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Estimation de l'erreur de troncature de l' espace d'états du système d'attente m/m/1: méthode de stabilité forte

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par Haoua LARAB
Université Abderrahmane Mira Bejaia Algérie - Master recherche opérationnelle 2011
  

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A/S/Ns/Nc/K/Z,

. A concerne la loi du processus des inter-arriv'ees {En, m = 0} = {Tn+1 - Tn, m = 0};

. S concerne la loi des dur'ees de service Sn ;

. Ns est le nombre de guichets ou serveurs;

. Nc est la capacit'e de la file d'attente;

. K concerne la source des clients;

. Z est la discipline de service.

Lorsque les trois derniers 'el'ements ne sont pas mentionn'es, il est sous-entendu que la capacit'e et la source sont infinies et que la discipline est FIFO (premier arrivé, premier servi).

Caractéristiques d'un système de files d'attente

La th'eorie des systèmes d'attente a comme objectif d'en 'etudier les structures et de calculer les valeurs caract'eristiques permettant de d'ecrire les performances d'un tel système : L : Nombre moyen de clients dans le système de files d'attente;

Lq : Nombre moyen de clients dans la file;

W : Temps moyen de s'ejour d'un client dans la file (attente + service);

Wq : Temps moyen d'attente d'un client dans la file.

Ces valeurs sont li'ees les unes aux autres par les relations suivantes [37] :

L = ëeW ;

Lq = ëeWq;

;

1

W = Wq + u

ëe

L = Lq + .

u

Les deux premières relations sont appel'ees Formules de Little, avec : ëe : Taux d'arriv'ees dans le système;

u : Taux de service;

1 : Intervalle de temps moyen s'eparant deux arriv'ees cons'ecutives;

ëe

i : Dur'ee moyenne de service j;

u

p = ëeu : Taux d'occupation du système.

2.1.2 Analyse mathématique d'un système de files d'attente

La description mathématique d'une file d'attente se fait par l'introduction des processus stochastiques suivants :

. {Xt, t = 0} o`u Xt correspond au nombre de clients dans le système a` la date t; . {Wn, m = 1} o`u Wn correspond a` la durée d'attente du mieme client;

. {At, t = 0} o`u At est le nombre d'arrivée a` la date t;

. {Nt, t = 0} o`u Nt est le nombre de clients pouvant être servis si le serveur travaillait sans interruption durant la période [0,t];

. {Dt, t = 0} o`u Dt est le nombre d'arrivées a` la date t.

Ces quantités peuvent être considérées comme les caractéristiques essentielles du système.

2.2 Files d'attente markoviennes

Les files d'attentes makoviennes sont celles pour lesquelles les inter-arrivées et les durées de service sont exponentielles. Leur notation de Kendall sera de la forme M/M/... (M comme markovien).

2.2.1 La file d'attente M/M/1

Pour ce système, le plus simple de la théorie des files d'attente, le flux des arrivées est poissonnien de paramètre ë et la durée de service est exponentielle de paramétre u.

Régime transitoire

Soit le processus stochastique {X(t), t = 0} : »le nombre de clients dans le système a` l'instant t ». Gràace aux propriétés fondamentales du processus de Poisson et de la loi exponentielle suivante :

. P(exactement une arrivée pendant At) = At + o(At);

. P(aucune arrivée pendant At )= 1 - At + o(At); . P(2 arrivées ou plus pendant At)= o(At);

. P(exactement 1 départ pendant At/X(t) = 1 )= ut + o(At);

. P(aucun départ pendant At/X(t) = 1 )= 1 - ut + o(At);

. P(2 départs ou plus pendant At )= o(At).

Dans ce cas, la matrice des taux de transition P = (Pij)i,j?N prend la forme suivante :

?
? ? ? ? ? ?

P=

?
??????

-A A 0 . .

-( + A) A 0

0 -( + A) A 0

...
...

0 -( + A) A

... 0 ...

Et le graphe représentatif du processus de naissance et mort de la file d'attente M/M/1 est donnésous la forme:

FIGURE 2.2 - Graphe représentatif du processus de naissance et de mort

{

P ' 0(t) = -AP0(t) + P1(t); (2.1)
P ' n(t) = -(A + )Pn(t) + APn_1(t) + Pn+1(t), m = 1, 2, ...
o`u Pn(t) = P(Xt = m).

Si A < , le processus {Xt, t = 0} converge vers une variable aléatoire X dont la distribution ð est définie par [9] :

ðn = (1 - p)pn,

o`u p = A/ , m = 0,1,...

Caractéristiques de la file M/M/1

La file M/M/1 est stable (A < , c'est-à-dire p < 1).

- Le nombre moyen de clients dans la file Lq :

Le nombre moyen de clients dans la file ne dépend que du taux de charge p :

>

E[m] =

n>0

mð(m) = p

1 - p = Lq,

- Temps moyen de séjour W est obtenu par:

L

W = ë

 

1

 

=

 
 

u(1 -- ñ),

qui peut se décomposer en :

1

W = u

ñ

+ u(1 -- ñ).

On déduit alors, le temps moyen passédans la file d'attente Wq :

ñ

Wq = u(1 -- ñ),

- D'après la formule de Little, le nombre moyen de clients dans le système de la file d'attente

stable M/M/1 est donnépar le produit de leur taux d'arrivée ëe et leur temps de séjour moyen W :

L = ëeW = ñ2 .

1 -- ñ

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