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Estimation de l'erreur de troncature de l' espace d'états du système d'attente m/m/1: méthode de stabilité forte

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par Haoua LARAB
Université Abderrahmane Mira Bejaia Algérie - Master recherche opérationnelle 2011
  

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Généralités sur les chaàýnes de Markov

Les chaàýnes de Markov sont un objet essentiel des probabilités modernes. Elles apparaissent et sont utilisées avec succès dans des domaines aussi divers que la physique, la biologie, les sciences sociales ou l'informatique.

L'objet de ce chapitre est de présenter la théorie des chaàýnes de Markov. Nous nous limiterons au cas particulier (essentiel) o`u l'espace des états est un ensemble dénombrable.

Ainsi, nous introduirons quelques concepts fondamentaux des chaàýne de Markov. En particuliers, nous nous focaliserons sur le problème d'existence d'une distribution stationnaire.

1.1 Processus stochastiques

Les processus stochastiques décrivent l'évolution d'une grandeur aléatoire en fonction du temps. Les processus stochastiques ont pris un énorme essor, non seulement en finances, dans la fiabilitédes systèmes, en mécanique statistique ou encore dans les sciences de la vie, mais également dans des techniques appliquées a` des problèmes qui au départ n'ont rien a` voir avec les probabilités ou le risque. Tel est le cas des méthodes d'optimisation globale, ou du traitement de certains problèmes de l'analyse numérique.

1.1.1 D'efinitions

Un processus stochastique {X(t)}t?T est une fonction du temps dont la valeur a` chaque instant dépend de l'issue d'une expérience aléatoire .

Un processus stochastique est donc une famille de variables aléatoires (non indépendantes).
On appelle espace des états l'ensemble S o`u les variables {Xt} prennent leurs valeurs[15].

L'espace peut être discret ou continu. Le temps peut être discret, continu, temps continu o`u les évolutions n'ont lieu qu'àdes instants discrets.

Une trajectoire d'un processus est décrit par un couple (espace, temps). Par conséquent, on distingue quatre types de processus (si l'ensemble S est fini ou dénombrable le processus est appeléune chaàýne) :

- Suite stochastique a` espace d'états discret; - Suite stochastique a` espace d'états continu; - Processus continu a` espace d'états discret; - Processus continu a` espace d'états continu.

Quelques exemples

- EC/TC : réaction chimique ou le mouvement de particules en interaction;

- EC/TD : modèle journalier de remplissage d'un barrage;

- ED/TC : nombre de particules au cours d'une réaction chimique;

- ED/EvD : nombre de clients dans une file d'attente;

- ED/TD : gain d'un joueur a` chaque étape, somme de variables aléatoires indépendantes.

On peut aussi caractériser un processus {Xt} par les relations qui existent entre les variables Xt qui le compose.

1.1.2 Processus Markoviens

La notion de processus Markovien repose sur le principe de processus sans post action, on entend un processus pour lequel la probabilitéqu'il se trouve dans un état (ou un ensemble d'états) a` l'instant t ne dépend que de son état au dernier instant connu s < t. Plus précisément, il est défini comme suit :

Un processus stochastique {Xt, t = 0} a` valeurs dans l'espace d'états S est satisfait la propriétéde Markov si pour tout instant t, et tout sous ensembles d'états I c S, il est vrai que

P[Xt+Ä E I/Xu, 0 = u = t] = P[Xt+Ä E I/Xt] ?Ä ? 0.

Un processus stochastique vérifiant la propriétéprécédente est appeléprocessus de Markov ou processus Markovien.

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