Marche aléatoire,mouvement brownien et applications

1.1.1 Généralités

Définitions

On appelle processus stochastique (resp.processus stochastique adapté), la donné

X = (Q,F,(X(t))t_ET,P)

resp.

(Q,F,(Ft)tET,(X(t))tET,P)

où

· Q est un ensemble (univers des possibles).

· F est un tribu de parties de Q ou u-algèbre.

· P est une mesure de probabilité sur (Q,F).

· T est un sous-ensemble de R+ (qui représente le temps).

· (Ft)tET une filtration indexée par T i.e une famille croissante de sous tribus de F.

· (X(t))tET une famille de variables aléatoire définies sur (Q,F), à valeurs dans un espace topologique E muni de sa tribu borélienne B(E).

Remarque 1.

1) Un processus stochastique modélise l'état d'un système aléatoire au cours du temps. L'es-pace E dans lequel les variables aléatoires X(t) prennent leurs valeurs, est appelé l'espace des états du processus. La variable aléatoire X(t) représente l'état du processus à l'instant t.

2) Dans la plupart des cas, l'espace des états (E,B(E)) est l'espace numérique(R^d,B(R^d))de dimension d et l'ensemble des temps Test un intervalle [0,a] ou [0,+oc[. Dans ce cas le processus X est dit à temps continu. Lorsque T est l'ensemble N des entiers, le processus est à temps discret.

3) La filtration d'un processus est un objet important qui contient l'essentiel des propriétés probabilistes du processus comme nous le verrons bientôt. L'exemple le plus simple est la filtration naturelle de la famille (X(t))t_ET, où pour tout t E T, Ft = u(X(s),s < t) est la tribu engendrée par les variables aléatoires X(s) pour s t. On notera que la filtration naturelle d'une famille (X(t))tET de variables aléatoires, est la plus petite de toutes les filtrations par rapport auxquelles la famille (X(t))tET est adaptée. En effet une telle filtration contient toujours la filtration naturelle de (X(t))tET comme sous-filtration. Un processus X sans précision de filtration, est donc toujours adapté à sa filtration naturelle.

4) L'application t -+ X(t,w) de T dans E est la trajectoire du processus correspondant à l'éventualité w E Q.

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Continuité et mesurabilité des processus

On suppose dans cette partie que le temps est continu i.e. T = [0,a] ou T = [0,+8[.

Définition 1.1.1. Un processus X est dit continu (resp.P-p.s continu)si pour tout w ? Q (resp.pour P-presque tout w ? Q), la fonction t -? X(t,w) de T dans E est continue.

Processus à temps continu

Soit (Q,F,(Ft)t>0,P) un espace probabilisé ~ltré.

Définition 1.1.2. Soit X = (X(t))t>0 un processus défini sur (Q,F,(Ft)t>0,P) 1) Le processus X est dit mesurable si l'application

X : [0,+8[×Q -? (E,Ó) (t,w) 7? X(t,w)

est mesurable par rapport à B([0,t]) ? Ft .

2) Le processus X est dit adapté si ?t = 0 X(t) est Ft-mesurable.

3) Le processus X est dit progressivement mesurable (ou progressif) si ?t = 0 l'application

X : [0,+8[×Q -? E

(s,w) 7? X(s,w)

est mesurable par rapport à B([0,t]) ? Ft.

Remarque 2. Un processus progressivement mesurable est évidemment mesurable. D'autre part la condition de mesurabilité progressive implique l'adaptation du processus à la filtration (Ft)tET mais un processus adapté n'est pas forcément progressivement mesurable.

Théorème 1.1. Si un processus adapté X est continu à droite, il est progressivement mesurable.

Définition 1.1.3. Soit X = (X(t))tET un processus à valeurs dans E = W^d. On dit que :

1) X est à accroissements indépendants si pour toute suite finie d'instants t0 < t1 < ··· < t_n, les variables aléatoires X(t1) - X(t0),··· ,X(t_n) - X(t_n_1)sont indépendantes.

2) X est à accroissements stationnaires si pour tous s < t ? T, la loi de la variable aléatoire X(t) - X(s) ne dépend que de t - s.

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