Effets des dispositifs d'amortissement sur les déplacements, vitesses et accélérations des structures

I.7.2. Amortissement de Caughey

Il s'agit d'une généralisation de l'amortissement de Rayleigh dans laquelle la matrice d'amortissement s'exprime comme une combinaison linéaire de p termes constitués du produit de la matrice de masse et de l'inverse de la matrice de rigidité [2].

(I.13)

En procédant comme pour l'amortissement de Rayleigh, on montre que le pourcentage d'amortissement critique du mode j s'exprime par :

(I.14)

Ainsi en choisissant p égale à N-1, où N est le nombre de modes, il est théoriquement possible de respecter la valeur de l'amortissement modal pour chacun des modes du système. Dans la pratique en retenant un nombre de termes nettement inférieur, p= N-1, on obtient une approximation suffisante. La figure I.9 illustre l'application de la formulation (I.13) au cas du portique de la figure I.8, avec dans ce cas p égal à N-1 [2].

Figure I.9 : Amortissement de Caughey

I.7.3. Matrice d'amortissement modal

Il est également possible à partir de la donnée des amortissements modaux de construire directement la matrice d'amortissement associée. Soit C cette matrice et F la matrice d'ordre N

constituée des N vecteurs modaux [2] :

(I.15)

La matrice C doit satisfaire la relation :

(I.16)

Dans laquelle la matrice a la structure suivante :

		(I.17)

Avec des coefficients égaux à :

c j = 2 m _j ù _j î _j (I.18)

L'inversion de la relation (I.16) fournit l'expression de la matrice C :

= Ö T ? ÎÖ

[ ] 1

1

C - (I.19)

Le calcul de C par la relation (I.19) nécessite l'inversion de deux matrices d'ordre N

n'est pas efficace d'un point de vue numérique. Tenant compte de la relation d'orthogonalité de l'expression I.20 , dans laquelle la matrice m est diagonale avec des coefficients égaux aux masses généralisées j m, on en déduit en prenant l'inverse de la relation (I.20) et en pré- multipliant ou post-multipliant par les quantités MF et TM F , les relations I .21 et I.22

Ö ^T Ö = (I.20)

M m

		(I.21) (I.22)
En reportant les relations (I.21) et (I.22) dans la relation (I.19), il vient :
	(I.23)

Les matrices m et E etant diagonales ( equ I.16 et I.20) le produit m^-1Em est immédiat ; c'est une matrice diagonale k dont les termes valent :

(I.24)

La matrice C s'exprime alors comme le simple produit de matrices :

(I.25)

En notant symboliquement C= A x B la matrice carrée dont les termes _gk1 sont les produits ak b1 des composantes des deux vecteurs A et B la relation (I.25) peut alors se développer sous la forme :

(I.26)

Sous cette forme, le j^ème terme de la somme apparaît comme la contribution du j^ème mode, d'amortissement æj , à la matrice d'amortissement globale. Si ce terme est nul, alors le mode j ne contribue pas à l'amortissement global du système [2].