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Estimation de l'erreur de troncature de l' espace d'états du système d'attente m/m/1: méthode de stabilité forte

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par Haoua LARAB
Université Abderrahmane Mira Bejaia Algérie - Master recherche opérationnelle 2011
  

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Introduction générale

L

a mod'elisation est un outil de la recherche d'une expression simplifi'ee d'un ph'enomène naturel dans sa complexit'e, et qui permet de pr'evoir le comportement dans un inter-

valle de temps et d''echelle de grandeur. De plus, lorsque la mod'elisation tient compte des facteurs al'eatoires, on parle alors de mod'elisation stochastique et de modèle stochastique. Or la th'eorie analytique des modèles stochastiques s'avère d'une port'e limit'ee en raison de la complexit'e des r'esultats connus. En effet, dans la majorit'e des cas, on se retrouve confront'e a` des systèmes d''equations dont la r'esolution est complexe, qui est en g'en'eral difficile voire impossible, c'est ainsi le cas pour les fonctions g'en'eratrices, les transform'ees de Laplace-Stieltjes.

Par ailleurs, on peut citer le degr'e de difficult'e pour l'obtention de certaines caract'eristiques dans quelques modèles stochastiques tels que les modèles de files d'attente avec vacance, serveur non fiable, arriv'ees par groupe, avec rappel et avec impatience, etc. Pour pallier a` toutes ces difficult'es, les chercheurs ont fait recours a` des m'ethodes d'approximation. Ainsi, lors de l'analyse d'un modèle stochastique, on est souvent amen'e a` remplacer le système r'eel (g'en'eralement complexe), par un système plus simple id'eal dont les r'esultats analytiques sont exploitables.

Dans le même contexte, les chaàýnes de Markov constituent un outil principal pour la mod'elisation et la r'esolution de problèmes dynamiques stochastiques. Elle sont utilis'ees, dans des situations d'applications pratiques telles que les t'el'ecommunications (r'eseaux de files d'attente, de radiodiffusion, de communication par satellite), l''evaluation de performance informatique (r'eseaux informatiques, programmation parallèle, stockage et retransmission en m'emoire tampon), la fabrication (lignes d'assemblage, systèmes de manutention), la fiabilit'e (analyse de pannes), et la th'eorie d'inventaire.

Cependant,en simplifiant quelques hypothèses la mod'elisation des situations r'eelles, est entach'ee par quelques erreurs dues au processus de mod'elisation lui-même. D'o`u la paru-

tion, a` ce niveau du problème, de calcul des bornes de perturbation ou du problème de stabilité.

Dans la pratique, l'espace d'états rencontréest souvent grand ou infini. C'est le cas par exemple d'une file d'attente a` capacitéd'attente infinie. Lors d'évaluation des performances de tels systèmes et pour des raisons de complexitédu calcul, on rencontre alors des problèmes liés a` leur dimension. En effet, des modifications dans le système peuvent être suggérées pour obtenir des bornes simples ou des approximations faciles a` calculer. Dans ce sens, la troncature de l'espace des états est souvent exigée dans les calculs qui concernant les chaàýnes de Markov infinies. L'objectif de ce travail est de trouver la technique de troncature la plus efficace pour l'estimation de l'erreur de troncature de l'espace d'état de la file d'attente M/M/1 par la méthode de stabilitéforte.

Dans la majoritédes travaux, l'attention des chercheurs était plus focalisée sur l'objectif d'analyse des modèles et la stabilitéétait obtenue dans la plupart des cas, souvent pour des hypothèses particulières.

L'étude de la stabilitédans la théorie des file d'attente, consiste a` délimiter le domaine dans lequel le modèle idéal peut être utilisécomme une bonne approximation du modèle réel (perturbé). Ainsi, elle occupe une place remarquable dans la théorie qualitative des systèmes dynamiques, ainsi que dans celle des système stochastiques. On dit qu'un système est stable si une petite perturbation dans ses paramètres entraàýne une petite perturbation dans ses caractéristiques. La stabilitése définie alors comme étant la capacitédu système a` résister aux perturbations .

Depuis les années soixante dix, plusieurs méthodes de stabilitédes modèles stochastiques ont étéélaborées : Méthode des fonctions tests élaborée par Kalashnikov [28], méthode métrique initiée par Zolotariev [52] et Rachev [36], méthode de convergence faible introduite par Stoyan [43] méthode de renouvellement proposépar Borovkov [5], méthode de stabilitéforte élaborée par Aissani et Kartashov [3, 30], méthode de stabilitéabsolue introduite par Ispen et Meyer [25] et la méthode du développement en séries proposépar Heidergott et Hordjik [17, 19].

La méthode de stabilitéforte (ou des opérateurs) a étéélaborée par Aissani et Kartashov au début des années 1980. L'intérêt de cette méthode est que l'ergodicitéuniforme par rapport a` une norme donnée est préservée sous de petites perturbations du noyau de transition. Elle nous donne un calcul exact des constantes dans les estimations quantitatives de stabilité. Les résultats fondamentaux de cette méthode ont fait l'objet de la publication en 1996 de la monographie de Kartashov [30]. Cette méthode a étéappliquée a` plusieurs modèles stochastiques régi par des chaàýnes de Markov : Modèles de files d'attente classiques (Bouallouche et Aissani[6, 7] .

Ce mémoire comprend cinq chapitres, une conclusion générale et enfin une liste de

r'ef'erences bibliographiques.

* Le premier chapitre permet de pr'esenter les g'en'eralit'es sur les chaàýne de Markov .

* Le deuxième chapitre est consacr'ee aux systèmes de files d'attente et aux caract'eristiques de quelques systèmes d'attente classiques tels que : M/M/1, M/M/m, M/M/1/N, M/G/1, G/M/1.

* Ensuite, le troisième chapitre concerne une synthèse sur les r'esultats et les diff'erentes
techniques de troncature connues dans la litt'erature sur les chaàýne de Markov.

* Le quatrième chapitre est l'ossature de notre travail. En effet, dans ce chapitre on s'int'eressera a` l'estimation de l'erreur par la m'ethode de stabilit'e lors de la troncature de l'espace d'etat de la chaàýne de Markov d'ecrivant l'etat de la file d'attente M/M/1, et ce, en consid'erant plusieurs techniques de troncature.

* Enfin, le cinquième chapitre est consacr'e a` la comparaison des deux techniques de troncature par l'application num'erique de l'algorithme de stabilit'e forte.

* Notre m'emoire s'achève par une conclusion g'en'erale, o`u nous mettons l'accent sur quelque perspectives de recherche induites par ce travail.

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