Marche aléatoire,mouvement brownien et applications

1.3.1 Mouvement brownien uni-dimensionnel standard

Ily a plusieurs présentations possibles du mouvement brownien. Nous avons choisi de privilégier l'aspect processus à accroissements indépendants.

Définition 1.3.1. (Mouvement brownien uni-dimensionnel) Un processus B = (Ù,F,(Ft)t>0,(B(t))t~0,P) à valeurs réelles est appelé mouvement brownien uni-dimensionnel si

1)

T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX

B(0) = 0 P -p.s.

2) V0 < s < t, la variable aléatoire B(t) - B(s) est indépendante à F_s

3) V0 < s < t,B(t) - B(s) est de loi N(0,\/t - s)

La propriété 1) le mouvement Brownien est issu de l'origine c'est à dire que P(B(0) = 0) = 1. La propriété 2) traduit que le mouvement Brownien est à accroissements indépendants. La propriété 3) est la stationnarité des accroissements du mouvement Brownien.

Théorème de Donsker

Le théorème de Donsker est l'un des théorèmes qui ont une grande importance dans la théorie des probabilité, qui découle du théorème central limite, et qui consiste à établir une convergence en loi d'une marche aléatoire vers un processus stochastique gaussien.

Théorème 1.8. (Théorème de Donsker) Soient (Un)n>1 une suite i.i.d de variables aléatoires centrés, de carré intégrable et de variance U².

On définit la marche aléatoire

n E k=1

Uk de manière affine par morceaux en considérant le

processus (Xn(t))t>0 défini par

?

Uk + (nt - [nt])U([nt]-1) ?

1

X_n(t) =

?[nt] _E ? k=1

oVn

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Pour tout t E [0,1] et [x] désigne la partie entière de x.

Considérons l'espace C([0;1]) des fonctions à valeurs réelles et continues sur [0,1]. On munit C([0;1]) de la tribu borélienne B et de la norme ||.||_0c. Ainsi X_n est une variable aléatoire à valeurs dans (C([0;1]),B).

La suite (Xn)n>1 converge en loi vers un mouvement brownien standard B = (B(t))t>0 quand n tend vers l'infini.

Notation : F^B_t = u(B(s),s < t) est la filtration naturelle associé à B(t)t>0 Proposition 6. Soit B un mouvement brownien et (F^B_t )t>0 sa filtration naturelle.

1) B est une (F^B_t)-martingale i.e pour tout t < s E(B(t)/F_s) = B(s)

2) Si B est un mouvement brownien, le processus (B²(t) - t)t>0 est une (F^B_t)-martingale i.e pour tout t < s

E(B²(t) - t/F_s) = B²(s) - s

T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX

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Démonstration.

1)
· Pour tout t > 0 le processus de brownien B(t) est F^B_t-mesurable donc il est adapté à la filtration naturelle a-(B(s),s < t)

· B est intégrable c'est à dire pour tout t > 0, E(|B(t)D < +oo.

· Soit t > s. Comme B(t) - B(s) est indépendante à F_s alors

E(B(t) - B(s)/F_s) = E(B(t) - B(s)) = 0

puisque B est centré. D'où le résultat.

Théorème 1.9. (caractérisation de P. Lévy du mouvement brownien) : Soit (Ft)t>0 une filtration et M = (Mt)t>0 une Ft-martingale continue avec M(0) = 0. Si le processus (M²(t) - t)t>0 est aussi une Ft-martingale, alors M est un mouvement brownien.