Théorèmes du point fixe et ses applications

1.4.2 Espaces de Sobolev

On introduit l'espace H ^m (a) comme etant l'espace des fonctions v E L² (a) dont toutes les deriyees partielles d'ordre inferieure ou egale m -prises au sens des distributions sont dans L² (a) .

Ces espace jouent dans analyse des equations aux deriyees partielles un role fondamental. Les espaces de Sobolev d'ordre m : [ H ^m (a)]

Definition 1.4.2 Pour m E N, on definit :

H ^m (a) = {u E D⁰(a) : D^au E L² (a) , jaj < m} (1.14)

@

oft a = (al, .., an) , aj E N, jaj = al + .. + a_n,et D^a = @~1

1 ...@^~n _noft aj = .

axe

On munit H ^m (a) du produit scalaire

(u,v),,n) = E I D^au (x) D^av (x) dx (1.15)

lal<m ~

et la norme associée a ce produit scalaire mull ,nn = (E f 1D^au (x)1^2 dx) IctIni n On introduit ensuite :

1 2

0 1 @ X = kD^~uk^2 A 2 IctIrri

1 2

· (1.16)

H(1^-(Q) = adh^~erence de D(Q) dans H ¹ (Q)

= sous -- espace deH ¹ (Q) des fonction "nulles" sur I' = oQ: (1.17)

:

Theoreme 1.4.4 (Formule de Green) pour tout u 2 H ² (Q) , v 2 H ¹ (Q) on a

- I

Auv dx = I n

Vu Vv dx --J r

ou v dO (1.18) on

au

oil on

est la dérivée normale de u a F dirigée vers l'extérieur .

1.4.3 Les espaces LP(0, T, X)

Definition 1.4.3 Soit X un espace de Banach, on désigne par L^P (0, T, X) l'espace du foncton

mesurable :

f : ]0,T [ 1-- X

(1.19)

t' f (t)

0 ZT

@0

tel que

_1
A

¹ (1.20)

Ilf (t)I1Px dt P = 11 fIlL^P AT,x) < cc,

pour tout 1 < P < 1

0f

Lemme 1.4.2 Soit f 2 L^P (0, T, X) et 2 L^P (0, T, X), pour 1 < P < o, nous avons f

continue de [0, T ] dans X , c'est-d-dire f EC ¹ (0, T, X)