Marche aléatoire,mouvement brownien et applications

1.1.2 Les processus gaussiens Loi gaussienne, rappels

Les vecteurs aléatoires que nous considérons sont supposés définis sur un espace probabilisé (Q,F,P) que nous ne mentionnerons plus dans la suite.

Soit = (X1,··· ,X_n) un vecteur aléatoire de Rⁿ centré ¹, appartenant à L2(Q,F,P) 2 et soit I' = (I'ij)(1 < i,j < n) sa matrice des covariances 3.

Définition 1.1.4. Le vecteur est gaussien si pour tous a1,a2,··· ,a_n E R la variable aléa-

toire réelle

Xn i=1

aiXi est de loi normale.

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Proposition 1. Le vecteur aléatoire centré de matrice des covariances I' est gaussien si et seulement si sa fonction caractéristique Oæ(t) = E(eⁱhæ^,ti) est de la forme :

öæ(t) = _e-₂ht,I' ti (t E Rⁿ)

1

où (.,.) désigne le produit scalaire de Rⁿ et I' t est le vecteur transformé de t par la matrice

I '. On dit alors que suit la loi N_n(0,I' ) (l'indice n indiquant que c'est une loi de Gauss dans Rⁿ).

Plus généralement, un vecteur aléatoire Z de Rⁿ suit la loi de Gauss N_n(m,I' ) de moyenne m = (m1,··· ,m_n) et de matrice des covariances I ', si le vecteur Z - m suit la loi N_n(0,I' ). Sa fonction caractéristique est alors égale à :

oZ(t) = eihm,tie-21ht,I'ti (t ERⁿ)

.

Propriétés 1.

1) Lorsque la matrice I' est définie positive(i.e. Vt E Rⁿ 0,(t/I't) # 0), elle est alors inversible et la loi gaussienne N_n(m,I') admet une densité de probabilité sur Rⁿ de la forme

f(x) = 1 exp I --2 (x - m, F^-1(x - m))) .

(N/27)n Vdet(F) \ /

2) Les composantes Zi d'un vecteur gaussien Z = (Z1,··· ,Zn) sont indépendantes si et seulement si elles sont non-corrélées, c'est à dire si sa matrice des covariances est diagonale.

1. i.e les Xi sont intégrables et E(X1) = E(X2) = ··· = E(X_n) = 0

2. i.e pour tout i = 1,··· ,n, E(X²_i ) < +oo

3. i.e I'ij = E(XiXj)

T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX

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Processus gaussiens

Définition 1.1.5. Un processus aléatoire à valeurs dans E = R^d est dit gaussien si toutes ses lois de dimension finie sont gaussiennes.

Soit X = (X(t))tET un processus gaussien réel i.e(E = R). Pour tous s,t ? T, on

pose

m(t) = E(X(t))

I'(s,t) = E((X(t) -m(t))(X(s) -m(s))

Définition 1.1.6.

1) La fonction m : T 7-? R s'appelle la moyenne du processus X.

2) La fonction I' : T × T 7-? R est appelé la covariance du processus gaussien X.

1.1.3 Notion de temps d'arrêt d'un processus

Définition 1.1.7. Soit (Ft)tET une filtration et = cr(?tETFt) sa tribu terminale. Une variable aléatoire r : Q 7-? T ? {+8} est appelée Ft-temps d'arrêt si pour tout t ? T,on a {r = t} ? Ft. On pose alors

Ft = {A ? F₈;?t ? T,An{r = t} ? Ft} C'est la tribu des événements antérieurs au temps r.

Définition 1.1.8. Soit X un processus et A un sous-ensemble mesurable de l'espace des états E. Les variables aléatoires définies sur Q par

DA(W) = inf{t = 0;X(t,w) ? A} TA(W) = inf{t > 0;X(t,w) ? A}

(avec la convention inf(Ø) = +8) sont respectivement le temps d'entrée dans A et le temps de retour dans A.