CHAPITRE II
MOUVEMENT DES PLANETES
AUTOUR DU SOLEIL
CAS DE LA TERRE
I. Les lois de Kepler
1. Introduction aux lois de Kepler
Les lois de Kepler sont des lois mathématiques
décrivent le mouvement des planètes.
Elles régissent le mouvement de la Terre et des autres
planètes autour du Soleil, mais aussi de la Lune autour de la terre, des
satellites, naturels ou artificiels, autour de leur planète, et par
extension, de tout corps en orbite autour d'un autre.
2. La première et la seconde loi de Kepler
.La première loi de Kepler : Les centres
d'inertie des planètes décrivent des ellipses dont le foyer est
confondu avec le centre d'inertie du soleil.
Le cercle est une ellipse dont les foyers sont confondus.
.La deuxième loi de Kepler : Ces ellipses
sont parcourues selon la loi des aires ;
L'aire balayée par le rayon vecteur est proportionnelle
à la durée du balayage
S(t)= t + S0
avec C est une constante des aires et S0 est une constante
d'intégration.
La figure suivante explique bien cette loi :
Le segment de droite reliant le Soleil, S, à la
planète, F, (le segment [SF]) balaie des aires A (A1 et A2)
égales pendant des durées Ät égales.
3. Caractéristiques de la trajectoire d'une
planète
L'équation de la conique est :
( ) =
avec P et e sont des constantes
respectivement égales et , où C : est
Les centres d'inertie des planètes décrivent des
ellipses dans le foyer est confondu avec le centre d'inertie du soleil.
la constante des aires, G est la constante de
gravitation, M est la masse d'une planète et
A est une constante détermine par les conditions
initiales (Voir chapitre -1- la partie du champ newtonien).
Soient O un point représentant le centre d'inertie du
soleil, et le point M centre d'inertie d'une planète.
Soient a = OA = OA', b = OB = OB' et c = OS1 = OS2
A et A' sont deux points présents respectivement le
périhélie et l'aphélie. Le périhélie : est
le point de l'orbite le plus prés du soleil.
L'aphélie : est le point de l'orbite le plus
éloigné du soleil.
Dans le cas d'un satellite de la terre, on parle de
périgée et d'apogée.
Si ö = 0 donc rmin=
p = (1 - e2)
d'o
p = a ( 1 - e2 )
Si ö = ð donc rmax= donc rmin+ rmax = 2a = Il vient
alors
Finallement
Pour ö = öB , donc : ( )
= = =
donc p = rB - donc rB = a (1 - e2) + ae2 =
a
alors rB= a et a2 = b2 + c2
On en déduit encore que : = a - = a (1- ) = a
(1-e2) = p
Par consèquent
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4. La troisième loi de Kepler
L'aire balayée par le rayon veteur est : S(t) = t + S0
La vitèsse aréolaire du point M est : A = = =
?S c'est la surface d'une ellipse donc ?S = ðab
a et b sont respectivement le
demi-grand et le demi-petit axe de l'ellipse.
En tenant compte de p= =
Nous écrivons, A2 = =
donc = ( )2 finalement :
= ( )2 = ( )2
= = constante
C'est la troisième loi de Kepler
La troisième loi de Kepler dit : le carré de la
période de révolution T est
proportionnel au cube du demi-grand axe a de l'ellipse ; le
rapport est le
m me pour toutes les planètes du système
solaire.
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