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Marche aléatoire,mouvement brownien et applications


par Taoufik SOUALI
Université Hassan 2 - Master 2019
  

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4 Juillet 2019

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE

MASTER MéTHODES NUMéRIQUES ET STATISTIQUES
APPLIQUéES

OPTION : MéTHODES STATISTIQUE POUR LA
DISCRIMINATION ET LE SCORING

RAPPORT DE PROJET DE FIN D'éTUDES

Marche aléatoire, mouvement Brownien et

applications

Réalisé par :

Taoufik SOUALI

Encadré par :

Mr. AHMED EL KHARROUBI

Devant le jury :

Mme. S.BOUJENNA Mme. H.CHAMLAL

Mr. A.EL KHARROUBI Mr. M.EL MAGHRI

Mr. T.OUDERAHMANE

1

Remerciements

Tout d'abord, je tiens à remercier Allah le tout puissant et miséricordieux, qui m'a donné la force et la patience d'accomplir ce modeste travail. Tous les membres de l'équipe pédagogique et l'ensemble du corps enseignant de notre Faculté des Sciences Ain Chock pour leurs aides, leurs remarques et leurs respect, durant tout notre parcours universitaire.

Je tiens à remercier également mon encadrant le Professeur Monsieur A.EL KHAR-ROUBI pour son judicieux encadrement, sa disponibilité, son soutien et ses précieux conseils tout au long de ces quatre mois de recherche, qu'ils m'ont apporté une compréhension plus approfondie concernant les missions évoquées dans ce rapport, lors des différents suivis.

Je tiens à exprimer mes remerciements les plus sincères au Professeur Madame S.BOUJENA pour ses grands efforts déployés et pour la continuation de cette formation. Je vous remercie très chaleureusement de nous avoir continuellement encouragé, pour votre soutien scientifique et humain, pour votre gentillesse et votre hospitalité.

Je tiens également à remercier tous les membres du jury pour leurs présence, leur lecture attentive de mon mémoire ainsi que pour les remarques qu'ils m'adresseront lors de cette soutenance afin d'améliorer mon travail.

Un grand merci à ma familles et mes amis, qui par leurs prières et leurs encouragements, on a pu surmonter tous les obstacles.

2

Table des matières

Remerciements Introduction

1

2

1

Les notions fondamentaux

5

 

1.1

Introduction aux processus stochastique

5

 
 

1.1.1 Généralités

6

 
 

1.1.2 Les processus gaussiens

8

 
 

1.1.3 Notion de temps d'arrêt d'un processus

9

 
 

1.1.4 Martingales en temps continu

9

 

1.2

Marche aléatoire

10

 
 

1.2.1 Marche aléatoire sur Z

10

 
 

1.2.2 Marche aléatoire sur Zd, d ~ 1

20

 

1.3

Mouvement brownien

23

 
 

1.3.1 Mouvement brownien uni-dimensionnel standard

23

 
 

1.3.2 Caractère gaussien du mouvement brownien

25

 
 

1.3.3 Quelques modifications du Mouvement Brownien

28

 
 

1.3.4 Mouvement Brownien multidimensionnel

29

 
 

1.3.5 Régularité des trajectoires Brownien

30

 
 

1.3.6 Probabilités de transition du mouvement brownien

32

2

Construction de l'intégrale stochastique

34

 

2.1

Intégrale stochastique des processus élémentaires

34

 

2.2

Les processus intégrants

37

 
 

2.2.1 Aspects hilbertiens de l'intégrale stochastique

37

 

2.3

L'intégrale stochastique comme processus

39

T.Souali TABLE DES MATIÈRES

3 Notions sur le calcul stochastique d'Itô 41

3.0.1 Notion de processus d'Itô 41

3.0.2 La formule d'Itô 42

3.1 Équations différentielles stochastiques 43

4 Applications 45

4.1 Mouvement brownien et Problème de Dirichlet 45

4.1.1 Problème de Dirichlet uni-dimensionnel 45

4.1.2 Problème de Dirichlet multi-dimensionnel 47

4.1.3 Interprétation probabiliste du problème de Dirichlet 48

4.2 Modèle de Black-Scholes 49

4.2.1 Description du modèle de Black et Scholes 49

Conclusion 52

3

Annexe 53

4

Introduction

En mathématiques, en économie et en physique théorique, une marche au hasard est un modèle mathématique d'un système possédant une dynamique discrète composée d'une succession de pas aléatoires, ou effectués « au hasard ». On emploie également fréquemment les expressions marche aléatoire, promenade aléatoire ou random walk en anglais. Ces pas aléatoires sont de plus totalement décorrélés les uns des autres , cette dernière propriété, fondamentale, est appelée caractère markovien du processus, du nom du mathématicien Markov. Elle signifie intuitivement qu'à chaque instant, le futur du système dépend de son état présent, mais pas de son passé, même le plus proche. Autrement dit, le système « perd la mémoire » à mesure qu'il évolue dans le temps. Pour cette raison, une marche aléatoire est parfois aussi appelée « marche de l'ivrogne ». L'idée de marche aléatoire a été introduite en 1905 par le bio statisticien Karl Pearson

Cette modélisation mathématique permet de rendre compte de certains phénomènes naturels, dont l'exemple le plus fameux est le mouvement brownien, correspondant par exemple aux mouvements en apparence aléatoires des particules présentes dans le fluide intérieur d'un grain de pollen. Le mouvement brownien, ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les « petites » molécules du fluide environnant. Il en résulte un mouvement très irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la première fois en 1827 par le botaniste Robert Brown en observant des mouvements de particules à l'intérieur de grains de pollen. La réalité des observations de Brown a été discutée tout au long du xxe siècle. Compte tenu de la médiocre qualité de l'optique dont il disposait, certains ont contesté qu'il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromètres au plus. Les expériences ont été refaites par l'An-glais Brian Ford au début des années 1990, avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les plus semblables possibles. Le mouvement a bien été observé dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown (et justifie le nom de Mouvement Brownien).

En 1901, Louis Bachelier propose un premier modèle mathématique du mouvement brownien et l'applique à la finance.

Mon mémoire de master est consacré à l'étude des relations entre mouvement brownien et marches aléatoires d'une part, problème de Dirichlet d'autre part,dans des domaines bornés puis encore l'étude du modèle Black-Scholes qui est un modèle mathématique du marché pour une action, dans lequel le prix de l'action est un processus stochastique en temps continu . Ce mémoire se divise en quatre chapitres. Le premier chapitre est un chapitre introductif sur les notions fondamentaux. On définit la marche aléatoire et le mouvement Brownien et on donne quelques propriétés de ces processus. Dans le deuxième chapitre, on définit les notions de l'intégrales stochastique. Le troisième chapitre est consacré à l'étude du calcul stochastique d'Itô. Et la dernière partie principale de ce mémoire, on va établir les propriétés du mouvement Brownien pour montrer une liaison ou une connexion avec le problème de Dirichlet, et on donne une brève description du modèle de Black-Scholes.

6

Les notions fondamentaux

1.1 Introduction aux processus stochastique

Un processus physique ou économique est traditionnellement décrit par une fonction

X : t i-+ X(t) où la variable t qui représente le temps peut être discrète ou continue et X(t) est la valeur numérique ou plus généralement à valeur dans Rd mesurant l'état du processus à l'instant t. Si la valeur de X dépend aussi du "hasard", on dit que le processus est stochastique.

Depuis Kolmogorov, on modélise le hasard par un espace (Q,F,P). Il est donc naturel d'essayer de décrire le processus stochastique X par une fonction de deux variables (t,w) i-+ X(t,w) où la nouvelle variable w représente le "hasard" et appartient à Q. Mais la fonction X définie sur l'espace produit T X Q où T est l'ensemble des temps, doit vérifier certaines conditions. Par exemple il est raisonnable de supposer que pour tout instant t, l'application partielle X(t) : w i-+ X(t,w) état aléatoire du processus à l'instant t fixé est une variable aléatoire définie sur (Q,F,P).

On peut donc voir le processus X comme la famille de variables aléatoires (X(t))tET. Mais cette condition de mesurabilité individuelle de chaque X(t) est insuffisante. En effet quand on observe un processus dans la pratique, on constate que pour chaque instant t fixé, seuls certains événements A E F peuvent survenir dans l'intervalle de temps [0,t]. Ces événements constituent une sous-tribu Ft de F appelée parfois l'informa-tion disponible à l'instant t. La famille (Ft)tET est croissante et s'appelle une filtration. Comme X(t) décrit l'état du processus à l'instant t, il convient donc de supposer que cette variable aléatoire est Ft-mesurable. On est donc conduit à modéliser un processus stochastique comme on va le voir ci-dessous.

T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX

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