engranger un portefeuille
sur un laps de temps et un niveau de confiance donnée.Ç The
greatest benefit of Value-at-Risk lies in the imposition of a structured
methodology for critically thinking about risk. Institutions that go through
the process of computing their VAR are forced to confront their exposure to
financial risks and to set up a proper risk management function. Thus the
process of getting to Value-at-Risk may be as important as the number itself
È souligne P. Jorion dans son ouvrage: Ç Value at Risk:
The New Benchmark for Controlling Market Risks È, paru
22 Développée initialement par H.
Markowitz en 1954
23
3000
2000
0
4000
Number
of data
in
interval
1000
VaR(q)
-6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0
Nb of standard deviations
en 1996. P. Jorionnous enseigne que
la valeur
W!T du portefeuille est
donnée
par W exp( RT ) avec W0,
la valeur
T
initiale d'un portefeuille de titres et
R!T son taux de
rentabilité continu sur un
P'
horizon T donné par ln( ) . Dès lors,
P' 1
nous notons l'équation
W =W0 exp(R ) ,
représentant la
valeur minimale du portefeuille que l'on étudiera avec
une probabilité égale au seuil q, le seuil de risque
dont nous voulons étudier la représentativité. La valeur
de la VaR est donnée par:
W W0 =W0 exp(R
) 1
De manière plus formelle, notons f(w), la distribution
des valeurs du
portefeuille à la date T, la valeur
W* est analogue à q = f
(w)dw. A ce
w
titre, si nous notons la probabilité
p=Prob(w=W*), l'espérance
mathématique de la valeur du portefeuille se situe
au-dessus de W*, nous obtenons:
W
p = f (w)dw =1
q
23 P. Jorion est professeur de finance à
l'université de Californie à Irvine. Ingénieur de
formation, il obtient un Ph.D en Çfinance internationaleÈ
à l'université de Chicago en 1983.
28
pème
D'un point de vue économétrique ,
W* se défini t comme le percentile
de la distribution de l'échantillon à la date
T. La Value-at-Risk s'intègre pleinement dans le cadre de la
gestion de portefeuille, pouvant signifier précisément au
gérant ou aux institutions financières à quelle valeur
peut être estimée le risque économique et
réglementaire24.
I.II.2 DISTRIBUTION DES VALEURS EXTRæMES
Ç Les théoriciens classiques ressemblent
à des géomètres euclidiens qui, dans un monde
non-euclidien découvrant par l'expérience que des lignes droites
parallèles se rencontrent souvent, reprocheraient aux lignes de ne pas
rester droites - comme seule remède aux collisions malheureuses qui se
produisent. Pourtant, en vérité, il n'existe pas d'autre
remède que de se débarrasser de l'axiome des parallèles et
de travailler dans une géométrie non-euclidienne. C'est une chose
similaire qui est requise aujourd'hui en économie È
John Maynard Keynes
La théorie des valeurs extrêmes (TVE) est
étudiée dans le cadre de la recherche d'évènements
rares d'une suite de variables aléatoires indépendantes et
identiquement identifiées. L'observation des cours des actifs financiers
montre que ceux-ci sont hypothétiquement influencés par leurs
cours passés, auquel l'aléa est souvent modélisé
par un mouvement brownien géométrique. La théorie des
valeurs extrêmes est donc un cas particulier de ce mouvement.
L'intérêt concret de l'étude des extrêmes se trouve
dans l'analyse des maxima et des minima des séries statistiques
concernées.
Sur les marchés financiers, nous gardons toujours
à l'esprit les grandes crises qui ont marquées notre histoire,
poussant les actifs à atteindre des valeurs extrêmes comme pour la
crise des Subprimes. En outre, bien conna»tre la distribution maximum et
minimum se révèle être un excellent
24 Notamment avec les directives B%ole II, III.
outil d'aide à la décision, voire une
opportunité de gestion en temps de crise.
La Théorie des Valeurs Extremes s'intéresse non
pas à la modélisation totale d'une distribution mais seulement
aux queues des lois spécifiques25.
N (x)
Deux théorèmes sont indispensables pour une
bonne compréhension de la Théorie des Valeurs Extremes : celui de
Fisher- Tippet et celui de Balkema - de Haan-Picklands. Deux méthodes
principales de modé lisation des
0%
3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
évènements rares sont possibles : La
méthode <<Block Maxima>> (BM) qui modélise la
distribution des extremes par la Generalized Extreme Value Theory (GEV)
dérivant explicitement du théorème de Fisher-Tipett, et la
méthode <<Peaks Over Theshold>> (POT) qui modélise la
distribution des excés au-dessus d'un seuil élevé (faisant
appara»tre les queues de distribution) par la Generalized Pareto
Distribution (GPD) estimé par le théorème de Balkema-de
Haan-Picklands. Cette dernière méthode sera
modélisée en fréquence des rentabilités anormales
afin d'estimer le paramètre u de la crise des Subprimes.
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