à‰tude des différentes lois de commande pour un robot manipulateur à 6DDL comportant une liaison prismatique

II.3. Calcul du MGI par la méthode de Paul 

II.3.1. Principe

La situation de l'organe terminal d'un robot manipulateur à degrés de liberté est décrite par le modèle géométrique direct qui a pour expression :

(II-5)

Cette même situation désirée sera notée par la matrice de transformation homogène telle que :

(II-6)

On cherche à résoudre le système d'équations suivant :

(II-7)

Pour trouver les solutions du système (II-3), Paul [KHA 99] a proposé une méthode qui consiste à pré multiplier successivement les deux membres de l'équation (II-7) par les matrices pourvariant deà, opérations qui permettent d'isoler et d'identifier l'une après l'autre les variables articulaires que l'on cherche.

Pour un robot à 6 ddl à titre d'exemple, on procède comme suit :

- on multiplie à gauche l'expression (II-7) par :

(II-8)

- par identification terme à terme des deux membres de l'équation (II-8), On se ramène à un système d'équations, fonction de uniquement, qu'on résout selon le

Tableau II-1.

- ensuite on multiplie à gauche l'expression (II-8) par et on calcule,

La succession des équations permettant le calcul de tous les est la suivante:

(II-9)

avec :

Ces équations peuvent avoir des solutions évidentes, ou se ramènent aux principaux types rencontrés en robotique, mentionnés dans le tableau (II.1) ci-dessous [KHA 99]:

Types	Système
Type1
Type2
Type3
Type4
Type5
Type6
Type7
Type8
avec : variable de l'articulation prismatique sinus et cosinus de la variable de l'articulation rotoïde

Tableau II.1. Types d'équations (Méthode de Paul)

II.3. 2. Le découplage cinématique

Pour un manipulateur 6ddl avec un poignet rotule, le MGI peut être découplé en deux problèmes plus simples, à savoir d'abord trouvant la position de point d'intersection des axes du poignet, ce dernier appelée le centre de poignet, et puis à conclure l'orientation du poignet.

Puisque le mouvement autour des axes du poignet, ne change pas la position de son centre, la position du poignet est en fonction des trois premières variables seulement. Afin d'avoir l'organe terminal du robot au point donné par les coordonnées P et une orientation donnée par A, il est suffisant que le centre du poignet (O_c) a des coordonnées données par :

(II-10)

En utilisant l'équation (II-10) nous pouvons trouver les valeurs des trois premières variables articulaires. Ceci détermine la transformation d'orientation qui dépend seulement de ces variables. Nous pouvons maintenant déterminer l'orientation de l'organe terminal relativement au repère R ₃ de l'expression :

(II-11)

Noter que le côté droite de (II-11) est complètement connu puisque ; est indiqué (l'orientation désirée) et peut être calculée, une fois les trois premières variables articulaires sont connues[FIS 04], [SPO 04].