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Notion de mécanique céleste classique

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par Abderrahman BEKKALI
Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Fès - Licence 2010
  

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III. Champ Newtonien

1. Définition d'un champ Newtonien

On considère un axe polaire de référence pris dans le plan de la trajectoire, et

repérons la position du point matériel M par ses coordonnées polaires (r, ö).

Un champ Newtonien est un champ de forces dont l'expression est de la forme:

= -

r

K est une constante.

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Si la constante K est positive, la force est attractive. Si k est négative la force est répulsive.

2. Trajectoire d'un mobile soumis à un champ Newtonien

On considère le champ d'attraction universelle exercée par une masse M en O sur une particule M de masse m située à une distance r de O.

- Principe fondamentale de la dynamique : = m (M)

- L'interaction de la particule de masse M sur la particule de masse m

r

représentée par Newton est : = -G

par conséquent : (M) = -G

r

et à partir de la deuxième formule de Binet on a :

= GMu2 = C2u2 [ + u]

+ u =

ce qui donne :

donc = [ 1 + cos ö ]

C'est l'équation différentielle du second ordre en u par rapport à O La solution génèrale de cette équation différentièlle est :

u( ) = = + A cos( - ö0)

0 est determiné par les conditions initiales, on peut les choisir de sorte que 0 = 0

d'où ( ) =

 

On pose p = et e =

( ) =

 
 
 
 

Il vient alors

C' est l'équation d'une conique d'excentricité e et de paramètre p. -Si e = 0. La conique est une cercle.

-Si 0 < e < 1. La conique de M est une ellipse.

-Si e = 1. La conique du point M est une parabole.

-Si e > 1. La conique de M est une hyperbole.

3. Etude dynamique des champs Newtoniens

a. Energie potentielle

Le champ Newtonien est conservatif : la force = - r , dérive d'un

potentiel = -

EP(M)

Lorsque la particule M est éloignée (voir la partie précédente) le potentiel est nul

donc Ep = -G

comme ( ) =

Ep= -GMm

Il vient alors

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b. Energie cinètique

Par la definition classique de l'energie cinètique on a : Ec= m V2

En coordoonèes polaires (r, ) : (M/R)= r+ r ö

avec ( ) = et = (C/r2)

Ec= [1 + e2 + 2e cos ]

Il vient alors

c. Energie mécanique

L'energie mécanique est la somme des deux energies, l'energie potentielle et l'energie cinètique E = Ep + Ec

donc E = -GMm [

] + [ (1 + e2 + 2e cos )]

On sait que p= donc = GMm

E= - (1 - e2)

alors

On peut conclure que l'energie mécanique est constante

- Si 0 < e < 1. La trajectoire est une ellipse et l'énergie mécanique E < 0,

Sachant que E = Ep+Ec < 0 donc mV2 < (GMm /r) , donc |Ec| < |Ep|

-Si e = 1. La trajectoire du point M est une parabole

donc E = 0 . Il vient alors |Ec|=|Ep|

-Si e > 1. La trajectoire de M est une hyperbole et E > 0 donc |Ec|>|Ep|.

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