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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

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par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
  

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Evaluation des options à barrière dans le modèle

GARCH

BEN KHELIL Mohamed Salah

à ma mère, mon père, ma soeur...

Remerciements

Ce travail est l'aboutissement d'un travail de quatre mois au sein du Centre de Recherche en Economie Financière (CREF) et constitue mon projet de fin d'études.

Toute ma gratitude et ma reconnaissance à tous ceux qui m'ont aidé à accomplir ce travail.

Je tiens particulièrement à remercier mes encadreurs Michèle BRETON et Hatem BEN AMEUR, chargés de recherche au CREF et professeurs à HEC Montréal, pour leur encadrement et leurs précieux conseils qui m'ont guidés tout au long de ce stage.

Je tiens également à exprimer mes remerciements aux étudiants Walid MNIF et Ali BOUDHINA, diplômés de l'Ecole Polytechnique de Tunisie et actuellement étudiants en M.Sc. ingénierie financière à HEC Montréal, pour leur aide et leur soutien tout au long de ces quatre mois.

Résumé

Dans ce travail, nous proposons une méthode numérique pour l'évaluation des options à barrière européennes et américaines lorsque la dynamique du sous-jacent est décrite par un processus GARCH avec inovations gaussiennes. Nous utilisons la programmation dynamique comme méthode de tarification couplée avec deux types d'approximations polynomiales de la valeur de l'option. Le but de ce travail est d'évaluer l'efficacité de cette méthode par rapport à d'autres procédures de tarification proposées dans la littérature. Dans ce rapport, plusieurs types d'options à barrières sont étudiés à savoir les options à barrière activantes et désactivantes, up et down.

Mots clés Pricing d'options, options à barrière, Knock-out, Knock-in, programmation dynamique, approximation quadratique-linéaire, approximation bilinéaire.

Abstract

In this paper, we propose a numerical method to value european and american barrier options when the dynamics of the stock return is described by a GARCH process based on Gaussian innovations. The procedure we use is dynamic programming coupled with piecewise polynomial approximation. The aim of this work is to evaluate the efficiency of this method with regard to other pricing procedures proposed in the literature. In this report, various kinds of barrier options are analyzed such as Knock-in and Knock-out options, up and down.

Keywords Option pricing, barrier options, Knock-out, Knock-in, dynamic programming, quadratic-linear approximation, bilinear approximation.

Table des matières

Introduction

1 Les options

9

12

 

1.1

Définition et caractéristiques des options

12

 
 

1.1.1

Définition

12

 
 

1.1.2

Fonction de gain (Payoff)

15

 

1.2

Hypothèses

16

 
 

1.2.1

Marché parfait

16

 
 

1.2.2

Martingale

17

 
 

1.2.3

GARCH volatilité

17

 

1.3

Modèles d'évaluation d'options

20

 
 

1.3.1

Modèle de Black & Scholes

20

 
 

1.3.2

Les arbres trinomiaux

21

 
 

1.3.3

Simulation Monte Carlo

23

 
 

1.3.4

Programmation dynamique

26

2

Programmation dynamique sous le modèle GARCH

27

 

2.1

Le modèle GARCH pour l'évaluation des options

27

 
 

2.1.1

Le modèle général

27

 
 

2.1.2

Le modèle de Duan (1995)

29

 

2.2

Formulation de la programmation dynamique

29

 
 

2.2.1

Equations de récurrence

30

 
 

2.2.2

Une approche polynomiale

31

 
 

2.2.3

Application aux différents types d'options à barrière

32

 

2.3

Les fonctions d'approximations

34

 
 

2.3.1

Approximation quadratique-linéaire

34

TABLE DES MATIÈRES

2.3.2 Approximation bilinéaire 36

2.4 Construction de la grille 40

3 Résultats numériques 43

3.1 Contexte informatique 43

3.2 Données et hypothèses 43

3.3 Résultats de l'approximation quadratique-linéaire 44

3.4 Résultats de l'approximation bilinéaire 53

3.5 Conclusion 55

Conclusion et perspectives 57

Bibliographie 59

A Matrices de transition dans le modèle NGARCH 61

B Constantes de l'interpolation bilinéaire 65

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