Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

Annexe B : Constantes de

l'interpolation bilinéaire

Pour l'approximation bilinéaire, on rappelle que la variable _Ht+1 est déterministe et se calcule à partir de l'équation suivante:

Ht+1 = g^'(St-1, St, Ht)

avec g^' la fonction spécifique du modèle GARCH.

En appliquant cette formule aux points de la grille MN, on a pour j, k = 1, ..., M et l = 0, :::, N

Gjkl = g^'(aj, ak, dl)

Les constantes utilisées pour le calcule de la valeur de détention de l'option à barrière dans l'approxiamtion bilinéaire sont:

T 1 jkli = Etjkl[T[(St+1 ² [ai,ai+1))]

T 2 jkli = Etjkl[St+1T[(St+1 ² [ai,ai+1))]

Doncpourj,k=1,...,M,l=0,...,Neti=0,...,M

T 1 jkli = Etjkl[T[(St+1 ^E [ai,ai+1))]

0 = ~ @	(ln	~ ai+1 - r + Gjkl ak2	1 0 ( ai ~ ln - r + Gjkl ak 2 A - ~ @ pGjkl	; pour i = 1, ..., M - 1
		JGjkl

0 (ai+1 ~ ₁

- r + Gjkl

(ln ak 2

T 1 jkl0 = _A , pour i = 0

pGjkl

₀ ( _ai ) ₁

- r + Gjkl

(ln ak 2

T 1 jklM = 1 - ~ _A , pour i = M

pGjkl

T 2 jkli = Etjkl[St+1T[(St+1 ^E [ai,ai+1))]

₀ 0 (ai+1 ~ _{1 0} ( ai ~ _{1 1}

ln - r + Gjkl ln - r + Gjkl

ak 2 ak 2

= ake^r @~ @A - ~ @A

pGjkl pGjkl _A , pour i = 1, ..., M - 1

0 (ai+1 ) ₁

- r + Gjkl

@ln ak 2

T 2 jkl0 = ake r _A , pour i = 0

pGjkl

( ai ~ _{1 1}

_{0 0}

T 2 jklM = ake^r _@1 - ~ @

ln - r + Gjkl

ak ² _{A A} , pour i = M

pGjkl