1.2 Espaces de Banach et ses
propriétés
Définition 1.2.1 Un espace (X, . ) est de Banach si et
seulement si X est complet pour la distance associe a . .
Proposition 1.2.1 Si (X, d) est un espace métrique et (E,
. E) est un espace de Banach , alors Cb (X, Y ) est un espace de
Banach.
Proposition 1.2.2 Si (X, . X) est un espace
normé et (Y, . Y ) un espace de Banach, alors L (X, Y ) est
un espace de Banach.
Définition 1.2.2 on dit qu'un ensemble A d'un espace de
Banach a la propriété de point fixe si toute application continue
de A dans A admet un point fixe.
Soient X , Y deux espaces de Banach ou bien, en
général, deux espaces topologiques, et deux ensembles A C X et B
C Y .
Corollaire 1.2.1 Soit A C Rn un ensemble compact.
Et supposons qu'il existe une application continue P : Rn ~p A avec
P \A = idA .i.e. P (x) = x , Vx 2 A. Alors l'ensemble A a la
propriété du point fixe.
Corollaire 1.2.2 Si les ensembles A et B sont homéomorphes
et A a la propriété de point fixe, alors B aussi a la
propriété du point fixe.
Section 1.2. Espaces de Banach et ses propriétés
1.3 Contractions et conditions contractives
Des nombreux auteurs ont défini les applications de
type contractive sur un espace métrique complet X, qui sont des
généralisations de la contraction de Banach, et qui ont la
propriété que chaque une telle application a un point fixe
unique. Maintenant, nous introduisons la multitude de définitions des
correspondances de type contractive.
Definition 1.3.1 Soit (X, d) un espace métrique complet, f
et une application de X dans X, on dit que f est K-lipchitziênne, s'il
existe une constante K 0 telle que :
d(f (x),f (y)) Kd(x,y),Vx,y E X. (1.10)
Le plus petit nombre K de 1.10 est dite la constante Lipschitz
def.
Definition 1.3.2 Soit (X, d) un espace métrique, et f une
application de X dans X, on dit que f est contractante si elle est
K-lipchitziênne pourK < 1 .i.e. Vx, y E X, K E ]0, 1[ :
d(f (x),f (y)) Kd(x,y). (1.11)
Notation 1.3.1 L'application Lipschitzienne
f : X -- X
avec la constante Lipschitz K < 1 et x =6 y est dite
contractive.
En fin, f est dite nonexpansive si K 1.
(contraction =) contractive =) nonexpansive =)
Lipschitziênne), et que toutes ces fonctions sont continues.
Definition 1.3.3 Soit f une application de X dans X , on dit que
x est un point fixe de f si f (x) = x.
Section 1.3. Contractions et conditions contractives
1.4 Espaces fonctionnelle
1.4.1 Les espaces Lp
On donne ici quelques définitions et
propriétés élémentaires.
Définition 1.4.1 soit un ouvert de Rn et 1 <
P < 00, on définit L (~) un espace de Lebesgue par:
|
LP (~) =
|
8
<
:
|
ff : ~ ~! Rn, f est mesurable et
~
|
jf (x) P dx < 1
|
9
=
;
|
. (1.12)
|
pour P = 1I et 0 < P < 1 , on définit f par:
|
0 I
Mf M = @ f (x)jP dx
~
|
1
P
|
.
|
(1.13)
|
Si P = 00, nous avons :
(f : ~ -! R, f est mesurable,il existe une constante C telle
que
jf (x)j ~ C p.p sur l
L°° (~) =
On note
kfk°° = inf {c, jf (x)j ~ c}
.
1
Notation 1.4.1 Soit 1 p ~ 1 , on désigne par q l'exposant
conjugué de p i.e.p
Théorème 1.4.1 (Inégalité de
Holder).
Soint f 2 LP (~) et g 2 Lq (~) avec 1 P 1 ,alors f g 2
L1 (~) et
I jf gj ~ Mf M MgMq .
Théorème 1.4.2 (Inégalité de
Young)
1
p
1
q
1
=
+
- 1 ~ 0.Alors
Soient f 2 L (R) et g 2 L (R) avec 1 p 1 ,1 q 1 et r
f * g 2 L (R) et f * gMLT(R) Mf MLP (R) MgMLq(R) .
Lemme 1.4.1 (de Gronwall)
Soient :
~ une fonction E L°° (0,T ), (t) > 0
,p.p.t E [0, T ]. ,u une fonction E Ll (0, T ) , ,u(t) > 0, p.p.
t E [0, T ] . On suppose
|
~ (t) <
|
It
0
|
,u (s) q (s) ds + C, p.p.t E [0, T ] . (C = constante) .
|
Alors
(t) < C exp (I,u (s) ds) , p.p. t E [0, T ] .
0
On designe par (f, g) le produit scalaire dans L2 (a),
i.e.
|
(f, g) = I
|
f (x) g (x)dx,
|
et egalement le produit de dualite entre f E D'(a)
(espace des distributions sur a ), et g E D(a) (espace des fonctions C sur a et
a support compact dans a).
Theoreme 1.4.3 LP (a) est un espace de Banach muni de
la norme 11.11p, pour tout 1 < P < 00 .
| 
