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Estimation de l'erreur de troncature de l' espace d'états du système d'attente m/m/1: méthode de stabilité forte

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par Haoua LARAB
Université Abderrahmane Mira Bejaia Algérie - Master recherche opérationnelle 2011
  

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République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
UniversitéA. Mira de Béja·ýa

Facultédes Sciences Exactes

Département de Recherche Opérationnelle

M'emoire de fin d''etudes

Pour l'obtention du Diplôme Master
En
Recherche Opérationnelle

Th`eme

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Estimation de l'erreur de troncature de

? l'espace d'etats du système d'attente M/M/1 :

? Méthode de StabilitéForte ?

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Présentépar :

Melle Haoua LARAB

Devant le jury composéde :

Présidente Mme O. LEKADIR M C B

Encadreurs

Mr K. ABBAS M C B

Mr D. A·ISSANI Professeur

Examinateurs

Mme K. ADEL C C

Melle S. HAKMI M A

Année Universitaire 2010 - 2011

Table des matières

Introduction générale

1 Généralités sur les chaàýnes de Markov

2

5

 

1.1

Processus stochastiques

5

 
 

1.1.1 Définitions

6

 
 

1.1.2 Processus Markoviens

6

 

1.2

Chaàýnes de Markov a` temps discret

7

 
 

1.2.1 Définitions et propriétés

7

 

1.3

Exemples

7

 
 

1.3.1 File d'attente en temps discret

7

 
 

1.3.2 La Gestion des stocks

8

 

1.4

Chaàýnes de Markov discrètes

8

 
 

1.4.1 Classification des états d'une chaàýne de Markov

8

 

1.5

Classification des chaàýnes de Markov discrètes

10

 
 

1.5.1 Chaàýnes de Markov homogènes

10

 
 

1.5.2 Chaàýnes de Markov irréductibles

10

 
 

1.5.3 Chaàýnes de Markov absorbantes

13

 

1.6

Distribution initiale et comportement transitoire

13

 
 

1.6.1 Distribution initiale

13

 

1.7

Comportement asymptotique des chaàýnes irréductibles

13

 
 

1.7.1 Comportement asymptotique

13

 
 

1.7.2 Distribution limite

14

 
 

1.7.3 Distribution invariante

14

 
 

1.7.4 Comportement asymptotique des chaàýnes irréductibles et apériodiques 15

 
 

1.7.5 Chaàýnes de Markov ergodiques

16

 

1.8

Conclusion

17

2

Systémes de files d'attente

18

 

2.1

Introduction et structure d'un système d'attente

18

 
 

2.1.1 Classification et formalisation d'un système de files d'attente . . . .

19

 
 

2.1.2 Analyse mathématique d'un système de files d'attente

21

 

2.2

Files d'attente markoviennes

21

 
 

2.2.1 La file d'attente M/M/1

21

2.2.2 La file d'attente M/M/m 23

2.2.3 La file d'attente M/M/1/N 25

2.3 Files d'attente non Markoviennes 28

2.3.1 Système de files d'attente M/G/1 28

2.3.2 Système de files d'attente G/ M/ l 31

2.4 Conclusion 33

3 Chaàýnes de Markov tronquées 34

3.1 Chaàýnes de Markov tronquées 34

3.1.1 Principe de troncature 35

3.1.2 Définitions 35

3.2 Différentes techniques de la troncature des chaàýnes de Markov 36

3.2.1 Augmentation linéaire 37

3.2.2 Renormalisation 37

3.2.3 Distance entre les distributions stationnaires 39

3.3 Exemple de la troncature sur un réseau de files d'attente en tandem avec

blockage 39 3.4 Exemple illustratif sur les techniques de troncature par l'augmentation linéaire 41 3.5 Conclusion 46

4 Calcul de la borne de stabilitéforte pour le cas de troncature de la capacitéd'attente de la file M/M/1 47

4.1 Préliminaires et notations 47

4.1.1 Borne de la stabilitéforte 48

4.2 Troncature de la capacitéd'attente de la file M/M/1 49

4.2.1 Description du modèle et position du problème 49

4.3 L'augmentation de la première colonne 50

4.3.1 Calcul de la borne de stabilitéforte :Augmentation de la premi`ere

colonne 51

4.4 L'augmentation uniforme 57

4.4.1 Calcul de la borne de stabilitéforte : Augmentation uniforme . . 58

4.4.2 Calcul de la borne réelle 62

4.4.3 Bornes de déviation du nombre moyen de clients 62

4.5 Conclusion 62

5 Comparaison des techniques de troncature 63

5.1 Applications numériques 63

5.1.1 Environnement MATLAB 63

5.1.2 Approche algorithmique 64

5.1.3 Algorithme de StabilitéForte 64

5.1.4 Organigramme de stabilitéforte 65

5.1.5 Variation de l'erreur en fonction de 66

5.1.6 Variation de l'erreur en fonction de N 67

5.1.7 Variation de l'erreur en fonction 3 75

5.2 Conclusion 75

Conclusion générale 76

Bibliographie 78

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