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Marche aléatoire,mouvement brownien et applications


par Taoufik SOUALI
Université Hassan 2 - Master 2019
  

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Conclusion

Le mouvement brownien est l'objet central du calcul des probabilités moderne. Il intervient dans de très nombreux modèles en physique, chimie, biologie, sciences économiques et mathématiques financières. Il est tout à la fois une martingale, un processus gaussien, un processus à accroissements indépendants et un processus de Markov. Ces diverses propriétés qui en font le processus stochastique par excellence, sont présentées dans ce mémoire avec les deux outils qu'ils permettent de développer : l'intégrale d'Itô et la notion d'équation différentielle stochastique.

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Annexe

code de simulation sous Scilab

Le code suivant représente un code Scilab de simulation de la trajectoire Marche aléatoire sur Z.

1 function [ a]= marche ( n , p , x0 )

X=[ x0 ]

for k =1:n do

X=[X,X( $ ) +2*( rand ( ) <p ) -1]

end;

xset ( 'window ' ,1)

plot (X)

a=[X]

9 endfunction

Le code suivant représente un code Scilab de simulation des plusieurs trajectoires Marche aléatoire sur Z.

1 function X = marche1D ( n , p , x0 ,N)

X = zeros ( n+1 ,N)

I = [ 1 : n+1] '

for i =1:N

a = marche ( n , p , x0 )

X ( : , i ) = a ' ;

end

plot ( I ,X)

9 endfunction

Le code suivant représente un code Scilab de simulation de la trajectoire Marche aléatoire sur Z2.

1 function [X, Y] = chaine2 ( n , x0 , y0 , p1 , p2 , p3 )

Le code suivant représente un code Scilab de simulation de la trajectoire Marche aléatoire sur Z3.

1 function [X, Y] = chaine3 ( n , x0 , y0 , z0 , p1 , p2 , p3 , p4 , p5 )

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X( 1 ) = x0 ;

Y ( 1 ) = y0 ;

e1 = [ 1 ; 0 ] ; e2 = [ 0 ; 1 ] ;

e3 = -e1 ; e4 = -e2 ;

D = [ e1 e2 e3 e4 ] ;

P = [ p1 ; p2 ; p3 ] ;

fi g u r e

for i = 1: n do

a = grand (1 , " mul " ,1 ,P ) ;

X( i +1) = X( i ) +D( 1 , : ) * a ;

Z( i +1) = Y( i ) +D( 2 , : ) * a ;

end

for i = 1: n

plot (X( i : i +1) ,Y( i : i +1) , ' r ' )

sleep ( 1 )

end

e n d fun c t ion

X( 1 ) = x0 ;

Y ( 1 ) = y0 ;

Z ( 1 ) = z0 ;

e1 = [ 1 ; 0 ; 0 ] ; e2 = [ 0 ; 1 ; 0 ] ; e3 = [ 0 ; 0 ; 1 ] ;

e4 = -e1 ; e5 = -e2 ; e6 = -e3 ;

D = [ e1 e2 e3 e4 e5 e6 ] ;

P = [ p1 ; p2 ; p3 ; p4 ; p5 ] ;

fi g u r e

for i = 1: n do

a = grand (1 , " mul " ,1 ,P ) ;

X( i +1) = X( i ) +D( 1 , : ) * a ;

Z( i +1) = Y( i ) +D( 2 , : ) * a ;

BB( i +1) = Z( i ) +D( 3 , : ) * a ;

end

for i = 1: n

plot3d (X( i : i +1) ,Y( i : i +1) ,Z( i : i +1) , 'b ' )

sleep ( 1 )

end

e n d fun c t ion

Le code suivant représente un code Scilab de simulation de la trajectoire Mouvement Brownien sur 1[8.

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function B=simulbrown ( n ,m, Delta )

Z = grand (m, n , " nor " ,0 ,1) ;

/ / vecteur colonne compose de m v . a . iid N( 0 , 1 )

B = zeros (m+1 ,n ) ;

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/ / initialisation : trajectoires du mouvement brownien

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temps = zeros (m+1 ,1) ;

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for i = 1 : m

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B( i + 1 , : ) = B( i , : ) + sqrt ( Delta ) *Z( i , : )

9

temps(i+1,1) = temps ( i , 1 ) + Delta

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end

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a=B

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plot (temps , B) ;

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endfunction

Le code suivant représente un code Scilab de simulation de la trajectoire Mouvement Brownien sur 1[82.

1 / / Parametres de la simulation

2 function a=simulbrown2d(T,N)

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h = T/N;

sh = sqrt(T/N);

5 / / Initialisation des vecteurs de calcul

6 temps = h * [ 0 :N] ;

7 x = zeros ( size (temps)) ;

8 y = zeros ( size (temps)) ;

9 / / calcul des vecteurs de bruits sur x et y

10 bruitX = grand (N, 1 , " nor " ,0 , sqrt(T));

11 bruitY = grand (N, 1 , " nor " ,0 , sqrt (T) ) ;

12 / / calcul de la trajectoire

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for i = 2:N+1

x ( i ) = x ( i -1) + sh * bruitX ( i -1) ;

y ( i ) = y ( i -1) + sh * bruitY ( i -1) ;

end

a=[x , y]

plot(x,y);

title ( 'Mouvement brownien en 2D ' ) ;

20 endfunction

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"Et il n'est rien de plus beau que l'instant qui précède le voyage, l'instant ou l'horizon de demain vient nous rendre visite et nous dire ses promesses"   Milan Kundera