Théorèmes du point fixe et ses applications

Chapitre 2

Théorèmes du point fixe

Le but de ce chapitre est l'étude de quelques théorèmes du point fixe. On commencera par le plus simple et le plus connu d'entre eux : le théorème du point fixe de Banach pour les applications contractantes, puis le théorème de point ffxe de Brinciari qui est une généralisation du ce théorème. On verra ensuite des théorèmes plus puissants et un peu plus profonds. On pourra ainsi étudier successivement le théorème du point fixe de Brouwer (valable en dimension finie) puis le théorème du point fixe de Schauder (qui en est la "généralisation"en dimension infinie).

Contrairement au théorème de Banach, les preuves de ces deux derniers résultats ne sont pas constructives, ce qui explique qu'elles nécessitent des outils un peu plus sophistiqués. De nombreuses preuves différentes de ces résultats existent et on pourra s'intéresser a l'une ou plusieurs d'entre elles.

2.1 Théorie métrique et point fixe

Dans cette section nous présentons quelques théorèmes du point fixe dans lesquels les conditions géométriques sur l'espace et / ou les applications jouent un role crucial. Ainsi les résultats présentés dans cette section sont avec dans le cadre au moins d'un espace métrique, habituellement d'un espace de Banach. Nous commençons par le principe célébré de contraction de Banach, qui, depuis son aspect dans la thèse dans 1922 de Banach, a trouvé beaucoup d'applications dans différentes parties d'analyse mathématique.

2.1.1 Théorème du point fixe de Banach

Le théorème du point fixe de Banach (connu aussi sous le nom le théorème de l'application contractante) est un théorème simple a prouver et qui s'applique aux espaces complets et possède de nombreuses applications. Ces applications incluent les théorèmes d'existence de solution pour les équations différentielles ou les équations intégrales et l'étude de la convergence de certaines méthodes numériques comme celle de Newton dans la résolution d'équations non linéaires.

Théorème 2.1.1 Soit (X, d) un espace métrique complet (ou bien un espace de Banach, si X posséde une norme) non vide, toute application contractante :

T : X ~! X

admet un point fixe et un seul, i.e.

9 x 2 X, telle que T (x^*) = x.

Ce point peut être obtenue comme limite de toute suite engendrée par l'itération.

xn+1 = T (x_n),

oh x0 est un élément arbitraire de X.

Corollaire 2.1.1 Sous les mêmes hypotheses du théorême, si x est le point fxe unique de T, alors

_on

d (x*,xn) 1 - o d (x0,x1)

Cette inégalité donne la mesure d'approche de x (estimation de l'erreur) lorsque ii croit (comme fonction de la distance entre le point de départ et la première itération). Puisque on a choisi x arbitrairement, alors en remplaçant ii par zéro dans l'inégalité de dessus on peut obtenir une autre estimation de l'erreur.

Preuve (Theoreme 2.1.1)

Unicite

Soient xi, x2 deux points fixes de f , alors f (xi) = xl et f (x2) = x2 et

d (f (xi) , f (x2)) < K d (xi, x2) ,

d'ou

d (xi, x2) < K d (xi, x2) (2.1)

avec 0 < K < 1, ce qui donne d (xi, x2) = 0 , i.e. xl = x2 .

Existence

Soit xo 2 X , definissons par recurrence la suite (x_n)_n par x_n#177;i = f (x_n) et montrons que la suite (x₇,)_n est d Cauchy dans X complet, pour avoir que

xn = lim n-->

xn 2 X

et comme f est continue alors :

11111

n-->

x_n = f ( lim x_n) i.e.x = f (x) = x . (2.2)

--K>o

n

demontrons que la suite (x_n)_n et de Cauchy . Soit p, q deux entiers tels que q > p, alors

d _(xv, x_q) < d _(xv, xp+i) + #177; d (x_q_i, x_q)

Evaluons

d (xp, xp+i) = d (f (xp_i) , f (xv)) < Kd (xp-1, xp) c K²d (xp_2, xp-1)

< < K^Pd (xo, xi) , (2.3)

d'ou

d (xp, xq) < (K^P + K^P+1 + K^g-1) d (xo, xi) -- K^Pd (xo, xi)

q_i E K=0

KP K^P -- 1 -- K d (xo, xi)

Si d (xo, xi) = 0 alors xo = xi = f (xo) et xo est un point fixe de f.

KP

Si d (xo, xi) 0, alors pour tout E > 0, il existe no > 0 tel que Vp > no, 1 -- K d (xo, xi) < €, ceci

montre que (x_n)_n est une suite de Cauchy.