Marche aléatoire,mouvement brownien et applications

4.2 Modèle de Black-Scholes

Comme exemple d'application du calcul stochastique aux mathématiques financières on va présenter la méthode de Black et Scholes de calcul du prix d'une option européenne.

4.2.1 Description du modèle de Black et Scholes L'évolution des cours

Sur l'espace probabilisé filtré (Q,F,Ft,P) où Ft est la filtration brownienne. Le modèle proposé par Black et Scholes pour décrire l'évolution des cours est un modèle à temps continu avec un actif risqué (une action de prix S(t) à l'instant t) et un actif sans risque (de prix S0(t) à l'instant t). On suppose l'évolution de S0(t) régie par : l'équation différentielle (ordinaire)

dS0(t) = rS0(t)dt

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où r est une constante positive. Cela signifie que le taux d'intérêt sur le marché des placements sans risque est constant et égal à r (noter que r est ici un taux d'intérêt instantané, à ne pas confondre avec le taux annuel ou le taux sur une période des modèles discrets). On pose S0(0) = 1, de sorte que :

S0(t) = e^rt pour t > 0

On suppose que l'évolution du cours de l'action est régie par l'équation différentielle stochastique

dS(t) = uS(t)dt + óS(t)dB(t) tel que S(0) > 0 (4.2)

où :

· u :est un coefficient de croissance.

· ó :est un coefficient de volatilité.

· B(t) : est un mouvement brownien standard.

· S(0) : est une valeur initiale pour S(t).

Le modèle étudié sur l'intervalle [0,T] ou T est la date d'échéance de l'option à étudier. On s'intéresse aux solutions (S(t))t>0 de l'équation

t

S(t) = x(0) + f

S(s)(uds + ódB(s)) (4.3)

Cet équation s'écrit sous la forme

{ dS(t) = S(t)(udt + ódB(t))

(4.4)

S(0) = x(0)

Cela signifie que l'on cherche un processus adapté (S(t))t>0 tel que les intégrales ^f0t S(s)ds et ^f0t S(s)dB(s) aient un sens, et qui vérifie, pour chaque t.

Z t

S(t) = x(0) + ₀ (uS(s)ds + óS(s)dB(s)) IID - p.s

On pose Y (t) = log(S(t)) où S(t) est une solution de l'équation (4.3).S(t) est un processus d'Itô. Donc on peut appliquer la formule d'Itô à f(x) = log(x)

f(X(t)) = f(X(0)) + t

Jo f'(X(s))dX(s) + 2 Jot f"(X(s))d(S,S)s

On obtient en supposant que S(t) est positif :

log(S(t)) = log(S(0)) + ft S(()) + 21 Jot (S;(1s))

d(S,S)_s

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En effet :

(,S)_s = ( f t óS(s)dB(s), f t

SóS(s)dB(s))

f t

= ( ₀ óS(s)dB(s))

= I tó2S2(s)d(B,B)s o_t

= 0 ó2S2(s)ds 0

On a : dS(s) = S(s)(uds+ódB(s)) Donc

log(S(t)) = log(S(0)) +

foot S(s)(uds+ódB(s)) 1 2 0 (8^2-(¹s) f t)2()S(s) + 8²(s)ds

= log(S(0)) + f t uds + f t ódB(s) + 21 f t -ó2ds

0 0 2 0

= log(S(0))+ f^t(u - 2 )ds + ~t ódB(s)

Soit, en utilisant (4.4)

Y (t) = Y (0) + ft- 2 )ds + f tódB(s)

On en déduire que :

_ó2

Y (t) = log(S(t)) = log(S(0)) + (u - 2 )t+óB(t)

2

elog(S(t)) = elog(S(0))e(u- ² )t+óB(t)

On a ainsi montré que, si (S(t))t>0 est un processus strictement positif vérifiant (4.3),on a bien

_ó2

S(t) = x(0)exp((u - 2 )t + óB(s))

Vérifions maintenant que ce processus est bien une solution. On a S(t) = f(t,B(t)), où

_ó2

f(t,x) = x(0)exp((u - 2 )t + óx)

La formule d'Itô donne : S(t) = f(t,B(t))

= f(0,B(t)) +ft

f ^f(s, B(s))ds + ^t fx(s, B(s))dB(s) + 2 f t f00xx(s,B(s)d(B,B)s

T.Souali CHAPITRE 4. APPLICATIONS

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Mais comme la variation quadratique du mouvement brownien vaut (s) ((B,B)_s = s). Donc

S(t) = X(0) + f t S(s)(u - 2 )ds + f t S(s)ódB(s) + 2 f t S(s)ó2ds

2

= S(t) = X(0) +f_o^tuS(s)ds - f t 2 S(s)ds + _o^tóS(s)dB(s) + f0t

2 S(s)ds

et finalement

S(t) = X(0) +f

^tS(s)uds + f^tS(s)ódB(s)

Théorème 4.5. Soit ó,u deux nombre réels, (B(t))t^o>0 un mouvement brownien et T un réel strictement positif, pour tout réel x(0), il existe un processus d'Itô unique (S(t))0<t<T qui véri~e, pour tout t < T,

f t f t

S(t) = X(0) + ₀ S(s)uds + ₀ S(s)ódB(s)

Ce processus est donné par

2

S(t) = x(0)exp((u - 2 )t+óB(t))

Remarque 13.
· Le processus S(t) que l'on vient d'expliquer servira de modèle standard pour le prix d'un actif financier. On l'appelle modèle de Black et Scholes.

· Lorsque u = 0, S(t) est une martingale exponentielle.

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