à‰tude des différentes lois de commande pour un robot manipulateur à 6DDL comportant une liaison prismatique

Chapitre IV

L'étude dynamique du robot

IV.1. Introduction 

Tandis que les équations cinématiques décrire le mouvement du robot sans considération des forces et des moments produisant le mouvement, les équations dynamiques décrivent explicitement le rapport entre les couples (et/ou forces) appliqués aux actionneurs et le mouvement (positions, vitesses et accélérations articulaires).

Les principaux problèmes dans la dynamique du robot sont [FEA 07] :

· La dynamique directe : (donner les forces et établir les accélérations), elle est employée principalement pour la simulation.

· La dynamique inverse : (donner les accélérations, établir les forces), elle a des diverses utilisations, incluant : commande en ligne des mouvements et des forces de robot, conception de trajectoire et optimisation, conception du mécanisme du robot et le calcul des coefficients de l'équation du mouvement.

· L'identification des paramètres inertiels.

IV.2. Notation 

Les principales notations utilisées sont les suivantes :

 : la masse du corps C_i

 : accélération de la pesanteur.

 : vecteur d'origine et d'extrémitéégal à .

 : vecteur d'origine et d'extrémité égal à .

 et : vitesse et accélération de rotation du corps C_i.

et  : vitesse et accélération du point

et  : vitesse et accélération du centre de gravité (G_i) du corps C_i

résultante des forces extérieures sur le corps C_i.

moment des effort extérieurs exercés sur le corps C_i autour de O_i.

vecteur d'origine O_i et d'extrémité G_i.

le tenseur du vecteur tel que :

 :désigne le produit vectoriel.

tenseur d'inertie du corps C_i par rapport au repère R_i qui s'exprime par :

tenseur d'inertie du corps C_i par rapport à un repère parallèle à R_i et d'origine G_i.

et résultante et moment du torseur dynamique exercé sur le corps C_i par son antécédent et par l'actionneur i.

et résultante et moment du torseur dynamique exercé par le corps C_i sur l'environnement.

, avec le paramètre de frottement sec de l'articulation i.

, avec le paramètre de frottement visqueux de l'articulation i

IV.3. Le modèle dynamique inverse (MDI)

Le modèle dynamique inverse (ou le modèle dynamique tout court) d'un robot permet de déterminer les équations du mouvement, c'est-à-dire : la relation entre les couples appliqués aux actionneurs et les positions, vitesses et accélérations articulaires [FEA 07].

Il est exprimé sous la forme :

(IV-1)

Dans cette équation sont, respectivement, les vecteurs de position, vitesse, accélération et force, dans l'espace articulaire. Chacun est un vecteur de dimension n. Les variables de force sont définies tels que est la puissance fournie par au système. Ainsi, et qualifiés comme ensemble de variables généralisées de vitesse et de force pour le système.

est un vecteur (6) ; dénote la force externe agissant sur le robot, dû au contact avec l'environnement ,ainsi le robot exerce une force de sur l'environnement.

Les deux principaux formalismes utilisés pour obtenir les équations différentielles qui décrivent le comportement d'un mécanisme à plusieurs corps articulés sont le formalisme de Newton (théorèmes généraux de la mécanique classique) et celui de Lagrange. [AIS 06]

IV.3.1. Formalisme de Newton Euler 

Cette méthode est fondée sur une double récurrence ; la récurrence avant de la base du robot vers l'effecteur, calcule successivement les vitesses et accélérations des corps, puis leur torseur dynamique, une récurrence arrière de l'effecteur vers la base, permet le calcul des couples des actionneurs en exprimant pour chaque corps le bilan des efforts. [KHA 99]

Les équations de Newton Euler expriment le torseur dynamique en des efforts extérieurs sur un corps i par les équations : [CRA 89]

(IV-2)

Cette méthode permet d'obtenir un MDI non linéaire par rapport aux paramètres inertiels, pour qu'il soit linéaire, le MDI doit être calculé en exprimant le torseur dynamique des efforts extérieurs enplutôt que.

Les équations de Newton Euler ainsi modifiées s'écrivent :

(IV-3)

· Récurrence avant : elle permet de calculer et à partir de la relation (IV-3). Pour ce faire, il faut calculer.

Les formules de composition des vitesses donnent :

(IV-4)

La dérivée de l'équation (IV-4) par rapport au temps s'écrit :

(IV-5)

Ce qui donne :

(IV-6)

On peut finalement calculeret, on initialise cette récurrence par et.

· Récurrence arrière : Les équations composant la récurrence arrière sont obtenues à partir du bilant des efforts sur chaque corps, écrit à l'origine, on obtient (FigureIV.1) 

i-1

i+1

O_i+1

O_i

G_i

L_i+1

S_i

i

-f_i+1

f_i - f_ei

(IV-7)

Figure IV.1. Bilan des efforts au centre de gravité

On peut faire intervenir l'effet de la gravité sans avoir à la prendre en compte dans le bilan des efforts, pour cela on prend:

(IV-8)

D'où l'on tire les équations suivantes :

(IV-9)

On obtient alors les couples aux actionneurs en projetant, suivant la nature de l'articulation i, les vecteursousur l'axe du mouvement :

(IV-10)

Les frottements doivent être pris en compte dans l'équation dynamique. Le modèle du type frottement sec (ou de Coulomb) fait l'hypothèse d'un couple constant de frottement en opposition au mouvement. Au début du mouvement (vitesse nulle), un couple supérieur au couple de frottement sec doit être développé pour amorcer le mouvement. De nombreuses études ont été réalisées afin de mieux analyser les frottements, menant à l'approximation suivante [VIV 04] :

(IV-11)

On ajoute à 'équation (IV-10) les termes correctifs représentant l'effet des frottements et des inerties des actionneurs,, ce qui nous donne la relation suivante :

(IV-12)

Les inerties des actionneurs sont calculées comme suit :

(IV-13)

est le moment d'inertie du rotor de l'actionneur i, est le rapport de réduction de l'axe i égal à et désigne la vitesse du rotor de l'actionneur i.

On déduit directement de l'équation (IV-9) que les termes et ne dépendent que des paramètres inertiels du corps i et de ceux des corps situées en aval qui sont introduit par les termes et de la récurrence.

Pour utiliser pratiquement l'algorithme de Newton Euler exposé ci-dessus, il faut projeter dans un même repère les vecteurs et tenseurs qui apparaissent dans une même équation. [BOI 88]

Les équations de la récurrence avant peuvent être présentées par l'algorithme suivant:

· Récurrence avant :

Conditions initiales :

(IV-14)

(IV-15)

Les équations de la récurrence arrière peuvent être présentées par l'algorithme suivant:

· Récurrence arrière :

Conditions initiales:

(IV-16)

Dans cette formulation (Newton Euler), l'effet de la pesanteur est introduit par une accélération verticale de la base du robot. Si le robot manipulateur est situé sur un véhicule dont le mouvement est connu, on peut donc également introduire les fonctions du temps correspondantes (vitesses et accélérations) dans les premières récurrences directes qui partent de la base [TEC 07].