Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

CHAPITRE UN

FORMULATION DU PROBLÈME

ET ÉQUATIONS

Tout indice grec á, â, ry, ... varie de 0 à 3 et tout indice latin i, j, k, ... varie de 1 à 3. On adopte la convention de sommation d'Einstein a_áb^á = Eá aábá.

1.1 Espace-temps de base et fonctions inconnues

On considère l'évolution à très grande vitesse et avec collisions d'un train de particules massives et chargées , de vecteur-vitesse matérielle u = (u^á), de pseudo-densité constante p0 > 0, de densité de charge e > 0, dans un espace-temps de Bianchi I (1[8⁴, g), orienté dans le temps, où, en notant x^á = (x⁰, xⁱ) = (t, xⁱ) les coordonnées usuelles de 1[8⁴, avec t qui représente le temps et (xⁱ) l'espace, g est une métrique donnée fixée de signature hyperbolique (-, +, +, +) qui s'écrit :

₂g^ëu _[?águâ + ?âgáu - ?ugáâ] 1

g = -dt² + a²(t)(dx¹)² + b²(t) [(dx²)² + (dx³)²] (1.1)
où a > 0 et b > 0 sont deux fonctions données de classe C¹ sur 1R dont la variable est notée t. Les symboles de Christoffel de la connexion de Levi-Civita V associée à g sont définis par :

rë áâ =

Les seuls symboles r^ë_áâ non nuls sont les ri _i0, r0 et on a :

ii

aÿa

r110 =, r²₂₀ = r³₃₀ =b; r⁰₁₁ = aÿa, r⁰₂₂ = r⁰₃₃ = b^ÿb. (1.2)

où aÿ = dt . On rappelle que r^ë_áâ = rëâá. On fait l'hypothèse que les fonctions ^ÿaa et ^bb sont bornées sur R i.e : C > 0 tel que :

Mémoire de MASTER 4 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

1.1 Espace-temps de base et fonctions inconnues

????

< C;

bÿ b

????

???? a aÿ

????

< C (1.3)

On déduit de (1.3) que l'on a , Vt E 1[8⁺ :

{

a(t) < a0e^Ct; b(t) < b0eCt; ¹

a(t) < a01 eCt; ¹

b(t) < b01 eCt (1.4)

o`u a0 = a(0) > 0,b0 = b(0) > 0.

D'après la loi de Laplace, les particules chargées en mouvement créent un champ électromagnétique représenté par une 2-forme antisymétrique fermée F = (F⁰ⁱ, Fij) où F⁰ⁱ et _Fij sont respectivement les composantes électrique et magnétique de F. Nous considérons le cas homogène où F dépend de la seule variable t.

L'outil essentiel pour décrire la dynamique des particules massives et chargées est une fonction scalaire positive inconnue f de la position (x^á) et de l'impulsion

p = (p^á) = (p⁰, pⁱ) = (p⁰, p) où p = (pⁱ), i = 1, 2, 3, des particules, appelée fonction de distribution des particules massives et chargées ; f est donc définie sur le fibré tangent T(1[8⁴) de coordonnées locales (x^á, p^á) :

f : T(1[8⁴) ^' 1[8⁴ x 1[8⁴ ~ 1[8⁺, (x^á, p^á) E- f(x^á, p^á) E 1[8⁺.

On introduit un produit scalaire sur 1[8³ en posant, pour p = (p^á) = (p⁰, pⁱ) = (p⁰, p) et q = (q^á) = (q⁰, qⁱ) = (q⁰, q) :

p ' q = a²p¹q¹+b²(p²q²+p³q³) (1.5)

On suppose que les particules ont une masse propre au repos m > 0. Les particules massives et chargées évoluent sur la nappe future de l'hyperboloïde de masse d'équation g(p, p) = -m². Dans le but de simplifier les notations, on suppose la masse m normalisée à l'unité, i.e m = 1. On déduit alors de g(p, p) = -1 que l'on a vu (1.1) :

v

p0 = 1 + a²(p¹)² + b² [(p²)² + (p³)²] ₍1.6)

où le choix p⁰ > 0 s'explique par le fait que de façon naturelle, les particules s'éjectent vers le futur. (1.6) montre que p⁰ ne s'annule jamais et qu'en fait, f est définie sur le sous-fibré de T(1[8⁴) de composantes locales x^á et pⁱ. Nous considérons le cas homogène où f ne dépend que de t et de pⁱ.

Les trajectoires des particules sont les courbes s H (x^á(s), p^á(s)) dans le fibré tangent T(1[8⁴), solutions du système différentiel :

dx^á ds

dp^á

= p^á; = P^á (1.7)
ds

Mémoire de MASTER 5 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.