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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

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par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
  

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Annexe B : Constantes de

l'interpolation bilinéaire

Pour l'approximation bilinéaire, on rappelle que la variable Ht+1 est déterministe et se calcule à partir de l'équation suivante:

Ht+1 = g'(St-1, St, Ht)

avec g' la fonction spécifique du modèle GARCH.

En appliquant cette formule aux points de la grille MN, on a pour j, k = 1, ..., M et l = 0, :::, N

Gjkl = g'(aj, ak, dl)

Les constantes utilisées pour le calcule de la valeur de détention de l'option à barrière dans l'approxiamtion bilinéaire sont:

T 1 jkli = Etjkl[T[(St+1 2 [ai,ai+1))]

T 2 jkli = Etjkl[St+1T[(St+1 2 [ai,ai+1))]

Doncpourj,k=1,...,M,l=0,...,Neti=0,...,M

T 1 jkli = Etjkl[T[(St+1 E [ai,ai+1))]

0

= ~ @

(ln

~

ai+1 - r + Gjkl ak2

1 0 ( ai ~

ln - r + Gjkl

ak 2

A - ~ @ pGjkl

; pour i = 1, ..., M - 1

 

JGjkl

0 (ai+1 ~ 1

- r + Gjkl

(ln ak 2

T 1 jkl0 = A , pour i = 0

pGjkl

0 ( ai ) 1

- r + Gjkl

(ln ak 2

T 1 jklM = 1 - ~ A , pour i = M

pGjkl

T 2 jkli = Etjkl[St+1T[(St+1 E [ai,ai+1))]

0 0 (ai+1 ~ 1 0 ( ai ~ 1 1

ln - r + Gjkl ln - r + Gjkl

ak 2 ak 2

= aker @~ @A - ~ @A

pGjkl pGjkl A , pour i = 1, ..., M - 1

0 (ai+1 ) 1

- r + Gjkl

@ln ak 2

T 2 jkl0 = ake r A , pour i = 0

pGjkl

( ai ~ 1 1

0 0

T 2 jklM = aker @1 - ~ @

ln - r + Gjkl

ak 2 A A , pour i = M

pGjkl

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