Simulation de modèles de diffusion appliqués aux taux d'intérêts

3.1.2 Proprietes du mouvement brownien

Soit (Wt)t>0 un mouvement brownien, alors pour tout t, T > 0, (Wt+_T -- Wt) est indépendant de W_u, 0 < u < t et est distribué selon une loi normale centrée de variance T

Ses principales propriétés sont d'être :

fini : l'échelonnage de la variance du mouvement brownien en fonction du temps garantit que le mouvement brownien reste fini ;

continu : les trajectoires du mouvement brownien sont continues ;

markovien : la distribution conditionnelle de Wt sachant toute l'information jusqu'à T < t dépend uniquement de W_T;

une martingale : l'espérance conditionnelle de Wt sachant toute l'information jusqu'à T < t est W_T (E[Wt/F_~] = WT);

E[W_t²/F₈] >W_s², s < t et {W_t² -- t, t > 0} est une martingale.

de variation quadratique fini : si on divise [0, T] en rt-F1 points ti = ⁱ_n^t alors Eni_1(Wti --

Wti_1)^2

! n-->o

T

L'accroissement suit une loi normale : (Wti -- Wti_1) " N(0, ti -- ti_1)

Fonction de covariance Cov(Wt, W₅) = E(WtW₈) = t A s = min{t, s}

Symetrie : --W est un mouvement brownien ;

Propriété d'échelle (scaling : pour tout c > 0 : {Wt = 1 Wot, t > 0} est un mouvement brownien ;

Retournement du temps : pour tout t > 0 ; { cWtT = WT -- Wt, t E [0, T]} est un

mouvement brownien ; Inversion du temps : {
	Wt = tW1 t	, t > 0, rs^, Wo = 0} est un mouvement brownien

(continuité en zéro) (voir [15])

Figure 1.1 : Le mouvement

brownien Figure 1.2 : Flux de trajectoires

3.1.3 Simulation du mouvement brownien

Il ne nous est pas possible de simuler le mouvement brownien en temps continu, nous le simulons en temps discret, aux instants 0 = t0 < t1 < ... < t_a, et en se basant sur la relation:

Wti = Wti_1 + Wti - Wti_1 (3.2)

Wt% - Wti_1 '-" .,A/(0, t, - ti 1) (3.3)

Ainsi, Wt% = Wti_1 + Jt - ti 1Z avec {Zi, i 2 N} est formée de variables aléatoires indépendantes de loi .Af(0, 1)

(voir [11])

Algorithme 16 mouvement brownien

1.Simuler n réalisations (yi...y_Th) de la variable aléatoire y '-" .Af(0, 1) 2.Initialiser w0

3.Pour j = 1...m, calculer :

/ wj = wj 1 + A tyj

(3.4)